河南省郑州市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.与角﹣ A. B. C. D. 终边相同的一个角是( )

2.平面向量 =(1,﹣2) , =(﹣2,x) ,若 ∥ ,则 x 等于( A.4 B.﹣4 C.﹣1 D.2 3.半径为 1m 的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为( A. B. C.60 D.1 )m.

)

4.某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2:1,要 用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数 为( ) A.80 B.40 C.60 D.20 5.若 P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是( A.A 与 B 是互斥事件 B.A 与 B 是对立事件 C.A 与 B 不是互斥事件 )

D.以上都不对 6.在某次测量中,得到的 A 样本数据为 81,82,82,84,84,85,86,86,86,若 B 样本 数据恰好是 A 样本数据分别加 2 后所得的数据,则 A、B 两个样本的下列数字特征对应相同 的是( ) A.众数 B.平均数 C.标准差 D.中位数

7.已知向量 =(0,2 A.3 B. C.﹣ D.﹣3

) ,b=(1,

) ,则向量 在 上的投影为(

)

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为﹣5,则输出的 y 值是(

)

A.﹣1 B.1 C.2 D.

9.如图,在 5 个并排的正方形图案中作∠AOnB(n=1,2,3,4,5,6) ,则这 6 个角中恰为 135°的有( )个.

A.0 B.1

C.2 D.4 10.已知实数 x,y 满足 0≤x≤2π,|y|≤1 则任意取期中的 x,y 使 y>cosx 的概率为( A. B. C. D.无法确定 11.已知 cos(α﹣β)= ,sinβ=﹣ A. B. C.﹣ D.﹣ ,且 α∈(0, ) ,β∈(﹣ ,0) ,则 sinα=( ) )

12.如图,a∈(0,π) ,且 a≠

,当∠xOy=e 时,定义平面坐标系 xOy 为 a 仿射坐标系,在 α 、 分别为与 x 轴、y 轴正向相同的单

﹣仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: 位向量,若 =x +y ,则记为

=(x,y) ,若在仿射坐标系中,已知 =(m,n) , = )

(s,t) ,下列结论中不正确的是(

A.若 = ,则 m=s,n=t B.若 ,则 mt﹣ns=0

C.若 ⊥ ,则 ms+nt=0 D.若 m=t=1,n=s=2,且 与 的夹角 ,则 a=

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 sinα<0,且 tanα>0,则 α 是第__________象限角. 14.102,238 的最大公约数是__________. 15.将八进制数 123(8)化为十进制数,结果为__________. 16.sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤) 17.某商场为一种跃进商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下 数据: 单位 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (Ⅰ)按照上述数据,求四归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b ; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单位仍然服从(Ⅰ)中的关系,若该商品的成本是每件 7.5 元,为使商场获得最大利润,该商品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 18.已知函数 f(x)=sin(ωx﹣ (Ⅰ)求 f( ) ; , ]上的图象. ) (ω>0,x∈R)的最小正周期为 π.

(Ⅱ)在给定的平面直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[﹣

19.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下 方式分成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求 事件“|m﹣n|>1”的概率.

20.如图,在平面内将四块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记 = . (Ⅰ)试用 , 表示向量 (Ⅱ)若| |=1,求 . ;

= ,

21.已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx+2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,恒坐标缩小到原来的 ,再将所得的图象 向右平移 和. 22.某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD,AB=100 米,BC=50 米,为了便于游客休闲散 步,该农庄决定在鱼塘内建 3 条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF,考虑到整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上(不含顶点) ,且∠EOF=90°. ( ≈1.4, ≈1.7) (1)设∠BOE=α,试将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条走廊每米建设费用均为 4000 元,试问如何设计才能使建设总费用最低并 求出最低总费用. 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=t 在区间[0, ]上所有根之

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2014-2015 学年河南省郑州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.与角﹣ A. B. C. D. 考点:终边相同的角. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:与﹣ 终边相同的角为 2kπ﹣ ,k∈z,选择适当 k 值,得到选项. +2π= . 终边相同的一个角是( )

解答: 解:与角﹣ 故选:D.

终边相同的一个角是﹣

点评: 本题考查终边相同的角的定义和表示方法, 得到与﹣ 是解题的关键.

