数学选修4-5不等式选讲教案

选修 4-5

不等式选讲

课 题: 不等式的基本性质 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 《列子?汤问》 中脍炙人口的 “两小儿辩日” : “远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来 水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?” 、 “用一块正方形 白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大 的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研 究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的 证明,数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这 表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明 本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0),若再加 m(m>0)克糖,则 糖水更甜了,为什么? 分析:起初的糖水浓度为

b b?m b?m b ,加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ,只要证 > 即可。怎么证呢? a a?m a?m a

二、不等式的基本性质: 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示可知:

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a ? b
n n

(n ? N,且 n>1)

⑥、如果 a>b >0,那么 n a ? n b (n ? N,且 n>1)。 三、典型例题: 例 1、已知 a>b,c<d,求证:a-c>b-d. 例 2 已知 a>b>0,c<0,求证: 四、练习: 五、作业:
1

c c ? 。 a b

课 题: 含有绝对值的不等式的证明 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立, 除了要应用一般不等式的基本性质之外, 经常还要用到关于绝对值的和、 差、积、商的性质: (1) a ? b ? a ? b (3) a ? b ? a ? b (2) a ? b ? a ? b

(4)

a b

?

a (b ? 0) b

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质 a ? b ? a ? b 和

a b

?

a (b ? 0) 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的 b

差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 a ? b ? a ? b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面 的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ? a , 当且仅当 a ? 0 时等号成立 (即在 a ? 0 时, 等号成立。 在 a ? 0 时, 等号不成立) 。 同样,a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ? ?a 、 a ? ?a 及绝对值的和的性质。 二、典型例题: 例 1、证明 (1) a ? b ? a ? b , (2)

a?b ? a ? b 。

证明(1)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? a ? b. 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? ?(a ? b). 所以 a ? b ? ?a ? (?b) ? ?(a ? b) ? a ? b (2)根据(1)的结果,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。

例 2、证明 a ? b ? a ? b ? a ? b 。

例 3、证明 a ? b ? a ? c ? b ? c 。 思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释?
2

(设 A,B,C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间 时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a ? b ? a ? b 的几何解释? 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和例 3 的结果来证明。 例 4、已知 x ? a ?

c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2

证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)

? x ?a ? y ?b

(1)

c c , y ?b ? , 2 2 c c ∴ x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2 ? x?a ?
由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c 例 5、已知 x ?

(2)

a a , y ? . 求证: 2x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a 证明 ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的 不等式。 三、小结: 四、练习:

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c 2、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6
1、已知 A ? a ? 五、作业:

3



题:

含有绝对值的不等式的解法

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上,本节讨论 含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。下面分别就这两 类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不 等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。

? x,如果x ? 0 ? 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 ?
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间(-a,a) ,如图所示。

{x | ?a ? x ? a} ,它

图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a } 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 (??,?a), (a, ?) 的并集。如图 1-2 所示。

?a

–a

a

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题: 例 1、解不等式 3x ? 1 ? x ? 2 。

例 2、解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x 。
4

方法 1:分域讨论

★方法 2:依题意, 3x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 , (为什么可以这么解?)

例 3、解不等式 2x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。 例 4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解 本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点 x 到 1,2 的距

离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ? 2) ;或者 x 在 1 的左边,与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例 5、不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a ,对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。 三、小结: 四、练习:解不等式 1、 2 2 x ? 1 ? 1. 3、 2、 41 ? 3x ? 1 ? 0 4、 x ? 1 ? 2 ? x .
2 6、 x ? 1 ? x ? 2 .

3 ? 2x ? x ? 4 .

2 5、 x ? 2 x ? 4 ? 1

7、 x ? x ? 2 ? 4 9、 五、作业:

8、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6. 10、

x ? x ?1 ? 2

x ? x ? 4 ? 2.

