宁夏银川一中高三数学第五次月考试题全解全析 文 【会员独享】

宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析数学(文)试题 第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? ?0,1,2? ,集合 B ? x x ? 2a, a ? A ,则 A A. ?0? B. ?2? C. ?0, 2? 【答案】C 【分析】求出集合 B ,根据交集是意义进行计算。 【解析】 B ? ?0, 2, 4? ,所以 A

?

?

B?
D. ?1, 4?





B ? ?0, 2? 。

【考点】集合。 【点评】本题考查集合的概念和运算,关键是对集合 B 中的 a ? A 的理解。 2. y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 是 A.最小正周期为 2 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 【答案】D 【分析】对给出的三角函数式进行变换,然后根据三角函数的性质进行判断。 【解析】 y ? (sin x ? cos x)2 ?1 ? 2sin x cos x ? sin 2 x ,所以函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 是 最小正周期为 ? 的奇函数。 【考点】基本初等函数Ⅱ。 【点评】本题考查三角函数的性质,但要借助三角恒等变换,在大多数三角函数性质的试题 中往往要以三角恒等变换为工具,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据基本的 三角函数的性质对所给的三角函数的性质作出结论。 3. 下 列 结 论 错 ( ) .误 .的 .是 A . 命 题 “ 若 p , 则 q ” 与 命 题 “ 若 ?q , 则 ? p ” 互 为 逆 否 命 题 ;
2 2 x 2 B . 命 题 p : ? x ?[ 0 , 1]e , ?, 1命 题 q : ? x ? R, x ? x?1 ?0则 , p ? q为真;





C . “ 若 am ? bm , 则 a ? b ” 的 逆 命 题 为 真 命 题 ; D . 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 【答案】C 【分析】根据命题的知识逐个进行判断即可。 【 解 析 】根 据 四 种 命 题 的 构 成 规 律 ,选 项 A 中 的 结 论 是 正 确 的 ;选 项 B 中 的 命 题 p 是 真 命 题 ,命 题 q 是 假 命 题 ,故 p ? q 为 真 命 题 ,选 项 B 中 的 结 论 正 确 ;当

m ? 0 时 ,a ? b ? am2 ? bm2 ,故 选 项 C 中 的 结 论 不 正 确 ;选 项 D 中 的 结 论 正 确 。
【考点】常用逻辑用语 【点评】本题属于以考查知识点为主的试题,要求考生对常用逻辑用语的基础 知识有较为全面的掌握。 4.设 l , m, n 为三条不同的直线, ? 为一个平面,下列命题中正确的个数是 ( ) ①若 l ? ? ,则 l 与 ? 相交 ②若 m ? ?,n ? ?,l ? m,l ? n, 则l ? ? ③若 l || m , m || n , l ? ? ,则 n ? ? ④若 l || m , m ? ? , n ? ? ,则 l || n A .1 B.2 C.3 【答案】C 【分析】根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断。

D.4

【解析】由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故命题①正确;由于不能确定直线 m, n 的 相交, 不符合线面垂直的判定定理, 命题②不正确; 根据平行线的传递性。l ∥ n , 故 l ? ? 时, 一定有 n ? ? 。 【考点】空间点、线、面的位置关系。 【点评】这类试题一般称之为空间点线面位置关系的组合判断题,主要考查对空间点、线、 面位置关系的概念、定理,考查特例反驳和结论证明,特别是把空间平行关系和垂直关系的 相关定理中抽掉一些条件的命题,其目的是考查考生对这些定理掌握的熟练程度。 5.设 a 是实数,且 A.

a 1 ? 2i ? 是实数,则 a ? 1? i 2
B.-1 C.1 D.2





1 2

【答案】D 【分析】把复数整理成标准形式后,根据复数是实数的充要条件求解。 【解析】

a ? 2。 【考点】复数。 【点评】本题考查复数的运算和概念,高考中复数考查的重点是复数代数形式的四则运算, 在考查运算的同时考查复数的概念和复数的几何意义。
6.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3

a 1 ? 2i 1 1 1 1 ? ? ( a ? ) ? (1 ? a)i ,该复数是实数的充要条件是 1 ? a ? 0 ,解得 1? i 2 2 2 2 2

22? ,则 tana6 的值为 3
D. ?





