人教A版高中数学必修三试卷高中3.3.1《几何概型》同步测试新

3-3-1 几何概型 一、选择题 1.面积为 S 的△ABC,D 是 BC 的中点,向△ABC 内部投一点,那么点落在△ABD 内的概率 为( A. C. 1 3 1 4 B 向△ABC 内部投一点的结果有无限个,属于几何概型.设点落在△ABD 内为事件 △ABD的面积 1 = . △ABC的面积 2 ) B. D. 1 2 1 6 [答案] [解析] M,则 P(M)= 2.某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率为( A. C. 1 5 3 5 C 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数,其中乘客候车时间不超过 3 分钟时 ) B. D. 2 5 4 5 [答案] [解析] 3 应在[0,3]内取值,所以发生的概率为 . 5 3.取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段长度都不小于 2 m 的概率是( A. C. 1 2 1 3 B 如图所示,拉直后的绳子看成线段 AB,且 C、D 是线段 AB 上的点,AC=2m,BD ) B. 1 5 D.不能确定 [答案] [解析] =2m,由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置,属于几何模型. 设剪得两段的长度都不小于 2 m 为事件 E,设 M 是事件 E 的一个剪断点,则 M∈CD,则事 件 E 构成线段 CD,则 P(E)= = CD 5-2-2 1 = . AB 5 5 4.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆 数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ) A.7.68 C.16.32 [答案] [解析] C B.8.68 D.17.32 矩形的面积 S=6×4=24,设椭圆的面积为 S1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落 在椭圆内为事件 A,则 P(A)= = S1 S1 300-96 = ,解得 S1=16.32. S 24 300 ) ? π π? 5.在区间?- , ?上随机取一个数 x,则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为( ? 2 2? A. C. 1 4 1 2 C 由于 x∈?- B. D. 1 3 2 3 [答案] [解析] ? π ,π ?,若 0≤sinx≤1,则 0≤x≤π ,设“0≤sinx≤1”为事件 ? 2 ? 2 2? π 2 1 = = . π 2 π -0 2 A,则 P(A)= π π - - 2 2 6. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( A. C. π 12 π 6 B 正方体的体积为:2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内部的半球的 B.1- D.1- π 12 π 6 ) [答案] [解析] 2 π 3 1 4 1 4 2 π 3 3 体积为: × π r = × π ×1 = π , 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为: = , 2 3 2 3 3 8 12 π 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为:1- . 12 7.在△ABC 中,E、F、G 为三边的中点,若向该三角形内投点,且点不会落在三角形 ABC 外,则落在三角形 EFG 内的概率为( A. C. 1 8 3 4 B ) B. D. 1 4 1 2 [答案] 8.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A. C. 1 4 1 2 C B. D. 1 3 2 3 [答案] 9.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是( 4 S ) A. 1 4 B. 1 3 C. 3 4 C D. 2 3 [答案] 10.如图,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向 该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( ) A. C. 4-π 2 4-π 4 B B. D. π -2 2 π -2 4 [答案] 二、填空题 11.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. [答案] [解析] 1 3 1 [-1,2]的长度为 3,[0,1]的长度为 1,所以所求概率是 . 3 12.在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观 察,则发现大肠杆菌的概率为________. [答案] [解析] 0.005 大肠杆菌在 400 毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个,属于几何概 型.设取出 2 毫升水样中有大肠杆菌为事件 A,则事件 A 构成的区域体积是 2 毫升,全部试验 结果构成的区域体积是 400 毫升,则 P(A)= 2 =0.005. 400 13. 在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P, 则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小 于 1 的概率是________. [答案] [分析] 3π 6 解答本题从正面考试较繁琐,所以从反面来解答,先计算事件“使点 P 到三个 顶点的距离都大于 1”的概率,利用对立事件的概率公式计算. [解析] 边长为 2 的正三角形 ABC 内, 到顶点 A 的距离等于或小于 1 的点的集合为以点 A 为圆心,1 为半径,圆心角为∠A=60°的扇形内.同理可知到顶点 B、C 的距离等于或小于 1 1 1 2 ×2× 3-3× ×π ×1 2 6 的点的集合.故使点 P 到三个顶点的距离都大于 1 的概率为 =1- 1 ×2× 3 2 3π , 6 故所求的概率为 1

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