【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-1-1第1讲 函数图象与性质及函数与方程


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第1讲 函数图象与性质及函数与方程

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高考定位 1.高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定 义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面.函数 图象的考查角度有两个方面,一是函数解析式与函数图象的对 应关系;二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等, 综合性较强.2.考查函数零点所在区间、零点个数的判断以及由 函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围问题.

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[真题感悟] 1 1.(2014· 山东卷)函数 f(x)= 的定义域为 2 ?log2x? -1
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? C.?0,2?∪(2,+∞) ? ?

(

).

B.(2,+∞)
? 1? D.?0,2?∪[2,+∞) ? ?

解析

2 ? ? log x ? -1>0, ? 2 由题意知? ? ?x>0,

1 解得 0<x<2或 x>2,故选 C.

答案 C
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2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且
f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 解析 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 ).

f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数,故 f(x)g(x) 为奇函数,

f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故

选C.
答案 C

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3.(2014·福建卷)若函数y=logax( a>0,且a≠1)的图象如下图 所示,则下列函数图象正确的是 ( ).

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解析

因为函数y=logax过点(3,1),所以1=loga 3,解得a=3.y

= 3 - x 不可能过点 (1,3) ,排除 A ; y = ( - x)3 =- x3 不可能过点 (1,1),排除C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1), 排除D,故选

B.
答案 B

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4.(2014· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x 1 ∈[0,3)时,f(x)=|x -2x+2|.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]
2

上有 10 个零点(互不相同), 则实数 a 的取值范围是________.

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1 解析 ∵当 x∈[0,3)时,作出函数 f(x)=|x -2x+2|的图象如图所
2

1 示,可知 f(0)=f(1)= f(3)=2.

若使得 f(x)-a=0 在 x∈[-3,4]上有 10 个零点,由于 f(x)的周期 1 为 3,则只需直线 y=a 与函数 f(x)=|x -2x+2|,x∈[0,3)的应有
2

4 个交点,则有 ? 1? 答案 ?0,2? ? ?

? 1? a∈?0,2?. ? ?

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[考点整合]
1.函数及其图象 (1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素,是一个整 体,研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则. (2)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两 种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换 有平移变换、伸缩变换和对称变换.

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2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函

数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和
下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的 图象关于 y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具 有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于

坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性;
(3)周期性:周期性也是函数在定义域上的整体性质.若函数 满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其周期T=ka(k∈Z).
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3.函数的零点与方程的根
(1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y =f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (2)零点存在性定理 如果函数 y = f(x) 在区间 [a ,b] 上的图象是连续不断的一条曲 线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零

点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的
根.

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注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一;

②不满足条件时,也可能有零点.

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热点一

函数图象与性质的融合问题 函数图象的识别与应用 ( ).

[微题型 1]

xln|x| 【例 1-1】 (1)函数 y= |x| 的图象可能是

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(2)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,则不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集为 x A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) ( ).

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) xln|x| 解析 (1)法一 函数 y= |x| 的图象过点(e,1),排除 C,D;函

xln|x| 数 y= |x| 的图象过点(-e,-1),排除 A,选 B. xln|x| 法二 由已知,设 f(x)= |x| ,则 f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为 奇函数,当 x>0 时,f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,故选 B.
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(2)由奇函数的定义和 f(2)=0 得出函数在(-∞,0)上也为增函 数.画出函数草图(如图),可得在(-2,0)和(2,+∞)上 f(x)>0, f?x?-f?-x? 在(-∞,-2)和(0,2)上 f(x)<0.当 x>0 时,由 <0,可得 x f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象可知(0,2)符合;当 x<0 时,由 f?x?-f?-x? <0,可得 f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合图象可知(-2,0) x 符合.

答案 (1)B (2)A
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探究提高 (1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、 值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行 全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断,这是解 决函数图象判断类试题的基本方法.(2)研究函数时,注意结合 图象,在解方程和不等式等问题时,借助图象能起到十分快捷

的作用.

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[微题型 2]

函数性质的应用

【例 1-2】 (1)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇 函数,且在[0,2]上的解析式为 29 41 f( 4 )+f( 6 )=________. (2)函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2, 对任意 x∈R, f′(x)>2, 则 f(x)>2x+4 的解集为 A.(-1,1) C.(-∞,-1)
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? ?x?1-x?,0≤x≤1, f(x)=? ? ?sin πx,1<x≤2,



( B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)
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).

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解析 (1)由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,所以

?29? ?41? f? 4 ?+f? 6 ?= ? ? ? ?