C. ? 3

3 3

【答案】B 【分析】根据等差数列的性质,求出 a6 。 【解析】由于数列 ?an ? 是等差数列,故 S11 ? 以 tan a6 ? tan

2? ?? 3。 3

11(a1 ? a11 ) 22? 2? ? 11a6 ? ,所以 a6 ? ,所 2 3 3

【考点】数列 【 点 评 】 本 题 考 查 等 差 数 列 的 性 质 , 核 心 是 在 等 差 数 列 中 am ? an ? ap ? aq ? m ? n ?( p ? , q , ,m R 。 n ) ? p q 8.已知 0 ? a ? 1 ,则函数 y ? a|x| ? | loga x | 的零点的个数为 A .1 【答案】B 点的个数。 【解析】在同一个坐标系中分别画出函数 y ? a , y ? log a x 的图象,如图,显然两个函数的
x

( D.4



B.2

C.3
x

【分析】数形结合。在同一个坐标系中分别画出函数 y ? a , y ? log a x 的图象,观察图象交

图象有两个不同的交点,答案 B。

【考点】函数的应用。 【点评】本题以函数的零点入手,重点考查数形结合思想在解题中的应用,考查考生是否有 数形结合的思想意识以及绘制函数图象的能力。 8.若曲线 f(x)=x.· sinx+1 在 x= A.-2 【答案】D。 ( ) B.-1

? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于 2
C.1 D.2

【分析】求出函数 f ( x) ? x sin x ? 1 在点 x ?

?
2

处的导数值,这个导数值即函数图象在该点处

的切线的斜率,然后根据两直线垂直的条件列方程求解 a 。 【解析】 f '( x) ? sin x ? x cos x , f '( ) ? 1 ,即函数 f ( x) ? x sin x ? 1 在点 x ?

?

?
2

2

处的切线

的斜率是 1 ,直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率是 ?

a a ,所以 (? ) ?1 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 2 2

【考点】导数及其应用、直线与方程。 【点评】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的条件,试题在知识网络的交汇处命制。 9.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变 化的可能图象是 ( )

正 视图

侧 视图

俯 视图

h

h

h

h

A. O

t

BO .

t

C. O

t

OD.

t

【答案】B 【分析】可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断。 【解析】容器是一个倒置的圆锥,由于水是均匀注入的,故水面高度随时间变化的变化率逐 渐减少,表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少,正确选项 B。 【考点】空间几何体、导数及其应用。 【点评】本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制,重点是对函数变化率的考查,

这是一种回归基本概念的考查方式,值得注意。 10. a, b是不共线的向量 , 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) ,则 A、B、C 三点共线的充 要条件为 ( ) A. ? 1 ? ? 2 ? ? 1 B. ? 1 ? ? 2 ? 1 C. ?1? 2 ?1 ? 0 D. ?1 ?? 2 ?1 ? 1 【答案】C 【分析】由于向量 AC, AB 由公共起点,因此三点 A, B, C 共线只要 AC, AB 共线即可,根据 向量共线的条件即存在实数 ? 使得 AC ? ? AB ,然后根据平面向量基本定理得到两个方程, 消掉 ? 即得结论。 【解析】只要要 AC, AB 共线即可,根据向量共线的条件即存在实数 ? 使得 AC ? ? AB ,即

a ? ?2 b ? ?(?1 a ? b) ,由于 a, b 不共线,根据平面向量基本定理得 1 ? ??1 且 ?2 ? ? ,消掉 ? 得 ?1?2 ? 1 。
【考点】平面向量。 【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理,平 面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示,这个定 理的一个极为重要的导出结果是,如果 a, b 不共线,那么 ?1 a ? ?2 b ? ?1 a ? ?2 b 的充要条件 是 ?1 ? ?1 且 ?2 ? ?2 。

? 个单位,再将图像上所有点的 6 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为 y ? sin x ,则 ( )
11.把函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ? ) 的图象向左平移 A. ? ? 2,? ? C. ? ? ,? ?

?
6
? 6

1 2

? 3 1 ? D. ? ? ,? ? 2 12
B. ? ? 2,? ? ?

