辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题 理


辽宁省葫芦岛市第一高级中学 2015-2016 学年高一数学下学期第一次月考试题 理
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题中只有一个选项是正确的,请把你认为正确的 选项用 2B 铅笔涂在答题卡中的相应位置上) ? ? 1.函数 y=cosxcos(3x? )+sinxsin(3x? )的最小正周期是( ) 4 4 ? ? B. C .? D.2? 4 2 2.若角?(? 180°<?<180°)的终边经过点 P(sin20°,? cos20°),则?=( ) A.110° B.20° C .? 20° D.? 70° 1 3.若 F(sinx)=cos4x,则 F(? )=( ) 2

A.

A.?

1 2

B.?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

? 4.已知 f(x)=3sin(?x+?)(?>0)是偶函数,且最小正周期为?,则 tan =( ) w A.1 B.? 1 C.?1 D.0 5.若扇形的周长为 4,那么当该扇形的面积最大时,其圆心角的大小为( ) ? ? A.1 B.2 C. D. 4 2 ? 6.若函数 y=sin2x? a cos2x 的图象关于直线 x=? 对称,那么常数 a 的值为( ) 6

A. 3

B.

3 3

C. ? 3

D.?

3 3 y 2π ? 3

7.已知函数 f(x)=A sin(?x+φ )(A>0,?>0)在一个 周期内的图象如右图所示,则 f(2018?)的值为( )

A. 3 C.1

B.? 3 D.? 1

O

? 3

4π 3

x

8.设函数 f(x)=sinx? 3 cosx,若对任意 x∈R,恒有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则 tanx2=( ) 1 1 A.3 B. C .? 3 D.? 3 3 ? 9.关于 x 的方程 3sin2x? cos2x+k=0 在[ ,?]内有两个不等实根,则实常数 k 的取值范围是( ) 2 A.[? 1,2) B.[? 1,1] C.(? 2,1] D.[1,2) 5 3 10.在△ABC 中,A,B,C 是其内角.若 sinA= ,cosB= ,则 tanC 的值为( ) 13 5 33 63 33 63 63 33 A.? 或? B. 或 C.? D.? 56 16 56 16 16 56 ? ? 11.函数 y=sin(x+ )+|sin(x? )|的值域为( ) 4 4

A.[? 2,1] B.[? 1, 2] C.[? 2, 2] 2 12.函数 F(x)=sin|?x? ?|+x ? 2x 的所有零点的和为( )

D.[? 1,1]

1

A.2

B.4

C.6

D.8

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1 13.cot[arc cos(? )]=________. 3 14.定义在 R 上的函数 f(x)同时满足如下两个条件:①对任意 x∈R,都有 f(x)+f(x+1)=0;②当 x∈[0,1) ?x 时,f(x)=tan .则函数 F(x)=f(x)? x+2016 的零点个数是________. 4 15.有如下 4 种说法: 1 2 4 ①若 sin?cos?=? ,则 cos?sin?的取值范围是[? , ]; 3 3 3 ②若 cos?? 2cos?=2,则 sin?+2sin?的取值范围是[? 5, 5]; ③设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=f(2? x)(任意 x∈R),则直线 x=2k+1(k∈Z)都是 y=f(x)图象 的对称轴; ④设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=f(2+x)(任意 x∈R),则函数 f(x)在[? ?,?]内的零点不少于 7 个. 其中正确说法的序号是________(请把你认为正确说法的序号都填在横线上). 16.设函数 f(x)=sin(?x? ?)(?>0),使 f(x)取得最大值时的 x 叫最大值点.若 f(x)在[1,2]内恰好有 9 个 最大值点,则实数?的取值范围是________. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.需 写清解答过程和推理步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知直线 l1:7x+y? 1=0,l1:3x? 4y+2=0,设 l1,l2 的倾斜角分别为?,?. ? (1)求 tan( ? ?); 4 (2)求?+?的大小.

18.(本小题满分 12 分) ? 已知函数 f(x)=sin2x+cos(2x? ). 6 (1)求 y=f(x)图象的距原点最近的对称中心的坐标; 6 (2)设 g(x)= (sin2x? cos2x),问:把 y=f(x)的图象沿 x 轴向左至少 平移多少个单位,可得到 y=g(x)的 .... 2 图象?

19.(本小题满分 12 分) 7? ? 5? 12 ? 7? ? 4 已知?∈(? , ),?∈( , ),sin(?? )= ,cos( +?)=? . 6 3 6 6 3 5 6 13 ? (1)求 tan(?+ )的值; 6 (2)求 sin(?+?)的值.

