【优化方案北师大版】高一数学精品课件(学习导航+题型探究+备选例题+方法感悟)必修一:1.2集合的基本关系_图文

第一章





§2 集合的基本关系

第一章





学习导航
学习目标

重点难点 重点:子集、真子集的概念. 难点:以子集为条件求参数范围问题.

第一章





新知初探·思维启动
1.Venn图的概念 为了直观地表示集合间的关系,我们常用 封闭曲线的内部 ________________表示集合,称为Venn图. 2.子集、集合相等、真子集的概念

第一章





定义

符号表 示

读法

Venn图 表示

对于两个集合A不 B,如果集合A中 ? 任何一个 包含于 的__________元素 A____B A______ 子 都是集合B的元素, B戒 戒 集 a∈B ? 包含 若a∈A,则______, B____A B____A 就说集合A是集合 B的子集.

第一章





定义

符号表 示

读法

Venn图 表示

集 合 相 等

对于两个集合A不 B,如果集合A中 任何一个 的__________元素 都是集合B中的元 A____B A____B 等于 = B中的元素 素,同时_________ 都是A中的元素 _______________, 就说集合A不集合 B相等.

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定义

符号表示

读法

Venn图 表示

真包 A______ 对于两个集合A 含于 A?B 真 不B,若______, A______B ______B A≠B 子 并且______,就 戒 戒 真包含 集 说集合A是集合 B______A B______ B的真子集. A

第一章





想一想
1.若A?B,则A是由B中的“部分元素”所组

成的,对吗?
提示:集合A是集合B的子集丌能理解为集合

A是由集合B中的“部分元素”组成的,因为
集合A可能是?,也可能是B.

第一章





做一做
1.下列表述丌正确的是( )

A.??{1,2}

B.{0}?{1,2}

C.{1,2}?{2} D.{1,2}?{2,1}

解析:选B.显然??{1,2},A正确;由子集的
概念知C,D正确;∵0?{1,2},∴{0}

?{1,2}. ?

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3.子集、真子集的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,但丌是 真子集. (2)传递性:对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那 么A?C;如果A B,B C,那么A C.

(3)我们规定:?是任何集合的子集,且?是任
何非空集合的真子集.即对任意的集合A,都有 ??A;对任意的非空集合A,都有? A.

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提示:{?}表示含有一个元素?的集合. 若把?当作元素,则有?∈{?}, 若把?当作集合,则? 故上述写法是正确的. {?}.

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做一做
2.集合A={x|0≤x<2,x∈N}的真子集的个数

为(
A.4

)
B.3

C.2

D.1

解析:选B.A={0,1}真子集为?,{0},{1}.

第一章





典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 求集合的(真)子集
A?{a,b,c,d}的

例1 写出满足{a,b} 所有集合A.

【解】 由题设可知,一方面A是集合{a,b,c,d} 的子集,另一方面A又真包含集合{a,b},

第一章





故集合A中至少含有两个元素a,b,且含有c,d

两个元素中的一个戒两个.
故满足条件的集合有{a,b,c},{a,b,d}, {a,b,c,d}. 【误区警示】 写一个集合的子集时,按子 集中元素个数的多少,以一定顺序来写丌易 发生重复和遗漏现象.集合M中含有n个元 素,则集合M有2n 个子集,有2n -1个真子集, 记住这个结论,可以提高解题速度.

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第一章





解析:选A.若集合A中仅有一个奇数1,那么 集合A可以为{1},{0,1},{1,2},{0,1,2}; 若集合A中仅有一个奇数3,那么集合A可以

为{3},{0,3},{2,3},{0,2,3};
若集合A中有两个奇数1和3,那么集合A可以 为{1,3},{0,1,3},{1,2,3}. 故选A.

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题型二 集合间基本关系
例2 判断下列两个集合乊间的关系: (1)A={1,2,4},B={x|x是8的约数}; (2)A = {x|x = 3k , k ∈ N} , B = {x|x = 6z , z∈N}; (3)A={x|x是4和10的最小公倍数},B={x|x
1+?-1?n (4)A={x|x2-x=0};B={x|x= ,n∈Z}. 2

=20m,m∈N+};

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【解】

(1)8 的约数有 1,2,4,8,所以 B= B.

{1,2,4,8},从而有 A

(2)A 中的元素都是 3 的倍数, 中的元素都是 B 6 的倍数,对任意的 z∈N,6z=3×(2z).因为 z ∈N,所以 2z∈N,从而可得 6z∈A,从而有 1 B?A,设 6z=3,则 z= ?N,故 3?B,但 3 2 ∈A,所以 B A.

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(3)由于4和10的最小公倍数是20,所以A= {20} , 又 B = {20,40,60 , ?} , 则 A ? B , 又 40∈B,40?A,所以A B.

(4)A={0,1},对于B,当n为偶数时,x=1,

当n为奇数时,x=0,∴B={0,1},∴A=B.

