导数的计算_图文

1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则(一)
学习目标: 1 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的导数. x
2

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数.

【学法指导】 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多 项式函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过 定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高 学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内 容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如 公式 6 是公式 5 的特例,公式 8 是公式 7 的特例.公式 5 与公式 7 中 ln a 的位置的不同等.

看书P12-15后完成知识导学

1.几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)=x f(x)= x 导函数

0 f′(x)=______
1 f′(x)=______ 2x f′(x)=______ 1 - 2 f′(x)=______ x
1 2 x f′(x)=______

2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=______ 0 f′(x)=______ αxα-1 f′(x)=________ cos x f′(x)=__________ -sin x f′(x)=__________( axln a a>0)
1 f′(x)=______( xln a a>0 且 a≠1) 1 f′(x)=_____ x

ex f′(x)=_____

基础学习交流
1.下列结论不正确的是( D ). A.若y=0,则y'=0 B.若y=5x,则y'=5 1 C.若y=x-1,则y'=-x-2 D.若y= x 2 ,则y'= 2.若函数f(x)= x ,则f'(1)等于( A.0

1 2 x 2

1

D

).

1 B.2

C. 16

1 D. 2

3.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为. 4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.

探究点一 几个常用函数的导数 问题 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数?
Δy 答 (1)计算Δx,并化简; Δy (2)观察当Δx趋近于0时,Δx趋近于哪个定值; Δy (3)Δx趋近于的定值就是函数y=f(x)的导数.

探究点一

几个常用函数的导数

问题 2 利用定义求下列常用函数的导数: 1 2 ①y=c ②y=x ③y=x ④y= ⑤y= x x
答 ①y′=0
②y′=1 ③y′=2x 1 ④y′=-x2 1 ⑤y′= 2 x

探究点一

几个常用函数的导数

问题 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物 理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数 y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数 y=f(x)=x 的导数的物理意义呢?
答 (1)若y=c表示路程关于时间的函数,
则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一 直处于静止状态. (2)若y=x表示路程关于时间的函数,

则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

探究点一

几个常用函数的导数

问题 4 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=2x,y=3x, y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最 慢? (3)函数 y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?

答 函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象如图所示,导数分别为y′=2, y′=3,y′=4.

探究点一

几个常用函数的导数

(1)从图象上看,函数y=2x,y=3x,y=4x的导数分别表示 这三条直线的斜率.
(2)在这三个函数中,y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢. (3)函数y=kx(k>0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数 有关系,k越大,函数增加得越快,k越小,函数增加得越 慢.
函数y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝 对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少 得越慢.

探究点一

1 问题 5 画出函数 y= 的图象.根据图象,描述它的变化情 x 况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 1 答 函数y=x 的图象如图所示, 1 结合函数图象及其导数y′=-x2发现,
1 当x<0时,随着x的增加,函数y= x 减少得越来越快;

几个常用函数的导数

当x>0时,随着x的增加,函数减少得越 来越慢.
1 点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x=1=-12=-1, 故斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为y=-x+2.

探究点二

基本初等函数导数公式的应用

例 1 求下列函数的导数: 4 3 π 1 x (1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y= 3;(4)y= x ;(5)y=log3x. 3 x 解 (1)y′=0;
(2)y′=(5x)′=5xln 5;
?1? - - (3)y′=?x3?′=(x 3)′=-3x 4; ? ?

3 ?4 3 4 3 (4)y′=( x )′=( x )′= x = ; 4 4 4 x 1 (5)y′=(log3x)′= . xln 3
? 3 4

1

探究点二

基本初等函数导数公式的应用

小结 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式,要 想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理 π 3 解,如sin = 是常数,而常数的导数一定为零,就不会出 3 2 ? π? π ? ? 现 sin3 ′=cos 这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变 3 ? ? 形.如根式、分式可转化为指数式,利用公式2求导.

