2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理

2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第 2 讲 二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题

y≤-x+2, ? ? 1.(2016·泰安模拟)不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为________. ? ?y≥0
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知 xB=1,xC=2.由

? ?y=-x+2, 1 1 1 1 ? 得 yD= ,所以 S△BCD= ×(xC-xB)× = . 2 2 2 4 ? ?y=x-1,

答案

1 4

x-2≤0, ? ? 2.(2015·天津卷改编)设变量 x, y 满足约束条件?x-2y≤0, 则 ? ?x+2y-8≤0,
目标函数 z=3x+y 的最大值为________. 解析 由 x,y 的约束条件画出可行域(如图),其中 A(2,3),当直线 3x+y-z=0 经过点

A(2,3)时,z 取最大值 9.

答案 9

y≤-x+1, ? ? 3.(2015·苏北四市调研 ) 若 x , y 满足约束条件 ?y≤x+1, 则 3x + 5y 的取值范围是 ? ?y≥0,
________. 解析 作出如图所示的可行域及 l0:3x+5y=0,平行移动 l0 到 l1 过点 A(0,1)时,3x+5y 有最大值 5,平行移动 l0 至 l2 过点 B(-1,0)时,3x+5y 有最小值-3.

答案 [-3,5]

1

x+y-2≤0, ? ? 4.(2014·安徽卷改编)x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解 ? ?2x-y+2≥0.
不唯一,则实数 a 的值为________. 解析 如图, 由 y=ax+z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距, 故当 a>0 时, 要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则 a=2; 当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=- 1.

答案 2 或-1 2x+3y-6≤0, ? ? 5.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, 所表示的区域上一动点,则 OM ? ?y≥0 的最小值是________.

解析 如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点 O 到直 线 x+y-2=0 的垂线段长是 OM 的最小值, ∴OMmin= 答案 |-2| 1 +1 2
2 2

= 2.

x+y≤1, ? ? 6.(2016·兰州诊断)已知不等式组?x-y≥-1,所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx-3 ? ?y≥0
与平面区域 D 有公共点,则 k 的取值范围为________. 解析 依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示,注 意到 y=kx-3 过定点(0,-3).∴斜率的两个端点值为-3, 3, 两斜率之间存在斜率不存在的情况, ∴k 的取值范围为(- ∞,-3]∪[3,+∞). 答案 (-∞,-3]∪[3,+∞)

x≤0, ? ? 7.(2016·日照调研)若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区 ? ?y-x≤2
域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ________.

2

1 1 2 2 解析 平面区域 A 如图所示, 所求面积为 S= ×2×2- × × = 2 2 2 2 1 7 2- = . 4 4 答案 7 4

2x+y≥0, ? ? 8.(2015·郑州质量预测)已知实数 x, y 满足?x-y≥0, 设 b=x-2y, 若 b 的最小值为-2, ? ?0≤x≤a, 则 b 的最大值为________. 解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直 线 l0:x-2y=0, ∵y= - , 2 2 ∴当 l0 平移至 A 点处时 b 有最小值,bmin=-a,又 bmin=-2, ∴a=2,当 l0 平移至 B(a,-2a)时,b 有最大值 bmax=a-2× (-2a)=5a=10. 答案 10 二、解答题

x b

x-y+5≥0, ? ? 9.画出不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域,并回答下列问题: ? ?x≤3
(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

x-y+5≥0, ? ? 解 (1)不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3
表示的平面区域如图所示.

? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?- ,3?,y∈[-3,8]. ? 2 ?
-x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点;
3

当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 10.制订投资计划时, 不仅要考虑可能获得的盈利, 而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可 能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能 的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的 盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元,y 万元投资甲、乙两个项目,由题

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, 意知? x≥0, ? ?y≥0,
目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为 可行域. 将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜率为-2 随 z 变化的一组平行线,当直线 y= -2x+2z 经过可行域内的点 M 时,直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.解方程组? =4,y=6, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能的盈利最大. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟)
?x+y=10, ?

? ?0.3x+0.1y=1.8,

得x

x-y≥1, ? ? 11.(2016·济南模拟)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1,目标函数 z=x+2y 的最大值 ? ?1<x≤a,
为 10,则实数 a=________. 解析 依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示, 当目标函数 经过点 A(a,a-1)时取得最大值 10,所以 a+2(a-1)=10,解得 a =4.

4

答案 4

y≤x+1, ? ? 12.(2015·盐城调研)设 x,y 满足约束条件?y≥2x-1, 若目标函数 z=abx+y(a>0,b ? ?x≥0,y≥0,
>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为________. 解析 可行域如图所示,当直线 abx+y=z(a>0,b>0)过点 B(2, 3)时,z 取最大值 2ab+3,于是有 2ab+3=35,ab=16,所以 a+

b≥2 ab=2 16=8,当且仅当 a=b=4 时等号
成立,所以(a+b)min=8. 答案 8

x+4y-13≤0, ? ? 13.(2015·盐城调研)已知变量 x,y 满足约束条件?2y-x+1≥0, 且有无穷多个点(x,y) ? ?x+y-4≥0,
使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=________. 解析 作出线性约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示. 若 m=0,则 z=x,目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解只有 一个,不符合题意.若 m≠0,则目标函数 z=x+my 可看作斜率为 1 1 z - 的动直线 y=- x+ .

m

m

m

1 若 m<0,则- >0,数形结合知使目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解不可能有无穷多

m

个. 1 若 m>0,则- <0,数形结合可知,当动直线与直线 AB 重合时,有无穷多个点(x,y)在线

m

1 段 AB 上,使目标函数 z=x+my 取得最小值,即- =-1,则 m=1.综上可知,m=1.

m

答案 1

x-4y+3≤0, ? ? 14.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1.
(1)设 z= ,求 z 的最小值; (2)设 z=x +y ,求 z 的取值范围; (3)设 z=x +y +6x-4y+13,求 z 的取值范围.
2 2 2 2

y x

5

x-4y+3≤0, ? ? 解 由约束条件?3x+5y-25≤0,作出(x,y)的可行域如图阴影 ? ?x≥1.
部分所示.
? ?x=1, ? 22? 由? 解得 A?1, ?. 5? ? ?3x+5y-25=0, ?

由?

?x=1, ?

?x-4y+3=0, ?

解得 C(1,1).

? ?x-4y+3=0, 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ?

(1)∵z= =

y y-0 .∴z 的值即是可行域中的点与原点 x x-0
2 5

O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= .
(2)z=x +y 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域 上的点到原点的距离中,
2 2

dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29.
故 z 的取值范围是[2,29]. (3)z=x +y +6x-4y+13=(x+3) +(y-2) 的几何意义是可行域上的点到点(-3,2) 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,
2 2 2 2

dmin=1-(-3)=4,dmax= (-3-5)2+(2-2)2=8.
故 z 的取值范围是[16,64].

6


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