20.(本小题满分 12 分) D 某小区有一块边长为 3 百米的正方形场地 OMAN,其中半径为 N 2 百米的 扇形 OEF 内种植了花草.小区物业拟在该场地的扇形之外划出一块矩形地 F ⌒ 块 ABCD(如图所示),其中 B,D 分别在 AM,AN 上,C 在弧EF上.设矩形 ABCD 的 C O ? E

A

B M
2

面积为 S(单位:平方百米),∠EOC=?. (1)求 S 关于 ? 的函数; (2)矩形地块 ABCD 用作临时码放铺设附近甬路的地砖等材料,为使场地有 足够的空间供人们休闲,需使 S 最小,问:当?为多少时,S 最小?最小值是 多少? 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2sin(?x+?)(A>0,?>0,? ?<?<0),存在实数 a ,b,c,a<b<c,使得 f(a)=f(b)=f(c)=1,且 14? 对任意 m∈(a,b),任意 n∈(b,c),f(m)?1,f(n)?1.已知 a+b= ,c? a=4?. 3 (1)求?和 ? 的值 ; 4? 4?? (2)是否存在实数?>1,使得 f(x)在[ , ](?>1)上单调递增?若存在,求?的取值;否则,请说明理由. 3? 3

22.(本小题满分 12 分) 9sinxcosx ? 设函数 f(x)= (? ≤x≤0),g(x)=2 3sin2x+2cos2x+log2a(a 是常数). 3(sinx+cosx)+5 2 (1)求 f(x)的值域; ? ? 5? (2)若对任意 x1∈[? ,0],存在 x2,x3∈[ , ],且 x2?x3,使得 f(x1)=g(x2)=g(x3),求常数 a 的取值范围. 2 3 6

3

葫芦岛市第一高级中学 2015~2016 学年度第二学期月考 高一年级 数学学科试题答案及评分标准(理科) 命题人:高一数学备课组 考试时间:120 分钟 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题中只有一个选项是正确的,请把你认为正确的 选项用 2B 铅笔涂在答题卡中的相应位置上) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 1 33? 37? 2 C D A C B B A D D C B C ? 2 ②③④ [ , ) 2 2 4 ? ? 1.y=cos(x? 3x+ )=cos(2x? )?最小正周期为? 4 4 2.首先 P 点位于第 4 象限,故? 90°<?<0°,据 tan?=? cot20°=? tan70°=tan(? 70°)??=? 70° 1 2? 1 ? ? 3.F(? )=F[sin(? )]=cos[4(? )]=cos =? 2 6 6 3 2 k? ? ? ? 4.据最小正周期为???=2;据 f(x)是偶函数??=k?+ (k∈Z)?tan =tan( + )=?1(k∈Z) 2 w 2 4 1 2 4? 2r 5.设扇形的半径为 r,则弧长为 4? 2r,得 S= r?(4? 2r)=? r2+2r( <r<2)?r=1 时,Smax=1,此时圆心角?= 2 ?+1 r =2 3 1 3 ? ? 6.据条件 f(x)=f(? ? x),取 x=0?f(0)=f(? )?? a=? ? a(? )?a= 3 3 2 2 3 2? 4? 2 1 7.读取周期求?: =2[ ? (? ?)]??= ? 3 3 2 2? x=? 3 1 ? ? 左补“标型”确定?: ??=?+ ?f(x)=? Asin( x+ ) 1 3 2 3 ?x+?=?(?= ) 2

? ? ?

3 1 ? A=? 3?A=2?f(x)=? 2sin( x+ ) 2 2 3 ? ? 故 f(2018?)=? 2sin(1009?+ )=2sin = 3 3 3 使用特殊点求 A:

f(0)=?

1 1 8.零最线分割法:f(x)=0 时,x 的终边在 y=3x 上,进而 f(x)取得最值时,x 的终边在 y=? x?tanx2=? (在 x2 3 3 处取得最大值) y 5? 11? ? ? ? 9.化为 2sin(2x? )=? k( ≤x≤?),令 t=2x? ,转化为 2sint=? k( ≤t≤ ) 6 2 6 6 6 11? 使关于 t 的方程有两个不等实根 6 t O 如图所示,需? 2<? k≤?1?1≤k<2 5? ?1 6 3 4 5 ? y=?k 10.cosB= ?sinB= > =sinA?0<A<B< ? 2 5 5 13 2 5 5 3 4 ? ? 这样,sinA= (0<A< )?tanA= ;cosB= (0<B< )?tanB= 13 2 12 5 2 3 tanA+tanB 63 故 tanC=? tan(A+B)=? =? 1? tanAtanB 16

4

y

11.法 1.y=

2 (sinx+cosx+|sinx? cosx|)= 2?max{sinx,cosx} 2 设 F(x)=max{sinx,cosx},画其图象 ?sin?+cos?,cos?≥0 ? 法 2.设?=x+ ?y=sin?+|cos?|=? cos?,cos?<0 4 ?sin?? 1 1 2 2 1 0 ?1 sin?+cos? 1 0 ?1 sin??cos?