5

链接:不等式的图形
借助图形的直观性来研究不等式的问题, 是学习不等式的一个重要方法, 特别是利用绝对值和绝对值不等式 的几何意义来解不等式或者证明不等式, 往往能使问题变得直观明了, 帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。 关键是在遇到相关问题时,能否准确地把握不等式的图形,从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体 会不等式图形的作用。 1.解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 。 题意即是在数轴上找出到 ?1 ? 1与 ? 2 ? 2 的距离之和不大于到点 ? 3 ? ?1 的距离的所有流动点 x 。 首先在数轴上找到点 ?1 ? 1, ? 2 ? 2 , ? 3 ? ?1 (如图) 。

?3
-1 0

x1 ? 1
1

? 2 x2
2 3

x

从图上判断,在 ? 1 与 ? 2 之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到 ? 1 与 ? 2 的距离和正好是 1,而到

? 3 的距离是 2 ? ( x ? 1) ? 1 ? x(1 ? x ? 2) 。
现在让流动点 x 由点 ? 1 向左移动,这样它到点 ? 3 的距离变,而到点 ? 1 与 ? 2 的距离增大,显然,合乎要求的 点只能是介于 ? 3 ? ?1 与 ?1 ? 1之间的某一个点 x1 。 由 (1 ? x1 ) ? (2 ? x1 ) ? x1 ? (?1), 可得 x1 ?

2 . 3

再让流动点 x 由点 ? 2 向右移动,虽然这种点到 ? 1 与 ? 2 的距离的和及到 ? 3 的距离和都在增加,但两相比较, 到 ? 1 与 ? 2 的距离的和增加的要快。所以,要使这种点合乎要求,也只能流动到某一点 x2 而止。 由 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? x2 ? (?1), 可得 x 2 ? 4. 从而不等式的解为 2.画出不等式 x ? y ? 1的图形,并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于:

2 ? x ? 4. 3

x?0

, y ? 0 , x ? y ? 1.

其图形是由第一象限中直线 y ? 1 ? x 下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 的图形是以原点 O 为中心,四个等点分别在坐标轴上的正方形。 范围一目了然。 探究:利用不等式的图形解不等式
6

x ? y ?1
不等式解的

1.

x ?1 ? x ?1 ? 1;

2. x ? 2 y ? 1. A组

1.解下列不等式: (1) 2 ? 3 x ?

1 2

(2) 1 ? 3x ? 4 ? 7 (4) x ? 2 x ?
2

(3) 2 x ? 4 ? x ? 1

1 x 2

2.解不等式: (1) 2 x ? 1 ? x ? 1 3.解不等式: (1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3

(2)

x?2 ?1 x ?1

(2) x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ? 0.

4.利用绝对值的几何意义,解决问题:要使不等式 x ? 4 ? x ? 3 < a 有解, a 要满足什么条件? 5.已知 A ? a ?

s s s , B ? b ? , C ? c ? . 求证: 3 3 3

(1) ( A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s ; (2) A ? B ? C) ? (a ? b ? c) ? s. 6.已知 x ?

a , y ? a. 求证: xy ? a.
x ? h. y
B组

7.已知 x ? ch, y ? c ? 0. 求证:

*****8.求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.

*****9.已知

a ? 1, b ? 1. 求证:

a?b ? 1. 1 ? ab
2

10.若 ? , ? 为任意实数, c 为正数,求证: ? ? ?

1 2 2 ? (1 ? c) ? ? (1 ? ) ? . c
2

(? ??

2

? ? ? ? ? 2 ? ? ,而 ? ? ? c ? ?

2

2

1 ? c

2

?

c? ? 2

2

1 ? c

2



7

课 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入:

题:

平均值不等式

2 2 1、定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )

证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2

当a ? b时, ( a ? b) 2 ? 0 ? 2 2 ? ? a ? b ? 2ab 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0?
1.指出定理适用范围: a, b ? R 强调取“=”的条件 a ? b 。 2、定理 2:如果 a , b 是正数,那么 证明:∵ ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab 即:

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) 2
∴ a ? b ? 2 ab 当且仅当 a ? b 时
?

a?b ? ab 2

a?b ? ab 2

注意:1.这个定理适用的范围: a ? R ; 2.语言表述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3 3 3 ? 3、定理 3:如果 a, b, c ? R ,那么 a ? b ? c ? 3abc (当且仅当 a ? b ? c 时取“=” )

证明:∵ a ? b ? c ? 3abc ? (a ? b) ? c ? 3a b ? 3ab ? 3abc
3 3 3 3 3 2 2

? (a ? b ? c)[(a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)[a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
? 1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] 2
?