【答案】B 【分析】根据变换的结果,逆行变换后即可得到 y ? sin x 经过变换后的函数解析式,通过比 较即可确定 ? , ? 的值。 【 解 析 】 把 y ? sin x 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的

y ? sin 2 x , 再 把 这 个 函 数 图 象 向 右 平 移

? ,得到的函数图象的解析式是 6 ? ? ? y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,与已知函数比较得 ? ? 2, ? ? ? 。 6 3 3

1 倍得到的函数解析式是 2

【考点】基本初等函数Ⅱ。 【点评】本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考查的方式是比较有新义的。本题 也可以根据比较系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过两次变换后函数

y ? sin(? x ? ? ) ,即被变换成 y ? sin(? x ? ? ?
3 12. 设 f ( x) ? x ? x, x ? R , 当 0?? ?

?
6

? ? ) ,比较系数也可以得到问题的答案。

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立, 则实数 m ( B. (??,0) D. (??,1) )

的取值范围是 A. (0,1) C. (?? , )

1 2

【答案】D 【分析】函数 f ( x ) 是奇函数且是单调递增的函数,根据这个函数的性质把不等式转化成一个 具体的不等式。根据这个不等式恒成立, 【解析】根据函数的性质,不等式 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 ,即 f (m sin ?) ? f( m ? 1) ,即

m ?1 m ?1 ? ?? m sin ? ? m ?1 在 ?0, ? 上恒成立。当 m ? 0 时,即 sin ? ? 恒成立,只要 0 ? 即 m m ? 2? m ?1 可,解得 0 ? m ? 1 ;当 m ? 0 时,不等式恒成立;当 m ? 0 时,只要 sin ? ? ,只要 m m ?1 1? ,只要 0 ? ?1 ,这个不等式恒成立,此时 m ? 0 。综上可知: m ? 1 。 m
【考点】基本初等函数Ⅰ。 【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用,这里函数性质是隐含在函数解析式中的, 其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识。在不等式的恒成立 问题中要善于使用分类参数的方法解决问题,本题的解析是分类了函数,把参数放到一个表 达式中,也可以直接使用分离参数的方法求解,即 m sin ? ? m ? 1 可以化为 (1 ? sin ? )m ? 1 , 当? ?

?

2 2 m ? 1 即可。综合两种情况得到 m ? 1 。

时, m ? R ;当 ? ?

?

时, m ?

1 ? f (? ) ,只要 m ? f (? )min 即可,即只要 1 ? sin ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是__________.
【答案】 ?2 或 1 。 【分析】 a ? 0 时,显然不符合题目要求,在 a ? 0 的条件下,求出直线在两坐标轴上的截距, 根据截距相等列出方程,解方程即可求出 a 值。 【解析】根据题意 a ? 0 ,此时直线在 x 轴上的截距是 据已知

2?a ? 2 ? a ,解得 a ? ?2 或 a ? 1 。 a

2?a ,在 y 轴上的截距是 2 ? a ,根 a

【考点】直线与方程。 【点评】本题解方程 现漏解。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 则 目 标 函 数z ? x ? 2 y 的最小值为 14.已知实数 x , y满 足? x ? 3 ?x ? y ? 0 ?

2?a ? 2 ? a ,容易出现在方程两端无条件消掉 2 ? a 的情况,此时会出 a

【答案】 ?3 。 【分析】画出平面区域,根据目标函数的特点确定其取得最小值的点,即可求出其最小值。

?x ? y ? 5 ? 0 ? 【解析】 不等式组 ? x ? 3 所表示的平面区域, 如图所示。 显然目标函数在点 B(3, ?3) 处 ?x ? y ? 0 ? 取得最小值 ?3 。

【考点】不等式。 【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目 标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界,在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的 值,故在解答选择题或者填空题时,只要能把区域的顶点求出,直接把顶点坐标代入进行检 验即可。 15.已知条件 p : k ? 3 ;条件 q :直线 y ? kx ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切。则 p 是 q 的 . (填:充分非必要条件,必要非充分条件,充要条件,既不充分也不必要条 件) 16.在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 900 , AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 外接圆半径 r ?
a2 ? b2 . 2