终边相同的角为 2kπ﹣

, k∈z,

2.平面向量 =(1,﹣2) , =(﹣2,x) ,若 ∥ ,则 x 等于( A.4 B.﹣4 C.﹣1 D.2 考点:平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据两向量平行的坐标表示,列出方程组,求出 x 的值即可. 解答: 解:∵平面向量 =(1,﹣2) , =(﹣2,x) , 且 ∥ , ∴1?x﹣(﹣2)?(﹣2)=0,

)

解得 x=4. 故选:A. 点评:本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题,是基础题目. 3.半径为 1m 的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为( A. B. C.60 D.1 考点:弧长公式. 专题:计算题. 分析:根据题意可以利用扇形弧长公式 l 扇形直接计算. 解答: 解:根据题意得出:60°= l 扇形=1× = , . )m.

半径为 1,60°的圆心角所对弧的长度为

故选 A. 点评:此题主要考查了扇形弧长的计算,注意掌握扇形的弧长公式是解题关键. 4.某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2:1,要 用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生人数 为( ) A.80 B.40 C.60 D.20 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析: 要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, 根据一、 二、 三、 四年级的学生比为 4:3:2:1,利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本 容量即得抽取三年级的学生人数. 解答: 解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, 一、二、三、四年级的学生比为 4:3:2:1, ∴三年级要抽取的学生是 ×200=40,

故选:B. 点评:本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可以先 做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率,得到结果. 5.若 P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是( )

A.A 与 B 是互斥事件 B.A 与 B 是对立事件 C.A 与 B 不是互斥事件 D.以上都不对 考点:互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析:通过理解互斥与对立事件的概念,核对四个选项即可得到正确答案. 解答: 解:若是在同一试验下,由 P(A)+P(B)=1,说明事件 A 与事件 B 一定是对立事 件, 但若在不同试验下,虽然有 P(A)+P(B)=1,但事件 A 和 B 也不见得对立, 所以事件 A 与 B 的关系是不确定的. 故选 D. 点评:本题考查了互斥事件与对立事件的概念,是基础的概念题. 6.在某次测量中,得到的 A 样本数据为 81,82,82,84, 84,85,86,86,86,若 B 样本 数据恰好是 A 样本数据分别加 2 后所得的数据,则 A、B 两个样本的下列数字特征对应相同 的是( ) A.众数 B.平均数 C.标准差 D.中位数 考点:极差、方差与标准差. 专题:概率与统计. 分析:根据样本数据的众数和平均数以及中位数和方差的概念,即可得出正确的结论. 解答: 解:设样本 A 中的数据为 xi,则样本 B 中的数据为 yi=xi+2, 则样本数据 B 中的众数和平均数以及中位数和 A 中的众数,平均数,中位数都加上 2, 只有标准差不会发生变化. 故选:C. 点评:本题考查了众数、平均数、中位数、标准差的定义与应用问题,是基础题目.

7.已知向量 =(0,2

) ,b=(1,

) ,则向量 在 上的投影为(

)

A.3 B. C.﹣ D.﹣3 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值,代入投影公式得答案. 解答: 解:由 , ,得

cos

=



∴向量 在 上的投影为



故选:A. 点评:本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量在向量方向上的投影的概念,是基础题. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为﹣5,则输出的 y 值是( )

A.﹣1 B.1 C.2 D. 考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:框图输入框中首先输入 x 的值为﹣5,然后判断|x|与 3 的大小,|x|>3,执行循环体,|x| >3 不成立时跳出循环,执行运算 y= ,然后输出 y 的值. 解答: 解:输入 x 的值为﹣5, 判断|﹣5|>3 成立,执行 x=|﹣5﹣3|=8; 判断|8|>3 成立,执行 x=|8﹣3|=5; 判断|5|>3 成立,执行 x=|5﹣3|=2; 判断|2|>3 不成立,执行 y= . 所以输出的 y 值是﹣1. 故选 A. 点评:本题考查了程序框图中的循环结构,考查了当型循环,当型循环是先判断后执行,满足 条件执行循环体,不满足条件时算法结束,此题是基础题. 9.如图,在 5 个并排的正方形图案中作∠AOnB(n=1,2,3,4,5,6) ,则这 6 个角中恰为 135°的有( )个.