探究点二

基本初等函数导数公式的应用

跟踪训练 1 求下列函数的导数: 1x 8 (1)y=x ;(2)y=( ) ;(3)y=x x;(4)y=log1 x . 2
3

解 (1)y′=8x7;

1x 1 1x (2)y′=(2) ln 2=-(2) ln 2;
3 2

3 2 (3)∵y=x x= x ,∴y′= x ; 2
1 (4)y′= =- . 1 xln 3 xln 3 1

1

探究点二

基本初等函数导数公式的应用

例 2 判断下列计算是否正确. π 求 y=cos x 在 x= 处的导数,过程如下: 3 ? π? π 3 ? ? π y′|x= =?cos ?′=-sin =- . 3? 3 2 ? 3
解 错误.应为y′=-sin x,
π 3 ∴y′|x= =-sin 3=- 2 . 3
π

探究点二

基本初等函数导数公式的应用

小结 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函 数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出 导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.

探究点二

基本初等函数导数公式的应用
1 3 x 在 x=1 处的导数.
1 ? ?1 3

跟踪训练 2 求函数 f(x)=
1
? 1 3

1 解 f′(x)=( )′=(x )′=? x 3 3 x
1 1 ? x = =- , 3 4 3 3 x
? 4 3



1 ∴f′(1)=- =- , 3 3 3 1

1

1 ∴函数f(x)在x=1处的导数为-3.

探究点三

导数公式的综合应用 上求一点 P,使

例 3 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、 B两 点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 △ABP 的面积最大.
解 设P(x0,y0),过点P与AB平行的直 线为l,如图. 由于直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交

于A、B两点,
所以|AB|为定值,要使△ABP的面积最大, 只要P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧 点, 上的一

探究点三

导数公式的综合应用

因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,

由图知点P在x轴上方,y= x,y′= 1 由题意知kAB=2. 1 1 ∴kl= = ,即x0=1, 2 x0 2 ∴y0=1.∴P(1,1).

1 2 x



探究点三

导数公式的综合应用

小结 利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何 意义准确计算.

探究点三

导数公式的综合应用

跟踪训练 3 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点, 求点 P 到直线 y =x 的最小距离.
解 根据题意设平行于直线y=x的直线与曲 线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y= x距离最近的点,如图.
则在点(x0,y0)处的切线斜率为1, 即y′|x=x =1.∵y′=(ex)′=ex,
0

∴ex0=1,得x0=0,代入y=ex, 得y0=1,即P(0,1). 2 利用点到直线的距离公式得距离为 2 .

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.给出下列结论: 1 3 ①若 y= 3,则 y′=- 4; x x 3 13 ②若 y= x,则 y′= x; 3 1 ③若 y= 2,则 y′=-2x-3; x ④若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1 - 解析 ①y= 3=x 3, x 3 -4 则y′=-3x =-x4; 1 2 ? 1 1 3 3 3 3 ②y= x= x ,则y′=3·x ≠3 x; 1 ③y=x2=x-2,则y′=-2x-3;
④由f(x)=3x,知f′(x)=3, ∴f′(1)=3. ∴①③④正确. 答案 C

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于 ( ) 3 1 A. B.0 C. 6 2 x 1 解析 ∵f′(x)=( x)′= , 2 x
3 ∴f′(3)= =6. 2 3 1

A

3 D. 2

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直 线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是 π 3π A.[0, ]∪[ ,π) 4 4 π 3π C.[ , ] 4 4
解析 ∵(sin x)′=cos x, ∵kl=cos x, π 3π ∴-1≤kl≤1,∴αl∈[0,4]∪[ 4 ,π).

(

)

A

B.[0,π) π π 3π D.[0, ]∪[ , ] 4 2 4

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面 1 2 e 2 积为________.
解析 ∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,
∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2), 即y=e2x-e2. 当x=0时,y=-e2,当y=0时,x=1. 1 1 2 2 ∴S△= ×1×|-e |= e . 2 2

5.若曲线y= x 在点(a, a )处的切线与两坐标 轴围成的三角形的面积为18,则a等于( ). A.64 B.32 C.16 D.8

?

1 2

?

1 2

6.已知f(x)=sin x,求f'(a)和[f(a)]'.

7.求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与 坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).

8.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)=

.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导 数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观 察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 2x 2x 如求 y=1-2sin 的导数.因为 y=1-2sin =cos x, 2 2 所以 y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注 意符号的变化.

作业:试卷

板书设计
课题:导数的计算 1.看书 2.讨论 3.完成知识点 4.探究与检测 小结与作业

教学后记


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