运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球的半径

R=
2 2



a ? b ? c2 【答案】 。 2
【分析】三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球,与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相 同的,这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。 【解析】作一个在同一个顶点处棱长分别为 a, b, c 的长方体,则这个长方体的体对角线的长度 是 a2 ? b2 ? c2 , 故这个长方体的外接球的半径是

a 2 ? b2 ? c 2 , 这也是所求的三棱锥的外 2

接球的半径。 【考点】推理与证明。 【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确,但出 现在高考试题或者模拟试题中类比推理,不会设计成漫无目标的类比推理试题,而是设计成 指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时,一定要在得出结论的 过程中注重演绎推理的应用,不要被表面现象所迷惑。 三、解答题(共 6 小题,70 分,须写出必要的解答过程) 17. (本小题满分 12 分) 在 各 项 均 为 负 数 的 数 列 ?a n ? 中 , 已 知 点 ?a n , a n?1 ?(n ? N * ) 在 函 数 y ?
a2 ? a5 ? 8 . 27 2 x 的图像上,且 3

(1)求证: 数列 ?an ? 是等比数列,并求出其通项;

(2)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? an ? n ,求 S n . 【分析】 (1)把点的坐标代入直线方程,根据等比数列的定义进行证明,显然公比是

3 ,再 2

根据条件 a2 ? a5 ?

8 求出首项即可求出这个数列的通项公式; (2)数列 ?bn ? 是一个等比数列 27

和一个等差数列的对应项的和组成的数列,分别求和即可。

2 x 的图像上, 3 a 2 2 2 所以 a n ?1 ? a n ,即 n ?1 ? , 故数列 ?an ? 是公比 q ? 的等比数列 3 3 an 3 8 8 2 2 , 则a 1 q ? a1 q 4 ? , 即a12 ( ) 5 ? ( ) 3 , 由于数列 ?an ? 的各项均为负数, 因为 a 2 a5 ? 27 27 3 3 3 2 n?2 则 a1 ? ? 所以 a n ? ?( ) ………….6 分 2 3 2 n?2 2 n?2 (2)由(1)知, an ? ?( ) , bn ? ?( ) ? n , 3 3 2 2 n?1 n ? n ? 9 . …12 分 所以 Sn ? 3 ? ( ) ? 3 2
【解析】 (1)因为点 (an , an?1 )(n ? N* ) 在函数 y ? 【考点】数列。 【点评】本题考查等比数列的概念、通项,等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查 难度在下降,其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列,以及数列求和方 面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法,即通过列出方程或者方程组求出 等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法,一个是本题 使用的分组求和,第二个是错位相减法,第三个是裂项求和法。 18. (本小题满分 12 分) ? 在 ?ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x , 面积为 y. 3 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 【分析】 (1)根据正弦定理求出 AC ,再根据三角形面积公式即可求出函数 f ( x ) 的解析式,根 据三角形内角和定理即可求出函数的定义域; (2)变换函数 f ( x ) 的解析式为一个角的一个三 角函数,再根据三角函数的性质解决。 【解析】 (1)由正弦正定得:AC=
2 3 sin x ? 4 sin x 2 sin 3

………………2 分

∴y=f(x)=4 3 sin x ? sin(x ?
2 定义域为{x|0<x< ? } 3

?
3

)

………………5 分 ………………6 分

(2)函数 f(x)=4 3 sin x ? sin( x ? =2 3 sin2 x ? 6 sin x sin x

?
3

)

= 3 ? 3 cos 2 x ? 3 sin2 x ? = 3 ? 2 3 sin(2 x ? ) ………………9 分 6 2 ? ? 7 ∵0<x< ? ∴ ? ? 2x ? ? ? 3 6 6 6 ? ? 2 ∴当 2x- ? 即 x= ? 时 f(x)max=3 3 ………………12 分 3 6 2

【考点】基本初等函数Ⅱ、解三角形。 【点评】本题综合考查了正弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换、三角函数的性质,这 也是高考中三角函数解答题的一个常规考查方式,值得注意的是虽然高考降低了对三角恒等 变换的考查,但在解决三角函数性质的试题中三角恒等变换往往是解题的工具,在复习三角 函数时一定不要忽视了三角恒等变换。 19. (本小题满分 12 分) 如图, 已知三棱锥 A—BPC 中, AP⊥PC, AC⊥BC, M 为 AB 中点, D 为 PB 中点, 且△ PMB 为正三角形。 (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