A.0 B.1 C.2 D.4 考点:计数原理的应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:设 On(x,1) ,∠OnAB=θ,∠OnBA=φ,作出图形,利用两角和的正切可求得 tan(θ+φ)

=

=

=

=1,从而可得答案.

解答: 解:设 On(x,1) ,∠OnAB=θ,∠OnBA=φ,

则 tanθ= ,tanφ= ∴θ+φ= ,

,∵∠AOnB=135°,

∴tan(θ+φ)=

=

=

=1

解得:x=3 或 x=4,依题意,n=x,即 n=3 或 n=4. 故选:C. 点评:本题考查两角和的正切,设 On(x,1) ,∠OnAB=θ,∠OnBA=φ,求得 tan(θ+φ)

=

=

=

=1 是关键,考查转化思想与运算求解能力,

属于中档题. 10.已知实数 x,y 满足 0≤x≤2π,|y|≤1 则任意取期中的 x,y 使 y>cosx 的概率为( A. B. C. D.无法确定 )

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出满足:“0≤x≤2π,|y|≤1,且 y>cosx” 对应平面区域面积的大小,及 0≤x≤2π,|y|≤1 对应平面区域面积的大小,再将它们一块代入几 何概型的计算公式解答. 解答: 解:0≤x≤2π,|y|≤1 所对应的平面区域如下图中长方形所示, “0≤x≤2π,|y|≤1,且 y>cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示: 根据余弦曲线的对称性可知,蓝色部分的面积为长方形面积的一半, 故满足“0≤x≤2π,|y|≤1,且 y>cosx”的概率 P= 故选 A. = .

点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个 “几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本 事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P=N(A) /N 求解. 11.已知 cos(α﹣β)= ,sinβ=﹣ A. B. C.﹣ D.﹣ 考点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析:由 α 和 β 的范围求出 α﹣β 的范围,然后由 cos(α﹣β)及 sinβ 的值,分别利用同角三 角函数间的基本关系求出 sin(α﹣β)及 cosβ 的值,最后把所求式子中的角 α 变形为(α﹣β) +β,利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. ,且 α∈(0, ) ,β∈(﹣ ,0) ,则 sinα=( )

解答: 解:∵α∈(0, ∴α﹣β∈(0,π) ,

) ,β∈(﹣

,0) ,

又 cos(α﹣β)= ,sinβ=﹣ ∴sin(α﹣β)=

, = ,cosβ= = ,

则 sinα=sin[(α﹣β)+β] =sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ = × + ×(﹣ )= .

故选 A 点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公 式是解本题的关键,同时注意角度的范围. 12.如图,a∈(0,π) ,且 a≠

,当∠xOy=e 时,定义平面坐标系 xOy 为 a 仿射坐标系,在 α 、 分别为与 x 轴、y 轴正向相同的单

﹣仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: 位向量,若 =x +y ,则记为

=(x,y) ,若在仿射坐标系中,已知 =(m,n) , = )

(s,t) ,下列结论中不正确的是(

A.若 = ,则 m=s,n=t B.若 ,则 mt﹣ns=0

C.若 ⊥ ,则 ms+nt=0 D.若 m=t=1,n=s=2,且 与 的夹角 ,则 a=

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:根据在仿射坐标系中斜坐标的定义,便可得到 ,然后由

平面向量基本定理及共线向量基本定理, 以及向量垂直的充要条件, 向量夹角的余弦公式即可 判断每项结论的正误. 解答: 解:根据斜坐标的定义, ∴ ; ;

A.若

,根据平面向量基本定理得:m=s,n=t,∴该结论正确; , ;

B.若 ∥ ,则存在实数 k,使 ∴ ∴ ; ;

∴mt﹣ns=0; ∴该结论正确; C.若 ,则: ; ∴ms+nt≠0; ∴该结论错误; D. 若 m=t=1, n=s=2, , 的夹角为 , 则: ; = ;

, ∴ 解得 ∴ ; ; ;





∴该结论正确. 故选:C. 点评:考查对仿射坐标系的理解,及对定义的斜坐标的理解,以及平面向量基本定理、共面向 量基本定理,向量垂直的充要条件,向量夹角的余弦公式. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 sinα<0,且 tanα>0,则 α 是第三象限角. 考点:象限角、轴线角. 专题:计算题. 分析:由于 sinα<0,故 α 可能是第三或第四象限角;由于 tanα>0,故 α 可能是第一或第三 象限角;故当 sinα<0 且 tanα>0 时,α 是第三象限角. 解答: 解:由于 sinα<0,故 α 可能是第三或第四象限角; 由于 tanα>0,故 α 可能是第一或第三象限角. 由于 sinα<0 且 tanα>0,故 α 是第三象限角, 故答案为:三.