∵ a, b, c ? R

∴上式≥0
?

从而 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

指出:这里 a, b, c ? R

∵ a ? b ? c ? 0 就不能保证。

推论:如果 a, b, c ? R ,那么

?

a?b?c 3 ? abc 。 (当且仅当 a ? b ? c 时取“=” ) 3

证明: (3 a ) 3 ? (3 b ) 3 ? (3 c ) 3 ? 33 a ? 3 b ? 3 c
8

? a ? b ? c ? 33 abc ?
a?b?c 3 ? abc 3

4、算术—几何平均不等式: ①.如果 a1 , a2 ,?, an ? R ? , n ? 1且n ? N ? 则:
n

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这 n 个正数的算术平均数, n

a1a2 ?an 叫做这 n 个正数的几何平均数;
②.基本不等式:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1a2 ?an ( n ? N * , ai ? R ? ,1 ? i ? n ) n

这个结论最终可用数学归纳法,二项式定理证明(这里从略) 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 ③.

a?b ? ab 的几何解释: 2
则 CD ? CA ? CB ? ab ,
2

以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C,过 C 作弦 DD’?AB 从而 CD ?

ab ,而半径

a?b ? CD ? ab 。 2

D

A

a O C b

B

二、典型例题: 例 1、已知 a , b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
2 2 2

证:∵ a ? b ? 2ab
2 2

b 2 ? c 2 ? 2bc

c 2 ? a 2 ? 2ca

以上三式相加: 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

例 2、设 a , b, c 为正数,求证: (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c ) ? 16abc 。
2

9

例 3、设 a1 , a2 , a3 ,?, an 为正数,证明:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n 。 ? 1 1 1 n ? ??? a1 a 2 an

例 4、若 x, y ? R ? ,设 Q( x, y) ?

x2 ? y2 2

A( x, y ) ?

x? y 2

G( x, y) ? xy

H ( x, y ) ?

2 1 ? ? x y

求证: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y)

加权平均;算术平均;几何平均;调和平均 证:∵ (

x ? y 2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 x 2 ? y ) ? ? ? 2 4 4 2



x2 ? y2 x ? y 即: Q( x, y) ? A( x, y) (俗称幂平均不等式) ? 2 2

由平均不等式 A( x, y) ? G( x, y)

H ( x, y) ?

2 xy 2 xy ? ? xy ? G( x, y) 即: G( x, y) ? H ( x, y) x ? y 2 xy

综上所述: Q( x, y) ? A( x, y) ? G( x, y) ? H ( x, y) 三、小结: 四、练习: 五、作业: 1、若 a ? b ? 1, a, b ? R

1 2 1 25 ) ? (b ? ) 2 ? a b 2 1 1 (a ? ? b ? ) 2 1 2 1 2 a b 证:由幂平均不等式: (a ? ) ? (b ? ) ? a b 2 a?b a?b 2 b a 2 (1 ? ? ) (3 ? ? ) 2 a b a b ? (3 ? 2) ? 25 ? ? 2 2 2 2
?

求证 (a ?

10

课 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 1、重要的结论: 已知 x,y 都是正数,则:

题:

利用平均不等式求最大(小)值

(1)、如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)、如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 二、典型例题: 例 1、当 x 取什么值时,函数 y ? 4 x ?
2

1 2 S 。 4

9 有最小值?最小值是多少? x2

例 2、求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 6 ( x ? 0 )的最小值。 x ?1

例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使用过程中,每年的维修费用约 为:第一年为 200 元,第二年 400 元,第三年 600 元,?,按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算? 分析:

例 4、如图,电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离是 a ,那么电灯距离桌面的高度

h 等于多少时,A 点处最亮?(亮度公式: I ?
到某点的光线与水平面所成的角) 分析:

k sin ? ,这里 k 为常数, r 是电灯到照射点的距离, ? 是照射 r2

r h

a O

A

例 5、求函数 y ? 2 x ?
2

3 , ( x ? 0) 的最大值,下列解法是否正确?为什么? x

解一: y ? 2 x ?
2

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 x x x x x
11

∴ ymin ? 33 4 解二: y ? 2 x ?
2
3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x

y min ? 2 6 ?