? BC ? 面PBC ? AP ? BC 又? BC ? AC, AC ? AP ? A ? BC ? 面APC ? BC ? 面ABC ? 平面 ABC⊥平面 APC ………………8 分 (3)由题意可知, MD ? 面PBC ,? MD 是三棱锥 D—BCM 的高, 1 ? VM ? DBC ? Sh ? 10 7 …………………………12 分 3

【分析】 (1)只要证明 MD ∥ AP 即可,根据三角形中位线定理可证; (2)证明 AP ? BC ; (3)根据锥体体积公式进行计算。 【解析】 (1)由已知得, MD 是 ? ABP 的中位线? MD ∥ AP ? MD ? 面APC, AP ? 面APC ? MD ∥ 面APC ……………4 分 (2)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点? MD ? PB ,? AP ? PB 又? AP ? PC, PB ? PC ? P ? AP ? 面PBC ……………………6 分

【考点】立体几何初步。 【点评】本题重点考查空间平行关系和垂直关系的证明,这也是文科立体几何解答题的主要 考查内容。在平行关系和垂直关系的证明中要注意转化思想的运用,如为了证明线线的平行, 我们可以先证明线面平行或者面面平行,再根据线面平行或者面面平行的性质定理得到线线 平行,而在证明线面平行或者面面平行时又要证明线线平行,平行关系的证明就是在这种不 断的转化中进行的。 20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? a ln x ? (1)当 a ? 3, b ?
1 2 x ? bx. 2

1 时,求 f ( x) 的最大值; 2 (2)求不等式 f ?? x ? ? f (1) 的解集.

【分析】 (1) 求出函数的极值点, 根据极值点和函数是单调性确定这个极值点是最大值点; ( 2) 在 x ? 0 的前提下, 把 f '( x) ? f (1) 化为一个整式不等式, 再根据参数 a 的取值范围分类求解。

【解析】 (1)当 a=3,b=

1 1 1 时,f(x)=3lnx- x2+ x(x>0) 2 2 2 3 1 ?( x ? 2)(2 x ? 3) f ' ( x) ? ? x ? ? x 2 2x ∵x>0 ∴当 0<x<2 时, f ' ( x ) ? 0 f ( x) ?

当 x>2 时, f ' ( x ) ? 0 f ( x) ? ∴当 x=2 时,f(x)max=-1+3ln2 a 1 (2)不等式 f ' ( x ) ? f (1) ? ? x ? b ? ? ? b x 2 ∵x>0 ∴不等式①化为 2x2-x-2a<0 ∵△=1+16a 1 ∴当△ ≤0,即 a≤ ? 时,不等式解集为 ? 16 1 1 ? 1 ? 16a 1 ? 1 ? 16a 当△ >0,即 a> ? 时,解集为 ( , ) 16 4 4 【考点】导数及其应用、不等式。 【点评】本题考查导数在研究函数性质中的应用、一元二次不等式的解法。高考对不等式的 考查的一个主要阵地就是在函数导数试题,研究函数是单调性需要解导数的不等式,用导数 研究方程的解的个数要研究一些不等式的解等。 21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 P(4, ?2), Q( ?1,3) 两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2) 若直线 l // PQ ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 求直线 l 的 方程. 【分析】 (1)根据两点式方程求直线 PQ 的方程,根据圆的性质圆心一定在线段 PQ 的垂直平 分线上,再根据圆在 y 轴上截得的线段长为 4 3 即可建立圆心坐标的方程,解这个方程即可 求出圆心坐标,再根据圆经过的点求出圆的半径; (2)以直线 l 在 y 轴上的截距为参数,设出 直线 l 的方程,与已知圆的方程联立消掉 y 得关于 x 的一元二次方程,设点

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆过坐标原点的充要条件是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,根
据韦达定理代入即可。 【解析】 (1)直线 PQ 的方程为:x+y-2=0 设圆心 C(a,b) ,半径为 r 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y即 y=x-1 所以 b=a-1 ………………2 分