?2π ?

? 3π ?π 2

π 2

1
O π 2 π

y=F(x)
3π 2π 2

x

?1

12.图解 sin|?x? ?|=? x +2x ?? sin?x,x≥1 sin|?x? ?|=? ?sin?x,x<1 y=sin|?x? ?|的图象与 y=? x2+2x 的图象都关于直线 x=1 对称 它们的交点有 3 对,每对横标和都是 2
2

y

y=sin|?x?? ?2 ?1 0 1 x=1 y 1 2 3 4 x

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 1 1 ? 2 13.设?=arc cos(? )?cos?=? ( <?<?)?cot?=? 3 3 2 4

y=?x2+2x

?x ? 14.首先,当 x∈[? 1,0)时,x+1∈[0,1),则 f(x)=? f(x+1)=? tan( + ) 4 4 x O ?3 ?2 ?1 1 2 3 其次,可外“倍验法”得 f(x)是周期函数,且周期为 2 如图,y=f(x)的图象与直线 y=x? 2k(k∈Z)的公共点个数为 2 ?1 1 2 4 sin(?+?)=? +t∈[?1,1]?t∈[? , ] ? ?sin?cos?=?1??⑤ 3 3 3 2 2 3 15.①假:? ,⑤+⑥且⑤? ⑥? ?t∈[? , ] 1 4 2 3 3 ?设cos?sin?=t??⑥ sin(?? ?)=? ? t∈[? 1,1]?t∈[? , ] ? 3 3 3 2 ?cos?? 2cos?=2??⑦ 1 ? t 2 2 ②真:? ,⑤ +⑥ ?cos(?+?)= ∈[? 1,1]?t∈[? 5, 5] 4 ?设sin?+2sin?=t??⑧ ③真:一心(0,0),一轴 x=1?周期 T=4,对称轴满足“半周重复率”,故得一般对称轴 x=2k+1(k∈Z) ④真:R 上的奇函数,半周必为零点,故零点类 2k(k∈Z)和 2k+1(k∈Z)并合为 k(k∈Z),[? ?,?]内至少有 7个 1 2? 16.如图,注意 f(1)=0,且 d =x1? 1= T,有|xi+1? xi|=T,T= y 4 w 使 f(x)在[1,3]内恰有 9 个最大值点 xi(i=1,2,?) d T T T T x x1 x2 x3 ? x8 x9 x O 1 1 1 x1 则 d+8T≤2? 1<d+9T? T+8T≤1< T+9T 1 2 ? 4 4 33 37 2? 33? 37? 即 T≤1< (T= )? ≤?< 4 4 w 2 2 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.需写清解答过程) ? 17.(1)据条件?tan?=? 7( <?<?) 2 1 ? tan ? 4 ? 则 tan( ? ?)= =? ????4 分 4 1+tan? 3 3 ? (2)据条件?tan?= (0<?< ) 4 2

? ? ?