3

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2
2

答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=” ,即不存在 x 使得 2 x ? 定值(常数) 正确的解法是: y ? 2 x ?
2

1 2 ? ;解二错在 2 6x 不是 x x

3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2

当且仅当 2 x ?
2

3 3 3 6 即x ? 时 y min ? 3 36 2x 2 2

例 6、若 ? 4 ? x ? 1 ,求

x 2 ? 2x ? 2 的最值。 2x ? 2

解:

x 2 ? 2 x ? 2 1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? [(x ? 1) ? ] ? ? [?( x ? 1) ? ] 2x ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ? ( x ? 1)
∵? 4 ? x ?1 ∴ ? ( x ? 1) ? 0

1 ?0 ? ( x ? 1)

从而 [?( x ? 1) ?

1 ]? 2 ? ( x ? 1)

1 1 ? [?( x ? 1) ? ] ? ?1 2 ? ( x ? 1)

x 2 ? 2x ? 2 ) min ? ?1。 即( 2x ? 2

例 7、设 x ? R 且 x ?
2

?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值 2
2

解:∵ x ? 0

∴ x 1? y ?

1 y2 2 ? x2 ( ? ) 2 2

1 y2 y2 1 3 2 ) ? (x ? ) ? ? 又x ?( ? 2 2 2 2 2
2

12

∴ x 1? y ?
2

1 3 3 2 2( ? ) ? 2 2 4
3 2 4
a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y a x b ay xb ) ? a?b? ? y x y

即 ( x 1 ? y ) max ?
2

例 8、已知 a, b, x, y ? R ? 且

解: x ? y ? ( x ? y ) ? 1 ? ( x ? y )( ?

? a?b?2
ay xb x ? 即 ? x y y

ay xb ? ? ( a ? b)2 x y

当且仅当

a 时 ( x ? y) min ? ( a ? b ) 2 b

三、小结:

四、练习: 1.求下列函数的最值: 1? 、 y ? 2 x ?
2

4 , (x ? R ? ) x
2

(min=6)

2?、 y ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ? 2.1?、 x ? 0 时求 y ?

a ) 2

( max ?

2a 3 ) 27

6 6 9 ? 3 x 2 的最小值, y ? 2 ? 3 x 的最小值 (9, 3 4 ) x 2 x 1 x ? log 3 (3x) 的最大值(5) 2?、设 x ? [ ,27 ] ,求 y ? log 3 9 27
4 2 3?、若 0 ? x ? 1 , 求 y ? x (1 ? x ) 的最大值 (

4 2 3 ,x ? ) 27 3

? 4?、若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值 (3 ? 2 2 ) x y

3.若 a ? b ? 0 ,求证: a ?

1 的最小值为 3 b( a ? b)

4.制作一个容积为 16?m 的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取多少时,用料最省?(不计加
3

工时的损耗及接缝用料) ( R ? 2m, h ? 4m)
13

五、作业: 1、将一块边长为 a 的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形) ,作成一个无盖的铁盒, 要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少? 解:设剪去的小正方形的边长为 x 则其容积为 V ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ?
2

a ) 2

V ?

1 ? 4 x ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) 4

1 4 x ? ( a ? 2 x ) ? ( a ? 2 x ) 3 2a 3 ? [ ] ? 4 3 27
当且仅当 4 x ? a ? 2 x 即 x ?

a 时取“=” 6
a 2a 3 时,铁盒的容积为 6 27

即当剪去的小正方形的边长为

2、 某种汽车购买时的费用是 10 万元, 每年的保险费、 养路费及汽油费合计为 9 千元; 汽车的维修费平均为: 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年 平均费用最少)? 解:设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为

0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ? ? 0.2n ?
年平均费用 y=

n(n ? 1) ? 0.2 ? 0.1(n 2 ? n) (万元) 2

10 ? 0.9n ? 0.1(n 2 ? n) 10 n 10 n ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 n n 10 n 10

当且仅当

10 n ? 即 n=10 时取等号。 n 10

答:这种汽车使用 10 年报废最合算。 3、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为λ (λ >1),画面的上、下各留 8cm 的空 白,左、右各留 5cm 的空白。怎样确定画面的高与宽尺才,能使宣传画所用纸张面积最小?(2001 年全国文科高 考题) 解:设画面的宽为 x cm,则画面的高为
2

4840 ,设纸张面积为 S x cm

S= ( x ? 10)( 当且仅当 x=

4840 3025 3025 ? 16) ? 5000? 16( x ? ) ? 5000? 16 ? 2 x ? ? 6760 x x x

3025 4840 ? 88 ,即 x= 55 cm,此时高 x 55

??