点评:本题考查象限角的定义,三角函数在各个象限中的符号,得到 sinα<0 时,α 是第三或 第四象限角;tanα>0 时,α 是第一或第三象限角,是解题的关键. 14.102,238 的最大公约数是 34. 考点:辗转相除法. 专题:计算题. 分析:利用“辗转相除法”即可得出. 解答: 解:∵238=102×2+34,102=34×3. 故答案为:34. 点评:本题考查了“辗转相除法”,属于基础题. 15.将八进制数 123(8)化为十进制数,结果为 83. 考点:进位制. 专题:计算题;算法和程序框图. 分析:利用累加权重法,即可将四进制数转化为十进制,从而得解. 解答: 解:由题意,123(4)=1×8 +2×8 +3×8 =83, 故答案为:83. 点评: 本题考查四进制与十进制之间的转化, 熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题 的关键,属于基本知识的考查. 16.sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 sin2>sin1>sin3>sin4. 考点:正弦函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵1 是第一象限,2,3 是第二象限,4 是第三象限, ∴sin4<0,sin2>sin3>0, ∵sin1=sin(π﹣1) , 且 2<π﹣1<3, ∴sin2>sin(π﹣1)>sin3, 即 sin2>sin1>sin3>sin4, 故答案为:sin2>sin1>sin3>sin4
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点评: 本题主要考查三角函数值的大小比较, 根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性 是解决本题的关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤) 17.某商场为一种跃进商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下 数据: 单位 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (Ⅰ)按照上述数据,求四归直线方程 =bx+a,其中 b=﹣20,a= ﹣b ; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单位仍然服从(Ⅰ)中的关系,若该商品的成本是每件 7.5 元,为使商场获得最大利润,该商品的单价应定为多少元?(利润=销售收入﹣成本) 考点:线性回归方程;二次函数的性质. 专题:概率与统计. 分析: (I)计算平均数,利用 b=﹣20,a= ﹣b 即可求得回归直线方程; (II)设工厂获得的利润为 W 元,利用利润=销售收入﹣成本,建立函数,利用配方法可求工 厂获得的利润最大 解答: 解: (I)由于 = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.… 所以 a= ﹣b =80+20×8.5=250, 从而回归直线方程为 =﹣20x+250.… (II)设商场获得的利润为 W 元,依题意得 W=x(﹣20x+250)﹣7.5(﹣20x+250) =﹣20x +400x﹣1875… 当且仅当 x=10 时,W 取得最大值. 故当单价定为 10 元时,商场可获得最大利润.… 点评:本题主要考查回归分析,考查二次函数,考查运算能力、应用意识,属于中档题. ) (ω>0,x∈R)的最小正周期为 π.
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18.已知函数 f(x)=sin(ωx﹣ (Ⅰ)求 f( ) ;

(Ⅱ)在给定的平面直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[﹣



]上的图象.

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据 T= ,求出周期,得到函数的解析式,代入值计算即可;

(2)利用五点作图法作图即可. 解答: 解: (1)依题意得,T= 所以 f( π)=sin(2× ﹣ =π,解得 ω=2,所以 f(x)=sin(2x﹣ )=﹣sin =﹣ , ) ,

)=sin(π+

(2)画出函数在区间上的图象如图所示:

点评:本题考查了三角函数的周期性质,以及三角函数值的求法和函数图象的做法,属于基础 题. 19.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下 方式分成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求 事件“|m﹣n|>1”的概率.

考点:用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题.