1 3 =x2 2 ① ………………3 分

又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3 知(a+1)2+(b-3)2=12+a2 由①②得:a=1,b=0 或 a=5,b=4 当 a=1,b=0 时,r2=13 满足题意 当 a=5,b=4 时,r2=37 不满足题意 故圆 C 的方程为(x-1)2+y2=13 (2)设直线 l 的方程为 y=-x+m A(x1,m-x1),B(x2,m-x2) 则,由题意可知 OA⊥OB,即 kOA?kOB=-1 ∴
(m ? x1 ) (m ? x 2 ? ? ?1 x1 x2

② ………………4 分

………………6 分 ………………7 分

x1+x2=1+m,x1x2=

m 2 ? 12 2

即 m2-m?(1+m)+m2-12=0

∴m=4 或 m=-3 ∴y=-x+4 或 y=-x-3 【考点】平面解析几何初步。 【点评】本题重点考查圆的方程的求解、直线与圆的位置关系。高考中解析几何解答题一般 是以椭圆为中心命制,但也不排除以圆与方程为中心命制,同样可以考查解析几何的基本思 想方法。 四、选做题(本小题满分 10 分。请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按 所做的第一题记分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,DC 是∠ACB 的平分线并 交 AE 于点 F、交 AB 于 D 点,则∠ADF=?

【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系 求解。 【解析】设 ?EAC ? ? ,根据弦切角定理, ?ABE ? ? . 根据三角形外角定理, ?AEC ? 90? ? ? . 根据三角形内角和定理, ?ACE ? 90? ? 2? . (3 分) 由于 CD 是 ?ACB 的内角平分线,所以 FCE ? 45? ? ? . (5 分) 再根据三角形内角和定理, ?CFE ? 180? ? (90? ? ? ) ? (45? ? ? ) ? 45? . (7 分) 根据对顶角定理, ?AFD ? 45? . 由于 ?DAF ? 90? ,所以 ?ADF ? 45? . (10 分) 【考点】几何证明选讲。 【点评】本题的涉及很独到,试题涉及成动态的,即点 C 是可变的,在这个动态中求解其中 的一个不变量。 解决这类试题要善于抓住主要的变化关系, 如本题中主要的变量就是 ?AEC , 抓住这个变量后,其余的角可以使用这个变量进行表达,通过各个角的关系证明求解的目标 与这个变量没有关系。 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 ? x ? a ? 4t , ? ( t为 参 数 ),圆C : ? ? 2 2 cos( ? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合,且单位长 直线 l : ?
? y ? ?1 ? 2 t 4

度相同) 。 (1)求圆心 C 到直线 l 的距离;
6 5 , 求a 的值. 5 【分析】把直线的参数方程化为普通方程、把圆的极坐标方程化为直角坐标方程后,利用点 到直线的距离公式以及直线内圆所截得的弦长公式进行计算即可。

(2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为

? x ? a ? 4t 化为普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? a ? 0, 2分 ? y ? ?1 ? 2t ? 2 2 把 ? ? 2 2 cos(? ? ) 化为直角坐标系中的方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0, 4
【解析】 (1)把 ?

4分

5 |1? a | 6分 5 3 2 | a ? 1| 2 (2)由已知 ( 8分 ) ?( ) ? ( 5) 2 5 5 ? a 2 ? 2a ? 0 , a ? 0或a ? 2 10 分

?圆心到直线的距离为

【考点】坐标系与参数方程。 【点评】解答坐标系与参数方程类试题时,如果试题中既有参数方程也有极坐标系方程,一 般是把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,把问题归结为熟悉的直角坐 标问题加以解决。 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x ) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)只要分区去掉绝对值,即转化为普通的一次不等式,最后把各个区间内的解集 合并即可; (2)问题等价于 f ( x)max ? a 。 【解析】 (I)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? 2 2 2 ? ? ? ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ? ? 3 1 3 1 解,得 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} 2 2 2 2 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 (II)? 8分 ?a ? 4 10 分

3分

6分

【考点】不等式选讲 【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法 也可以根据几何意义求解,不等式 f ( x) ? 6 ,等价于 x ? 上的点 x 到点 ?

1 3 ? x ? ? 3 ,其几何意义是数轴 2 2

1 2 , 距离之和不大于 3 ,根据数轴可知这个不等式的解区间是 ? ?1, 2? 。 2 3


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