? ?3? ?7? 3? ? 7? ? 3? ? 7? f?2×4-4?+f?2×4-6?=f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 π 5 -16+sin 6=16. (2)由 f′(x)>2 转化为 f′(x)-2>0,构造函数 F(x)=f(x)-2x,得 F(x)在 R 上是增函数,又 F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x +4,即 F(x)>4=F(-1),所以 x>-1.

5 答案 (1)16 (2)B

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探究提高 (1)根据函数的奇偶性、单调性和周期性,把所求函数

值转化为给定范围内的函数值,再利用所给范围内的函数解析
式求出函数值.(2)第(2)题求解的关键是对条件“f′(x)>2”的 巧妙转化,利用函数的单调性求解不等式.

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【训练 1】 (1)(2014· 天津卷)设 a=log2π,b=log1π,c=π 2,则

2

( A.a>b>c C.a>c>b B.b>a>c D.c>b>a

).

(2)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递 减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________.

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解析

(1)∵log2π>1,log1π<0,0<π 2<1,∴a>c>b,故选 C.

2

(2)由题可知, 当-2<x<2 时, f(x)>0.由 f(x-1)>0, 得-2<x-1<2, 即-1<x<3.

答案 (1)C (2)(-1,3)

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热点二

以函数零点为背景的函数问题 函数零点个数的求解
2 ? ?x +2 014x-2 015,x≤0, f(x)=? ? ?2-x+ln x,x>0,

[微题型 1]

【例 2-1】 已知 的零点个数为 A.1 C.3

则函数 f(x) ( ).

B.2 D.4

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解析

(1)当x≤0时,由f(x)=0,即x2+2 014x-2 015=0,得(x

-1)(x+2 015)=0,解得x=1(舍去)或x=-2 015; (2)当x>0时,设g(x)=x-2,h(x)=ln x,如图,分别作出两个函 数的图象,由图可知,两函数图象有两个交点,所以函数f(x)在 x>0时有两个零点. 综上,函数f(x)有3个零点,故选C.

答案 C
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探究提高 (1)本题利用分段函数考查了解决零点问题的两种方
法——解方程与函数图象,当x>0时,不能直接解方程,所以要 利用数形结合的方法将其转化为两函数图象的交点问题来求 解.(2)解决函数零点问题要把握零点的实质——方程的根、函数 图象与x轴的交点的横坐标.判断函数零点个数问题一般都要转 化为两个函数图象的交点个数来求解.

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[微题型 2]

由函数零点的存在情况求参数

2 e 【例 2-2】 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ x (x>

0). (1)若 g(x)=m 有实根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

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e2 (1)∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e,

等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e, 则 g(x)=m 就有实根. 故 m∈[2e,+∞).

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(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中函数 g(x) 与 f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)=x+ x (x>0)的大致图象. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2.

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故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 探究提高 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围

问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参 数的方程或不等式求解.

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【训练 2】 (2014· 山东卷)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若 方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是 (
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

).

C.(1,2)

D.(2,+∞)

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解析

由 f(x)=g(x),∴|x-2|+1=kx,即|x-2|=kx-1,

所以原题等价于函数 y=|x-2|与 y=kx-1 的图象有 2 个不同交 点. 如图: 1 ∴y=kx-1 在直线 y=x-1 与 y=2x-1 之间, 1 ∴2<k<1,故选 B.

答案 B
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1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求 1 函数 f(x)=xln x的定义域时,只考虑 x>0,忽视 ln x≠0 的限 制. 2.函数定义域不同,两个函数也不同;对应关系不同,两个函 数也不同;定义域和值域相同,也不一定是相同的函数. 3.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义,即 f(0)有意义,那么一 定有 f(0)=0.

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4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性,偶函数在两个
对称的区间上有相反的单调性. 5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实 质是相同的,在解题时经常要互相转化.在解决函数问题 时,尤其是较为繁琐的(如分类讨论,求参数的取值范围等 ) 问题时,要注意充分发挥图象的直观作用.

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6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质,如讨论指
数函数y=ax(a>0,a≠1)的单调性时,不讨论底数的取值; 忽视ax>0的隐含条件;幂函数的性质记忆不准确等. 7 .函数的零点和函数图象与 x 轴的交点混淆,不能把函数零 点、方程的解、不等式解集的端点值等准确互化. 8.用二分法求函数零点近似值的口诀:定区间,找中点,中值 计算两边看;同号等,异号算,零点落在异号间;周而复始

怎么办,精确度上来判断.

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