55 5 ? ?1 88 8

答:画面高为 88cm,宽为 55cm 时,能使所用纸张面积最小。 评注:在应用均值不等式解决这类实际问题时,应注意: ① 设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数; ② 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;
14



题:

不等式的证明方法之一:比较法

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
二、典型例题: 例 1、设 a ? b ,求证: a 2 ? 3b 2 ? 2b(a ? b) 。

例 2、若实数 x ? 1 ,求证: 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 证明:采用差值比较法:

3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2
= 3 ? 3 x ? 3x ? 1 ? x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x
2 4 2 4 2 3

= 2( x 4 ? x 3 ? x ? 1) = 2( x ? 1) ( x ? x ? 1)
2 2

= 2( x ? 1) [( x ?
2

1 2 3 ) ? ]. 2 4

1 3 ? x ? 1, 从而 ( x ? 1) 2 ? 0, 且( x ? ) 2 ? ? 0, 2 4 1 3 2 2 ∴ 2( x ? 1) [( x ? ) ? ] ? 0, 2 4
∴ 3(1 ? x 2 ? x 4 ) ? (1 ? x ? x 2 ) 2 . 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换?
? 例 3、已知 a, b ? R , 求证 a b ? a b .
a b b a

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0.

?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0

,从而原不等式得证。

15

2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

?

a a abb a ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证。 b b a b

注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商) 、 变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间以速度 n 行 走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走。如果 m ? n ,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 , t 2 。要回答题 目中的问题,只要比较 t1 , t 2 的大小就可以了。 解:设从出发地点至指定地点的路程是 S ,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 t1 , t 2 ,根据题意有

t1 t S S 2S S ( m ? n) ? ? t 2 ,可得 t1 ? m? 1 n ? S , , t2 ? , 2m 2n m?n 2mn 2 2
2S S ( m ? n ) S [ 4m n ? ( m ? n) 2 ] S ( m ? n) 2 ? 从而 t1 ? t 2 ? , ? ?? m?n 2mn 2(m ? n)m n 2(m ? n)m n
其中 S , m, n 都是正数,且 m ? n 。于是 t1 ? t 2 ? 0 ,即 t1 ? t 2 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论:如果 m ? n ,甲、乙两人谁先到达指定地点? 例 5、设 f ( x) ? 2 x 2 ? 1, pq ? 0, p ? q ? 1. 求证;对任意实数 a , b ,恒有

pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb).
证明 考虑(1)式两边的差。

(1)

pf (a) ? qf (b) ? f ( pa ? qb).
= p(2a 2 ? 1) ? q(2b 2 ? 1) ? [2( pa ? qb) 2 ? 1] = 2 p(1 ? p)a 2 ? 2q(1 ? q)b 2 ? 4 pqab? p ? q ? 1. (2)

? p ? q ? 1, pq ? 0, ? (2) ? 2 pqa2 ? 2 pqb2 ? 4 pqab ? 2 pq(a ? b) 2 ? 0.
即(1)成立。 三、小结:

四、练习:

五、作业:
16

1.比较下面各题中两个代数式值的大小: (1) x 与 x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 1 与 ( x ? 1) 2 .
2

2

2

2.已知 a ? 1. 求证: (1) a 2 ? 2a ? 1;

(2)
a ?b ? c 3

2a ? 1. 1? a2

3.若 a ? b ? c ? 0 ,求证 a a b b c c ? (abc)

.

4.比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小. 解: a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
2 ?? b ? 2b 2 ? = - (a-b) ?? 3 a ? ? ? ? ? 0 (当且仅当 d=b 时取等号) ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 4 4 3 ∴a -b ? 4a (a-b)。

2

5.比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小. 6.已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小.