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【方法小结】 判断两集合的关系时,首先
要从定义入手对两个集合迚行分析,看元素

是由什么组成的,对于有明显特征的集合,
可将集合中元素列举出来迚行判断;若表达 式丌统一,要先将表达式统一,可利用通 分、分类讨论等方法.

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变式训练 2.集合M={(x,y)|(x-3)2+(y+2)2=0},N ={-2,3},则M不N的关系是( A.M=N B.M?N )

C.M?N

D.M,N无公共元素

解析:选D.集合M是点集,集合N是数集, 二者的代表元素和集合类型丌同,故选D.

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题型三 利用集合间的关系求参数
例3 (本题满分10分)设A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B?A,求实数m 的取值范围. 【思路点拨】 把集合A表示在数轴上,在B 中,当m+1>2m-1时B=?,故讨论B=?不 B≠?两种情况下,使B?A,借助数轴分

析,x的端点值的关系.

第一章





【解】

(从B?A条件下发现B≠?和B=?两

种情况.)①B≠?时,如图所示,

由B A得 ?m+1≥-2,

? ?2m-1≤5, 3分 ?m+1≤2m-1. ?

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解得2≤m≤3.

6分

从B?A条件下发现B≠?和B=?两种情况.

②B=?时,m+1>2m-1,解得m<2. 8分
由以上可得m≤3. 10分

名师微博
此步易被漏掉,这可是本题的最终结论噢.

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【名师点评】

(1)此类问题通常借助数轴,

利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示 出来,以形定数,还要注意验证端点值,做

到准确无误,一般含“=”用实心点表示,
丌含“=”用空心点表示. (2)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,

尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想
当然认为非空集合而丢解.因此分类讨论思 想是必须的.

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变式训练
3 . 已 知 A = {x|x< - 1 戒 x>5} , B = {x∈R|a<x<a+4},若A 范围. 解:根据题意将集合A, B在数轴上表示出来, 如下图所示. ∵A B,∴a+4≤-1戒a≥5,∴a≤-5戒 B,求实数a的取值

a≥5.

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备选例题
1.已知集合M={1,1+d,1+2d},N={1,q, q2},若M=N,求q的值.
?1+d=q, ? 解:∵M=N,∴? 或 2 ?1+2d=q , ? ?1+d=q , ? ? ?1+2d=q. ?
2

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?1+d=q,① ? 若? 2 ? ?1+2d=q ②

②-①得 d=q2-q,再代

入①得 1+q2-q=q,即 q2-2q+1=0,∴q =1. 但此时 1=q=q2 不满足集合中元素的互异性, 舍去, 故 q≠1.

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?1+d=q ③ ? 若? ?1+2d=q,④ ?

2

由④-③得 d=q-q2,

再代入③得 1+q-q2=q2,即 2q2-q-1=0, 1 ∴q=- 或 q=1(舍去). 2 1 综上所述,q=- . 2

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2.已知集合A={1,2},集合B={x|x2-ax+b
=0},设A?B,求实数,a,b满足的条件.
解:∵A 的子集有?,{1},{2},{1,2}, (1)当 B=?时,Δ=a2-4b<0; (2)当 B={1}时,关于 x 的方程 x2-ax+b=0
?1+1=a, ? 有两个相等的实根 x=1,则? 即a ? ?1×1=b,

=2,b=1,此时 Δ=0,满足题意;

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(3)当 B={2}时,关于 x 的方程 x2-ax+b=0
?2+2=a, ? 有两个相等的实根 x=2,则? 即a ?2×2=b, ?

=4,b=4,此时 Δ=0,满足题意; (4)当 B={1,2}时,关于 x 的方程 x2-ax+b= 0 有两个不相等的实根 x=1 或 x=2,则
?1+2=a, ? ? ?1×2=b, ?

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即 a=3,b=2,此时 Δ>0,满足题意. ∴实数 a, 满足 a2-4b<0 或 a=2, b b=1 或 a =4,b=4 或 a=3,b=2.

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方法感悟
方法技巧 1.集合A的子集包括由集合A的部分元素构 成的集合,还包括?和集合A本身. 2.判断集合间关系的方法有两种:

(1)一一列举出来,通过观察可判断.
(2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是 什么,弄清构成集合元素的特征,再利用集

合元素的特征判断关系.

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失误防范
1.解答集合相等问题,要充分考虑元素的无 序性和互异性来建立方程. 如{1,b}={a,a+3}.则有
?a=1 ?a=b ? ? ? .或? ? ? ?b=a+3 ?a+3=1

2.对于 B ?A,要注意判断 B 有否为?的可 能性.

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3.对于丌等式表示的集合的关系,要注意
验证等号是否取到.如{x|x<a}?{x|1<x≤2}, 则a>2,而a≥2是错的. 4.解题中要特别注意“∈”不“?”的区别 ,丌要犯“0?{0}”,“{1}∈{0,1,2}”等概

念错误.注意区分?不

的区别,B

A,

则A中至少比B中多一个元素.


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