吉林省东北师大附中高考数学一轮复习 解三角形学案 理


吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 解三 角形学案 理 知识梳理: 1、直角三角形各元素之间的关系:如图 1,在 Rt ABC 中,C= (1) 、三边之间的关系: + (2) 、锐角之间的关系:A+B= (3) 、边角之间的关系: (锐角三角函数的定义) : C ,BC=a,AC=b,Ab=c。 = ; (勾股定理) B c a A 图一 b sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA 2、斜三角形各元素之间的关系:如图 2, b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1) 、三角形内角之间的关系:A+B+C= cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC ABC 中,A、B、C 为其内角,a、 C ;sin(A+B)=sinC, b a A sin ; cos ; 图二 c B (2) 、三边之间的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (3) 、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等;即 =2R 正弦定理变形: (2R 为外接圆的直径) (4) 、余弦定理: 余弦定理变形: 3、三角形的面积公式: (1) 、 = a = b = c ( , , 分别表示 a,b,c 三边上的高) (2) 、 = absinC= bcsinA= casinB (3) 、 =2 = (4) 、 = ; (高考了解) (5) 、 =rs(r 为内切圆半径, ) 4、解三角形:由三角形的六个元素(即三个内角和三条边)中的三个元素(其中至 少有一个是边)求其它未知元素的问题叫做解三角形,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等,解三角形问题一 般可以分为下面两个情形:若给出是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三 角形为斜三角形,则称为解斜三角形。 5、实际问题中的应用。 (1) 、仰角和俯角: (2) 、方位角: (3) 、坡度角: (4) 、距离、角度的测量 测量距离问题;测量高度问题;测量角度问题。 C A B 小河流 小河流 A B D B C A ? C ? D G ? E H ? E D B A 二、题型探究 探究一:利用正余弦定理解三角形 例 1: (2014 安徽( ) 本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 且 b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ? ? ? ?? ? 的值. 4? 探究二:求三角形的面积 例 3:已知 a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边,A,B,C 成等差数列,cosA= ,b= (1) 、求 sinC 的值 (2) 、求 的面积。 例 4:已知 三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆的半径为 1,且有 sinA-sinC+ cos(A-C)= (1) 、求 A,B,C 大小; 例 5: 已知 为正三角形。 三个内角 A, B, C 成等差数列, 三边 a、 b、 c 成等比数列, 证明 探究三:判断三角形的形状 例 5:在 中,已知 asinA=bsinB,试判断三角形的形状; 例 6:在 中,已知 acosA=bcosB,试判断三角形的形状; 例 7:在 中,已知 acosB=bcosA,试判断三角形的形状; 探究四:正余定理的实际应用 (2014 上海)(

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