? x ?1? 与 ? x ? 1? 的大小. 8.已知 a≠0,比较 ?a ? 2a ? 1??a ? 2a ? 1? 与 ?a
7.如果 x>0,比较
2 2
2 2

2

? a ? 1??a 2 ? a ? 1? 的大小.

9.设 x ? 1,比较 x3 与 x2-x+1 的大小. 说明: “变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

17



题:

不等式的证明方法之二:综合法与分析法

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法, 也是不等式证明中的基本方法。 由于两者在证明思路上 存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,以便于对比研究两种思路方法的特点。 所谓综合法, 即从已知条件出发, 根据不等式的性质或已知的不等式, 逐步推导出要证的不等式。 而分析法, 则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果” ,后一种是“执 果索因” 。打一个比方:张三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步寻找,直至找到他,这是“综合法” ;而 张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法” 。 以前得到的结论,可以作为证明的根据。特别的, A ? B ? 2 AB 是常常要用到的一个重要不等式。
2 2

二、典型例题: 例 1、 a , b 都是正数。求证:
2 2

a b ? ? 2. b a

证明:由重要不等式 A ? B ? 2 AB 可得

a b a b ? ?2 ? 2. b a b a
本例的证明是综合法。 例 2、设 a ? 0, b ? 0 ,求证 a ? b ? a b ? ab .
3 3 2 2

证法一 分析法 要证 a ? b ? a b ? ab 成立.
3 3 2 2

只需证 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) 成立, 又因 a ? b ? 0 , 只需证 a ? ab ? b ? ab 成立,
2 2

又需证 a ? 2ab ? b ? 0 成立,
2 2

即需证 (a ? b) ? 0 成立.
2

而 (a ? b) ? 0 显然成立. 由此命题得证。
2

证法二 综合法

(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab
注意到 a ? 0, b ? 0 ,即 a ? b ? 0 ,
18

由上式即得 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) , 从而 a ? b ? a b ? ab 成立。
3 3 2 2

议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗? 例 3、已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b. 求证: 证法一 要证(1) ,只需证 b(a ? m) ? a(b ? m)

a?m a ? . b?m b
(2)

(1)

要证(2) ,只需证 bm ? am (3) 要证(3) ,只需证 b ? a (4) 已知(4)成立,所以(1)成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b ? a, m 是正数,所以 bm ? am 两边同时加上 ab 得 b(a ? m) ? a(b ? m) 两边同时除以正数 b(b ? m) 得(1) 。 读一读:如果用 P ? Q 或 Q ? P 表示命题 P 可以推出命题 Q(命题 Q 可以由命题 P 推出) ,那么采用分析 法的证法一就是 (1) ? (2) ? (3) ? (4). 而采用综合法的证法二就是

(4) ? (3) ? (2) ? (1).

如果命题 P 可以推出命题 Q,命题 Q 也可以推出命题 P,即同时有 P ? Q, Q ? P ,那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价,并记为 P ? Q. 在例 2 中,由于 b, m, b ? m 都是正数,实际上

(1) ? (2) ? (3) ? (4).
例 4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面 是正方形的水管流量大。 分析:当水的流速相同时,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 L ,则周长为 L 的 圆的半径为
2

L L ?L? ? L ? ,截面积为 ?? ? ;周长为 L 的正方形为 ,截面积为 ? ? 。所以本题只需证明 2? 4 ?4? ? 2? ?
2

2

2

? L ? ? L? ?? ? ? ? ? 。 ? 2? ? ?4? ? L ? 证明:设截面的周长为 L ,则截面是圆的水管的截面面积为 ? ? ? ,截面是正方形的水管的截面面积为 ? 2? ?
?L? ? L ? ? L? ? ? 。只需证明: ? ? ? ? ? ? 。 ?4? ? 2? ? ?4?
19
2

2

2

2

?L2 L2 ? 为了证明上式成立,只需证明 。 4? 2 16
4 1 1 ,得: ? 。 2 ? 4 L 因此,只需证明 4 ? ? 。
两边同乘以正数

? L ? ? L? 上式显然成立,所以 ? ? ? ?? ? 。 ? 2? ? ?4?
这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等,那么横截面是圆的水管比横截面 是正方形的水管流量大。 例 5、证明: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
2 2 2

