吉林省东北师大附中高考数学一轮复习 解三角形学案 理

吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 解三 角形学案 理 知识梳理: 1、直角三角形各元素之间的关系:如图 1,在 Rt ABC 中,C= (1) 、三边之间的关系: + (2) 、锐角之间的关系:A+B= (3) 、边角之间的关系: (锐角三角函数的定义) : C ,BC=a,AC=b,Ab=c。 = ; (勾股定理) B c a A 图一 b sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA 2、斜三角形各元素之间的关系:如图 2, b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1) 、三角形内角之间的关系:A+B+C= cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC ABC 中,A、B、C 为其内角,a、 C ;sin(A+B)=sinC, b a A sin ; cos ; 图二 c B (2) 、三边之间的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (3) 、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等;即 =2R 正弦定理变形: (2R 为外接圆的直径) (4) 、余弦定理: 余弦定理变形: 3、三角形的面积公式: (1) 、 = a = b = c ( , , 分别表示 a,b,c 三边上的高) (2) 、 = absinC= bcsinA= casinB (3) 、 =2 = (4) 、 = ; (高考了解) (5) 、 =rs(r 为内切圆半径, ) 4、解三角形:由三角形的六个元素(即三个内角和三条边)中的三个元素(其中至 少有一个是边)求其它未知元素的问题叫做解三角形,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等,解三角形问题一 般可以分为下面两个情形:若给出是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三 角形为斜三角形,则称为解斜三角形。 5、实际问题中的应用。 (1) 、仰角和俯角: (2) 、方位角: (3) 、坡度角: (4) 、距离、角度的测量 测量距离问题;测量高度问题;测量角度问题。 C A B 小河流 小河流 A B D B C A ? C ? D G ? E H ? E D B A 二、题型探究 探究一:利用正余弦定理解三角形 例 1: (2014 安徽( ) 本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 且 b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ? ? ? ?? ? 的值. 4? 探究二:求三角形的面积 例 3:已知 a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边,A,B,C 成等差数列,cosA= ,b= (1) 、求 sinC 的值 (2) 、求 的面积。 例 4:已知 三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆的半径为 1,且有 sinA-sinC+ cos(A-C)= (1) 、求 A,B,C 大小; 例 5: 已知 为正三角形。 三个内角 A, B, C 成等差数列, 三边 a、 b、 c 成等比数列, 证明 探究三:判断三角形的形状 例 5:在 中,已知 asinA=bsinB,试判断三角形的形状; 例 6:在 中,已知 acosA=bcosB,试判断三角形的形状; 例 7:在 中,已知 acosB=bcosA,试判断三角形的形状; 探究四:正余定理的实际应用 (2014 上海)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分. 如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD ,其中 D 为顶 端, AC 长 35 米, CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角 分别为 ?和? . (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果 精确到 0.01 米)? (2)施 工 完 成 后 . CD 与 铅 垂 方 向 有 偏 差 , 现 在 实 测 得 求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)? ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 三、方法提升: (1) 、解斜三角形的常规思维方法: 已知两角和一边,可先用正弦定理解; 已知两边和夹角,先用余弦定理,之后再用正弦定理; 已知两边及一边所对的角,应用正弦定理,再由正弦定理或余弦定理求解,这种情况 要结合图形讨论解的情况; 已知三边,用余弦定理。 (2) 、三角形的内切圆半径 R= (3) 、三角形中中射影定理 (4) 、两内角与正弦关系:在 中,A<B ,?? ,特别地, = (5) 、三角形中的重要结论:tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(斜三角形) (6) 、锐角三角形中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC>1 四、反思感悟 五、课时作业 正弦、余弦定理的应用 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1 在△ABC 中, “ A ? 30? ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件 1 ”的 ( 2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2△ABC 中,∠A,∠B 的对边分别为 a,b,且∠A=60°, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条 件的△ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 3 在三角形 ABC 中, 如果 sin A ? cos B , 那么这个三角形是 A.直角三角形 C.钝角三角形 4 已知 △ ABC 中, a ? A. 135 B. 90 B. 锐角三角形 ( ) D. 直角三角形或钝角三角形 2 , b ? 3 , B ? 60 ,那么角 A 等于 C

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