5

tan?+tan? 则 tan(?+?)= =? 1 ????6 分 1? tan?tan? 3? ? ? ? 又 <?<?,0<?< ? <?+?< 2 2 2 2 3? 故?+?= ????10 分 4
3 ? ? ? 3 ? 18.(1)f(x)=sin2x+cos(2x? )=sin2x+(cos2x?cos +sin2x?sin )= sin2x+ cos 2x= 3sin(2x+ ) 6 6 6 2 2 6 ????3 分 k? ? k? ? ? 其对称中心横标满足 2x+ =k??x= ? (k∈Z),使| ? |(k∈Z)最小,则 k=0 6 2 12 2 12 ? 故满足条件的对称中心为(? ,0) ????6 分 12 6 ? (sin2x? cos2x)= 3sin(2x? ) ????8 分 2 4 设把 y=f(x) 的图象向左平移 t 个单位可得到 y=g(x)图象 ? ? ? 则 y= 3sin(2x+ )→y= 3sin[2(x+t)+ ]= 3sin(2x+2t+ ) 6 6 6 5? ? ? 据题意得 2x+2t+ =2k?+2x? ?t=k?? (k∈Z) 6 4 24 5? 19? 使 k?? (k∈Z)为最小正数,取 k=1?t= 24 24 19? 即至少向左平移 个单位 ????12 24 分 7? ? ? 3? ? 19.(1)设 x=?? ,据? <?< ?? <x<0,且?=x+ 3 6 3 2 3 4 3? 3 3? sinx= (? <x<0)?cotx=? (? <x<? ?) 5 2 4 2 3 ? ? 则 tan(?+ )=tan(x+ )=? cotx= 6 2 4 ????4 分 4 3? 3 3? (2)据(1),sinx= (? <x<0)?cosx=? (? <x<? ?) 5 2 5 2 5? 7? 5? ? 设 y= +?,据 <?< ??<y<2?,且?=y? 6 6 6 6 12 5 cosy=? (?<y<2?)?siny=? 13 13 3 12 4 5 56 ? 故 sin(?+?)=sin(x+y? )=? cos(x+y)=? cosxcosy+sinxsiny=? (? )(? )+ (? )=? ????12 2 5 13 5 13 65 分 20.(1)CB= 3? 2cos?,CD= 3? 2sin? 故 S=( 3? 2sin?)( 3? 2cos?) ????4 分 ? 定义域为[0, ] ????6 分 2 (2)g(x)= (2)S=3? 6(sin?+cos?)+2sin?cos? 1 2 ? 令 x=sin?+cos?,据 0≤?≤ ,得 x∈[1, 2],且 sin?cos?= (x ? 1) 2 2 则 S=f(x)=x ? 6x+2=(x?
2

6 2 1 ) + (1≤x≤ 2) 2 2

6

当 x=

6 1 时,Smin= (平方百米) 2 2

????8 分

6 3 ? ? ? 3? ? ? 2? ? 5? ?sin(?+ )= ( ≤?+ ≤ )??+ = 或 ??= 或 2 4 2 4 4 4 4 3 3 12 12 5 ? 1 ? 答:当?= 或 时,Smax= (平方百米) ????12 分 12 12 2 2? 1 21.(1)据所给的条件,特别是 c? a=4?? =c? a=4???= ????3 分 w 2 14? a+b 7? 又据 a+b= ?y=f(x)图象有一条对称轴 x= = 3 2 3 1 7? 7? ? 此时 sin( ? +?)=?1? +?=k?+ 2 3 6 2 2? 2? ??=k? ? (k∈Z,? ?<?<0)??=? ????6 分 3 3 1 2? y=1 (2)据(1)?f(x)=2sin( x? ) 2 3 x 4? 4? 4?? 4? a b c 注意?>1 时, < < ,且 f( )=0 3? 3 3 3 1 2? ? 7? 1 2? ? ? ? 7? 据 x? = ?x= , x? =? ?x= ,知 f(x)在[ , ]上单增 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 4? 4?? 为使 f(x)在[ , ](?>1)上单增 3? 3 ? 4? ? ≥ 3 3? 3 4? 7? 4? 4?? 7? 7 ? 需[ , ]?[ , ]? 4?? 7???∈(1, ] ????12 分 3 3 3? 3 3 3 4 ≤ 3 3 ?>1 ? 22.(1)设 t=3(sinx+cosx)+5,据? ≤x≤0?sinx+cosx∈[? 1,1]?t∈[2,8] 2 此时 sin?+cos?=

? ? ? ? ?

x

3 9 18 1 16 则 f(x)=F(t)= (t+ ? 10)(2≤t≤8) 2 t 16 1 16 据 2≤t≤8?u=t+ ∈[4,10]?F(t)= (t+ ? 10)∈[? 1,0] t 2 t 即 f(x)的值域为[? 1,0] ????6 分 u ? (2)当 x∈[? ,0]时,据(1)可知 f(x)的值域 A=[? 1,0] 2 1 ? g(x)=4sin(2x+ )+log2a 2 6 5? 5? 11? ? ? O 令 t=2x+ ,当 ≤x≤ 时,t∈[ , ] 1 6 3 6 6 6 ? 2 5? 11? 1 设集合 B={u|u=sin t, ≤t≤ ,且存在 t1?t2,使 sin t1=sin t2}=(? 1,? ] ?1 6 6 2 1 则集合 C={v|v=4u+log2a,? 1<u≤? }=(log2a? 4,log2a? 2] ????8 分 2 ?log2a?4<?1 据题意,需 A?C?? ?2≤log2a<3?a∈[4,8) ????12 分 ?log2a?2≥0

又 sinx+cosx=

t?5

?1+2sinxcosx=

t2? 10t+25

?sinxcosx=

t2? 10t+16

u=sint t1 5? 6 11? t2 6

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