2

2

证法一

因为

a 2 ? b 2 ? 2ab b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? a 2 ? 2ca

(2) (3) (4) (5)

所以三式相加得 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) 两边同时除以 2 即得(1) 。 证法二 因为 a ? b ? c ? (ab ? bc ? ca ) ?
2 2 2

1 1 1 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0, 2 2 2
(1) (2)

所以(1)成立。 例 6、证明: (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 . 证明 (1) ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 ? 0

? a 2 c 2 ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? b 2 d 2 ? (a 2 c 2 ? 2abcd ? b 2 d 2 ) ? 0 (3) ? b 2 c 2 ? a 2 d 2 ? 2abcd ? 0 ? (bc ? ad) 2 ? 0
(5)显然成立。因此(1)成立。 (4) (5)

. 并指出等号在什么时候成立? 例 7、已知 a , b, c 都是正数,求证 a ? b ? c ? 3abc
3 3 3

分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
着手。 证明:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
= (a ? b ? c)(a ? b ? c ? ab ? bc ? ca)
2 2 2

20

=

1 (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ]. 2

由于 a , b, c 都是正数,所以 a ? b ? c ? 0. 而 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? 0 , 可知 a ? b ? c ? 3abc ? 0
3 3 3 3 3 3 即 a ? b ? c ? 3abc (等号在 a ? b ? c 时成立)

探究:如果将不等式 a ? b ? c ? 3abc 中的 a 3 , b 3 , c 3 分别用 a , b, c 来代替,并在两边同除以 3,会得到
3 3 3

怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:

(1 ? a ? b)(1 ? b ? c)(1 ? c ? a) ? 27 ,其中 a, b, c 是互不相等的正数,且 abc ? 1 .
三、小结: 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移 项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这 些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习: 1、已知 x ? 0, 求证: x ?

1 ? 2. x

2、已知 x ? 0, y ? 0, x ? y, 求证

1 1 4 ? ? . x y x? y

3、已知 a ? b ? 0, 求证 a ? b ? 4、已知 a ? 0, b ? 0. 求证: (1) (a ? b)(a
?1

a ? b.

? b ?1 ) ? 4. (2) (a ? b)(a 2 ? b 2 )(a 3 ? b 3 ) ? 8a 3b 3 .

5、已知 a, b, c, d 都是正数。求证: (1)

a?b?c?d ? ab ? cd ; 2

(2)

a?b?c?d 4 ? abcd . 4

. 6、已知 a , b, c 都是互不相等的正数,求证 (a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc
五、作业:

21



题:

不等式的证明方法之三:反证法

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明 不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接 证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接 地达到目的。其中,反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证法不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原 来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 )

例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
2 因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,原不
3 3 3 3

等式 a ? b ? 2 成立。 例 2、设二次函数 f ( x) ? x ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于
2

1 . 2

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

1 ,则 2
(1)

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推出的结果与已知公理、 定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、 方法有什么特点?
22

例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >

1 4

1 1 1 , (1 ? b)c > , (1 ? c)a > , 4 4 4 1 64

2

则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

又∵0 < a, b, c < 1 同理: (1 ? b)b ?

1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? ? 2 4 ? ?
1 , 4 (1 ? c)c ? 1 4
1 64
与①矛盾

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

∴原式成立 例 4、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证:设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0 三、小结: 四、练习: 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设 五、作业:

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

23



题:

不等式的证明方法之四:放缩法与贝努利不等式

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小) ,使之得出明显的不等量关系后,再应用不等 量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等 数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题: 例 1、若 n 是自然数,求证 证明:?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

1 1 1 1 ? ? ? , k ? 2,3,4,?, n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? ??? 2 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 1 2 3 n
= ? ( ? ) ? ( ? ) ??? (

?

1 1 1 1 1 1 ? ) 1 2 2 3 n ?1 n 1 = 2 ? ? 2. n 1 1 1 1 注意:实际上,我们在证明 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 的过程中,已经得到一个更强的结论 1 2 3 n 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 2 n 1 2 3 n

1 1

1 1 1 1 ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n 1 1 1 ? ? k ?1 , ( k 是大于 2 的自然数) 证明:由 1? 2 ? 3 ? ?? k 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 1 1 1 1 ? ??? 得1 ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ? ? n 1 1? n 1 1 1 1 2 ? 3 ? 1 ? 3. ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 n?1 1? 2
例 2、求证: 1 ? ?