分析: (1)利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率;利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数. (2)按照(1)的方法求出成绩在[13,14)及在[17,18]的人数;通过列举得到 m,n 都在[13, 14)间或都在[17,18]间或一个在[13,14)间一个在[17,18]间的方法数,三种情况的和为总 基本事件的个数;分布在两段的情况数是事件“|m﹣n|>1”包含的基本事件数;利用古典概型 的概率公式求出事件“|m﹣n|>1”的概率. 解答: 解: (1)由直方图知,成绩在[14,16)内的人数为:50×0.16+50×0.38=27(人) , 所以该班成绩良好的人数为 27 人、 (2)由直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06=3 人, 设为为 x,y,z;成绩在[17,18]的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m,n∈[13,14)时,有 xy,xz,yz 共 3 种情况; 若 m,n∈[17,18]时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种情况; 若 m,n 分别在[13,14)和[17,18]内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 有 12 种情况、 所以,基本事件总数为 3+6+12=21 种,事件“|m﹣n|>1”所包含的基本事件个数有 12 种、 ∴ 点评: 本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、 考查频数等于频率乘以样本容 量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式.

20.如图,在平面内将四块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记 = . (Ⅰ)试用 , 表示向量 (Ⅱ)若| |=1,求 . ;

= ,

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)利用向量的三角形法则、共线定理即可得出; (Ⅱ)利用数量积的定义及其运算性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意可知,AC∥BD,BD= , BC= .



,则 =

= ; , =



(Ⅱ)∵| |=1,∴ 则 =

, .

点评:本题考查了向量共线定理、数量积运算及其性质,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=2cos x+2 sinxcosx+2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)先将函数 y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,恒坐标缩小到原来的 ,再将所得的图象 向右平移 和. 考点:三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出; (Ⅱ)由图象变换可得到函数 g(x)= ≤ ≤ ,由 g(x)=0,可得
2 2

个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求方程 g(x)=t 在区间[0,

]上所有根之

,由

,可得

=0,π,2π,3π.即可得出. sinxcosx+2=cos2x+ sin2x+3

解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=2cos x+2 = 由 +3. ≤ ,解得

≤x≤kπ+ (k∈Z) .

(k∈Z) .

∴f(x)的单调递增区间为

(Ⅱ)由题意,将图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再将所得的图象向右平移 个单位, 可得到函数 g(x)= 由 ,可得 ≤ ≤ , ,

由 g(x)=0,可得

=0,π,2π,3π.

∴方程 g(x)=t 在区间[0, =

]上所有根之和 = .

点评:本题考查了三角函数的图象与性质、图象变换、函数的零点,考查了数形结合方法、计 算能力,属于中档题. 22.某休闲农庄有一块长方形鱼塘 ABCD,AB=100 米,BC=50 米,为了便于游客休闲散 步,该农庄决定在鱼塘内建 3 条如图所示的观光走廊 OE、EF 和 OF,考虑到整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上(不含顶点) ,且∠EOF=90°. ( ≈1.4, ≈1.7) (1)设∠BOE=α,试将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条走廊每米建设费用均为 4000 元,试问如何设计才能使建设总费用最低并 求出最低总费用.

考点:根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)要将△ OEF 的周长 l 表示成 α 的函数关系式,需把△ OEF 的三边分别用含有 α 的 关系式来表示,而 OE,OF,分别可以在 Rt△ OBE,Rt△ OAF 中求解,利用勾股定理可求 EF, 从而可求. (2)铺路总费用最低,只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可.由(1)得 l= ,α∈[ ],利用换元,设 sinα+cosα=t,则 sinαcosα= ,

从而转化为求函数在闭区间上的最小值. 解答: 解: (1)∵在 Rt△ BOE 中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α, ∴OE= 在 Rt△ AOF 中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α, ∴OF= .

又∠EOF=90°, ∴EF= ∴l=OE+OF+EF= = , . ;

当点 F 在点 D 时,这时角 α 最小,此时 α=

当点 E 在 C 点时,这时角 α 最大,求得此时 α= 故此函数的定义域为[ ];



(2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要求△ OEF 的周长 l 的最小值即可. 由(1)得,l= ,α ∈ [ ],

设 sinα+cosα=t,则 sinαcosα= ∴l= 由 t=sinα+cosα= 又 ∴ ≤α+ ≤ sin(α+ ,得 ﹣1 , = ) , ≥t≤





≤t﹣1≤

从而当 α=

,即 BE=25 时,lmin=50(

+1) , +1)元.

所以当 BE=AF=25 米时,铺路总费用最低,最低总费用为 200000(

点评: 本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用, 考查了利用数学知识解 决实际问题的能力,及推理运算的能力.


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