2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 新人教版

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷六
一、选择题(36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.
2

B.

C.

D.

3.过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 (A) 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3

5? 2? ? ? ? 4.若 x∈[- ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 (A) 12 2 5 (B) 11 2 6 (C) 11 3 6 (D) 12 3 5

4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= 2+ 2的最小值是 4-x 9-y (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5

6.在四面体 ABCD 中, 设 AB=1,CD= 3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四面 3 体 ABCD 的体积等于 3 1 1 (B) (C) 2 2 3 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 2 7.不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是 (A) (D) 3 3 .

?

8.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ 9 4

x y

2

2

PF1F2 的面积等于 . 2 9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 .

用心 爱心 专心

1

3 5 10. 已知 a, b, c, d 均为正整数, 且 logab= , logcd= , 若 a-c=9, 则 b-d= 2 4



11. 将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内, 并使得每个球都和其相邻的四 个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 . 12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.- a1a2…an |ai 只取 0 或 1(i=1, 2, …, n-1), an=1},

Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim = n→∞Tn
三、 (20 分) 3 13.设 ≤x≤5,证明不等式 2 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19.



四、(20 分) 1 14.设 A、B、C 分别是复数 Z0=ai,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的 2 不共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.

五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆周 上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所有点 时,求所有折痕所在直线上点的集合.

用心 爱心 专心

2

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷六 参考答案 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列 的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2 2 解:45 =2025,46 =2116. 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个,而 2026 至 2115 之间没有完全平方数.故 1 至 2025 中共有新数列中的 2025-45=1980 项.还缺 2003-1980=23 项.由 2025+23=2048.知 选 C. 2 2 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

解:曲线方程为 + =1,直线方程为 y=ax+b. 由直线图形,可知 A、C 中的 a<0,A 图的 b>0,C 图的 b<0,与 A、C 中曲线为椭圆矛盾. 由直线图形,可知 B、D 中的 a>0,b<0,则曲线为焦点在 x 轴上的双曲线,故选 B. 2 3.过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 (A) 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3

x2 y2 a b

解: 抛物线的焦点为原点(0, 0), 弦 AB 所在直线方程为 y= 3x, 弦的中点在 y= =

p 4 上, k 3

4 4 3 4 4 16 即 AB 中点为( , ),中垂线方程为 y=- (x- )+ ,令 y=0,得点 P 的坐标为 . 3 3 3 3 3 3 16 ∴ PF= .选 A. 3 5? 2? ? ? ? 4.若 x∈[- ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 (A) 12 2 5 (B) 11 2 6 (C) 11 3 6 (D) 12 3 5

2? ? 5? ? ? ? ? 解:令 x+ =u,则 x+ =u+ ,当 x∈[- ,- ]时,u∈[- ,- ], 6 3 2 12 3 4 6

用心 爱心 专心

3

y=-(cotu+tanu)+cosu=-

2 ? ? +cosu.在 u∈[- ,- ]时,sin2u 与 cosu 都单调递 sin2u 4 6

11 ? 增,从而 y 单调递增.于是 u=- 时,y 取得最大值 3,故选 C. 6 6 4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= 2+ 2的最小值是 4-x 9-y (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5

1 1 解:由 x,y∈(-2,2),xy=-1 知,x∈(-2,- )∪( ,2), 2 2

u=

4 9x -9x +72x -4 35 = =1+ . 2+ 2 4 2 4-x 9x -1 -9x +37x -4 2 4 37-(9x + 2)

2

4

2

x

1 1 1 2 2 4 2 2 当 x∈(-2,- )∪( ,2)时,x ∈( ,4),此时,9x + 2≥12.(当且仅当 x = 时等号 2 2 4 x 3 成立). 12 此时函数的最小值为 ,故选 D. 5 6.在四面体 ABCD 中, 设 AB=1,CD= 3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 ,则四面 3 体 ABCD 的体积等于 (A) 3 2 (B) 1 2 (C) 1 3 (D) 3 3
M D N B C A

?

π 解: 如图, 把四面体补成平行六面体, 则此平行六面体的体积=1× 3×sin ×2=3. 3 1 1 而四面体 ABCD 的体积= ×平行六面体体积= .故选 B. 6 2 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 3 2 7.不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是 解:即 |x| - 2|x| - 4|x|+3<0 , ?(|x| - 3)(|x| -
3 2

. 5-1 5+1 )(|x|+ )<0 . ?|x|< - 2 2

5+1 5-1 ,或 <|x|<3. 2 2 ∴ 解为(-3,- 5-1 5-1 )∪( ,3). 2 2

8.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△ 9 4

x2 y2

PF1F2 的面积等于 . 解:F1(- 5,0),F2( 5,0);|F1F2|=2 5. 2 2 2 |PF1|+|PF2|=6, ?|PF1|=4, |PF2|=2. 由于 4 +2 =(2 5) . 故?PF1F2 是直角三角形 5
5.

用心 爱心 专心

4

∴ S=4. 2 9.已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . 解:A=(1,3); 又,a≤-2 ∴
1-x

1 x +5 ∈(-1,- ),当 x∈(1,3)时,a≥ -7∈( 5-7,-4). 4 2x

2

-4≤a≤-1.