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d ? ? ? 证:记 m = a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
例 3、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ?
24

∵a, b, c, d?R+ ∴m ?

a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c
即原式成立。

∴1 < m < 2

例 4、当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ logn (n ? 1) ? 0,

logn (n ? 1) ? 0
2 2
2

? logn n 2 ? ? logn (n 2 ? 1) ? ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? ? ?1 ? ?? ? ?? 2 2 ? ? ? 2 ? ? ?
∴n > 2 时, 三、小结: 四、练习:

logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2 1 3 5 2n ? 1 1 )? . 2、设 n 为自然数,求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ? (2 ? n n n n n!
1、设 n 为大于 1 的自然数,求证

25

五、作业: A组 1、对于任何实数 x ,求证: (1) x ? x ? 1 ?
2

3 1 2 ; (2) 1 ? x ? x ? 1 . 4 4

2、设 a ? b ,求证: (1) a 2 ? 3b 2 ? 2b(a ? b) ; (2) a 4 ? 6a 2b 2 ? b 4 ? 4ab(a 2 ? b 2 ). 3、证明不等式 a ? b ? a b ? ab .
4 4 3 3

4、若 a , b, c 都是正数,求证: (a ? b ? c)(a 3 ? b 3 ? c 3 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 . 5、若 a ? b ? c ? 0, 求证 a b c
2a 2b 2c

? a b ? c b a ? c c a ?b .

a b ? ? 2 ,并指出等号成立的条件. b a b?c?a c?a ?b a ?b?c ? ? ? 3. 7、设 a , b, c 是互不相等的正数,求证: a b c
6、如果 a , b 同号,且均不为 0. 求证: 8、已知三个正数 a , b, c 的和是 1,求证这三个正数的倒数的和必不小于 9. 9、若 0 ? ? ?

?
2

,则 1 ? sin ? ? cos? ?

2.
1 1 )(1 ? ) ? 9. x y

10、设 x, y ? R ? ,且 x ? y ? 1, 求证: (1 ?

2 11、已知 x ? 0 ,求证: (1) x ?

1 x2 ? 3 ? 1 ; ( 2 ) ? 2. x2 ?1 x2 ? 2

? b 2 a 2 ?? b a ?? 1 1 ? 12、设 a , b 是互不相等的正数,求证: ? ? a ? b ? ?? a ? b ?? a ? b ? ? 8. ?? ? ? ??
13、已知 a , b 都是正数,求证: (1) (1 ? a ? b)(1 ? a 2 ? b 2 ) ? 9ab; (2) (a 2 b ? a ? b 2 )(ab2 ? a 2 ? b) ? 9a 2 b 2 . 14、已知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, 求证: ax ? by ? cz ? 1. 15、已知 a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1, 求证: ax ? by ? 1. 16、已知 a, b, c, d 都是正数,且有 x ? 求证: xy ? (ac ? bd)(ad ? bc) 17、已知 a1 , a2 , a3 ,?an 都是正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1 , 求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) ? 2
n

a2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

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18、设 ?ABC 的三条边为 a, b, c, 求证 ab ? bc ? ca ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) . 19、已知 a, b, x, y 都是正数,设 a ? b ? 1, u ? ax ? by, v ? bx ? ay. 求证: uv ? xy .

1 1 1 1 ? ? ??? ? 2. n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? . 21、若 n 是大于 1 的自然数,试证 ? 2 n ?1 2 n 3 n
20、设 n 是自然数,利用放缩法证明不等式 B组

x y z x x? y?z z ? ? , 求证: ? ? . a b c a a?b?c c a?b a?b a sin x ? b 23、设 a ? b ? 0 ,试用反证法证明 不能介于 与 之间。 a?b a?b a sin x ? b 1 1 1 1 7 24、若 n 是自然数,求证 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? . 4 1 2 3 n
22、已知 a, b, c, x, y, z 都是正数,且

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