高中数学 2.3.4抛物线的简单几何性质(1)导学案 新人教版选修1-1

§2.3.4 抛物线的简单几何性质(1)
学习目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程. 学 习过程 一、课前准备 (预习教材理 P68~ P70,文 P60~ P61 找出疑惑之处) 复习 1: 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 .

复习 2:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有 哪些几何性质? 16 9

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又会有怎样的几何性质 ?

新知: 抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点

p (0, ? ) 2

准线

y??
(0, 0) (0, 0)

p 2

顶点 对称轴

x轴
离心率

试试:画出抛物线 y ? 8x 2 的图形, 顶点坐 标( ) 、焦点坐标( 准线方程 、对称轴

) 、 、

离心率 ※ 典型例题



例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标 准方程.

变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M (2, ?2 2) 的抛物线有几条?求出 它们的标准方程.

小结:一般,过一点的抛物线会有两条,根据其开口方向,用待定系 数法求解. 例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长 .

变式:过点 M (2, 0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,求 AB .

小结:求过抛物线焦点的弦长:可用弦长公式,也可利用抛物线的定义求解. ※ 动手试试 练 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: ⑴顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过点 M (5 , ?4) ; ⑵顶点在原点,焦点是 F (0,5) ; ⑶焦点是 F (0, ?8) ,准线是 y ? 8 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.求过一点的抛物线方程; 3.求抛物线的弦长. ※ 知识拓展 抛物线的通径: 过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线, 与抛物线相交所得的弦叫抛物线的 通 径. 其长为 2 p . 学习评价 ※ 当堂检测 1.下列抛物线中,开口最大的是 ( ) 1 A. y 2 ? x B. y 2 ? x 2 C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 2.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) A. y 2 ? 20 x C. y 2 ? 1 x
20
2

B. x2 ? 20 y D. x2 ? 1 y
20

3. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l , 交抛物线于 A ,B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3 , 则 AB 等于 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 ( )

4.抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的准线方程是
2



5.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则
AB =



课后作 业 1. 根据下列条件,求抛物线的标准方程,并画出 图形: ⑴顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等到于 6 ; ⑵顶点在 原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?6, ?3) .

2 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, F 是抛物线的焦点, ?xFM ? 60? ,求 FA .


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