3 5 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 logab= ,logcd= ,若 a-c=9,则 b-d= 2 4 解:a =b ,c =d ,设 a=x ,b=x ;c=y ,d=y ,x -y =9.(x+y )(x-y )=9. 2 2 2 3 5 ∴ x+y =9,x-y =1,x=5,y =4.b-d=5 -2 =125-32=93. 11.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和 其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等 于 . 解:如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心与 其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面 ABCD 上的射影是一个正方形.是把正方 形 ABCD 绕其中心旋转 45?而得.设 E 的射影为 N,则
3 2 5 4 2 3 4 5 2 4 2 2

H E F D N A M B C G

MN= 2-1.EM= 3 ,故 EN2=3-( 2 -1)2=2 2 .∴ EN= 8 .所求圆柱的高 =2+ 8.
12. 设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0.- a1a2…an |ai 只取 0 或 1(i=1, 2, …, n-1), an=1},
4

4

Sn Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim = n→∞Tn
n-1



解:由于 a1,a2,…,an-1 中的每一个都可以取 0 与 1 两个数,Tn=2 . n-2 在每一位(从第一位到第 n-1 位)小数上,数字 0 与 1 各出现 2 次.第 n 位则 1 出现 n-1 2 次. n-2 n-2 -n ∴ Sn=2 ?0.11…1+2 ?10 .

Sn 1 1 1 ∴ lim = ? = . n→∞Tn 2 9 18
三、 (本题满分 20 分) 3 13.设 ≤x≤5,证明不等式 2 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19. 3 解:x+1≥0,2x-3≥0,15-3x≥0.? ≤x≤5. 2 由平均不等式

x+1+ x+1+ 2x-3+ 15-3x
4



x+1+x+1+2x-3+15-3x
4



14+x . 4

∴ 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x= x+1+ x+1+ 2x-3+ 15-3x≤2 14+x.

用心 爱心 专心

5

3 但 2 14+x在 ≤x≤5 时单调增.即 2 14+x≤2 14+5=2 19. 2 故证. 四、(本题满分 20 分) 1 14.设 A、B、C 分别是复数 Z0=ai,Z1= +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的 2 不共线的三点.证明:曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 解 : 曲 线 方 程 为 : 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 Z=aicos t+(1+2bi)cos tsin t+(1+ci)sin t=(cos tsin t+sin t)+i(acos t+2bcos tsin t+cs 4 in t) ∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2 即 y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1). ① 若 a-2b+c=0,则 Z0、Z1、Z2 三点共线,与已知矛盾,故 a-2b+c?0.于是此曲线为轴 与 x 轴垂直的抛物线.

AB 中点 M: + (a+b)i,BC 中点 N: + (b+c)i.
1 1 3 1 与 AC 平行的中位线经过 M( , (a+b))及 N( , (b+c))两点,其方程为 4 2 4 2 1 3 4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.( ≤x≤ ). 4 4 令 4(a-2b+c)x +8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c. 2 即 4(a-2b+c)x +4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由 a-2b+c?0,得 2 4x +4x+1=0, 1 3 此方程在[ , ]内有惟一解: 4 4 1 以 x= 代入②得, 2 1 1 ∴ 所求公共点坐标为( , (a+2b+c)). 2 4 五、(本题满分 20 分) 15.一张纸上画有一个半径为 R 的圆 O 和圆内一个定点 A,且 OA=a,折叠纸片,使圆 周上某一点 A?刚好与点 A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当 A?取遍圆周上所有 点时,求所有折痕所在直线上点的集合. M S D 解:对于⊙O 上任意一点 A?,连 AA?,作 AA?的垂直平分线 MN,连 OA?. 交 MN 于点 P. 显然 OP+PA=OA?=R. 由于点 A 在⊙O 内, 故 OA=a<R. 从 S' Q 而当点 A?取遍圆周上所有点时,点 P 的轨迹是以 O、A 为焦点,OA=a P 为焦距,R(R>a)为长轴的椭圆 C.
O A N
2

1 1 4 2

3 1 4 2



x= . y= (a+2b+c).
1 4

1 2

A'

用心 爱心 专心

6

而 MN 上任一异于 P 的点 Q,都有 OQ+QA=OQ+QA?>OA?.故点 Q 在椭圆 C 外.即折痕上所 有的点都在椭圆 C 上及 C 外. 反之,对于椭圆 C 上或外的一点 S,以 S 为圆心,SA 为半径作圆,交⊙O 于 A?,则 S 在 AA?的垂直平分线上,从而 S 在某条折痕上. 最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交. 1? 当 S 在⊙O 外时,由于 A 在⊙O 内,故⊙S 与⊙O 必相交; 2? 当 S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内,但在椭圆 C 外或其上的点 S?),取过 S?的半径 OD, 则由点 S?在椭圆 C 外,故 OS?+S?A≥R(椭圆的长轴).即 S?A≥S?D.于是 D 在⊙S?内或上,即 ⊙S?与⊙O 必有交点. 于是上述证明成立. 综上可知,折痕上的点的集合为椭圆 C 上及 C 外的所有点的集合.

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