江西省南昌二中2014-2015学年高二(下)第二次月考数学试卷(直升班)(理科) Word版含解析

江西省南昌二中 2014-2015 学年高二(下)第二次月考数学试卷 (直升班) (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U=R,集合 M={x|x≤1},N={x|x ﹣4<0},则集合(CUM)∩N 等于( A. ,则下列说法正确的是( ) A. p 是 q 的充要条件 B. p 是 q 的充分不必要条件 C. p 是 q 的必要不充分条件 D. p 是 q 的既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:由题设知:命题 p:﹣2≤x≤﹣1,命题 q:﹣2≤x≤﹣ ,由此得到 p 是 q 的充分不必要条 件, 解答: 解:∵命题 ∵命题 ,∴命题 P:﹣2≤x≤﹣1, ,∴﹣2≤x≤﹣ ,
2



∴p 是 q 的充分不必要条件, 故选 B. 点评:本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用,是基础题.解题时要认真审 题,仔细解答. 6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在上单调递增,a=f(3) ,b=f( ) , c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是( ) A. a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D. c >b>a 考点:函数单调性的性质;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据条件推断出函数为以 2 为周期的函数,根据 f(x)是偶函数,在上单调递增推 断出在上是减函数.减函数,进而利用周期性使 a=f(1) ,b=f(2﹣ ) ,c=f(2)=f(0)进 而利用自变量的大小求得函数的大小,则 a,b,c 的大小可知. 解答: 解:由条件 f(x+1)=﹣f(x) ,可以得: f(x+2)=f( (x+1)+1)=﹣f(x+1)=f(x) ,所以 f(x)是个周期函数.周期为 2. 又因为 f(x)是偶函数,所以图象在上是减函数. a=f(3)=f(1+2)=f(1) , b=f( )=f( ﹣2)=f(2﹣ ) c=f(2)=f(0) 0<2﹣ <1

所以 a<b<c 故选 D 点评:本题主要考查了函数单调性,周期性和奇偶性的应用.考查了学生分析和推理的能力. 7.函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)上不单调,则 k 的取值范围( A. (﹣1,+∞) B.(﹣∞,1) D.(0,2)
x

) C. (﹣1,1)

考点:带绝对值的函数;函数单调性的性质. 专题:数形结合. x x x 分析:函数 y=|2 ﹣1|的图象可由函数 y=2 的图象变换而来,画出函数 y=|2 ﹣1|的图象,根据 图象结合单调增区间求得 k 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y=|2 ﹣1|的图象可由函数 y=2 的图象变换而来, x 画出函数 y=|2 ﹣1|,其图象如图所示,由图象知, x 函数 y=|2 ﹣1|在区间(k﹣1,k+1)内不单调, 则:﹣2<k﹣1<0<k+1, 则 k 的取值范围是(﹣1,1) 故选 C.
x x

点评:本小题主要考查函数单调性的应用、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 8.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+6)+f(x)=0,y=f(x﹣1)的图象关于(1,0) 对称,且 f(2)=4,则 f(2014)=( ) A. 0 B. ﹣4 C . ﹣8 D. ﹣16 考点:抽象函数及其应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由 f(x+6)+f(x)=0,得到 f(x+12)=﹣f(x+6)=f(x) ,则 f(x)为周期为 12 的 函数,再由 y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)对称,得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,运用周期,化简 f(2014)=f(﹣2)=﹣f(2) ,即可得到答案. 解答: 解:f(x+6)+f(x)=0,即 f(x+6)=﹣f(x) , 则 f(x+12)=﹣f(x+6)=f(x) , 则 f(x)为周期为 12 的函数, 由于 y=f(x﹣1)的图象关于(1,0)对称,

则 y=f(x)的图象关于(0,0)对称, 即有 f(﹣x)=﹣f(x) , 则 f(2014)=f(12×167+10)=f(10)=f(﹣2) , 由于 f(2)=4,则 f(﹣2)=﹣f(2)=﹣4. 故选 B. 点评:本题考查抽象函数及应用,考查函数的周期性和对称性及运用,考查解决抽象函数的 常用方法:赋值法,属于中档题. 9.已知函数 f(x)=9 ﹣m?3 +m+1 对 x∈(0,+∞)的图象恒在 x 轴上方,则 m 的取值范围 是( ) A. 2﹣2 <m<2+2 B.m<2 C. m<2+2 D.m≥2+2 考点:指数函数的图像与性质;二次函数的性质. 专题:计算题;压轴题;分类讨论. 分析:本题通过换元法将原函数转化为二次函数, 然后结合二次函数的特点进行分类解题. 即
x x

△ =(﹣m)2﹣4(m+1)<0 或
x

都满足题意.
2

解答: 解:令 t=3 ,则问题转化为函数 f(t)=t ﹣mt+m+1 对 t∈(1,+∞)的图象恒在 x 轴 的上方

即△ =(﹣m)2﹣4(m+1)<0 或

解得 m<2+2 . 故答案为 C 点评:本题考查了指数函数的图象与性质,二次函数的性质,还有通过换元法将原函数转化 为二次函数,属于基础题. 10.若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P、 Q 关于原点对称,则称点对是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点 对”) .已知函数 f(x)= A. 4对 则此函数的“友好点对”有( B.3 对 ) C. 2 对 D . 1 对

考点:函数与方程的综合运用. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:由题意, 设点 P (x, y) , 则 Q 的坐标为 (﹣x, ﹣y) ; 结合 f (x) = 化此函数的“友好点对”的个数即方程﹣2 =x ﹣2x 在 x>0 时的解的个数,从而作图解答.
﹣x



2

解答: 解:由题意,设点 P(x,y) ,则 Q 的坐标为(﹣x,﹣y) ; 又∵f(x)= ,
﹣x

∴此函数的“友好点对”的个数即方程﹣2 =x ﹣2x 在 x>0 时的解的个数, ﹣x 2 作 y=﹣2 与 y=x ﹣2x 的图象如下,

2

有两个交点; 故选 C. 点评:本题考查了学生对新定义的接受能力及作图能力,属于中档题.

11.已知函数 f(x)= 小值为( A. )

,若 x1>0,x2>0,且 f(x1)+f(x2)=1,则 f(x1+x2)的最

B.

C.

2

D. 4

考点:基本不等式在最值问题中的应用;指数型复合函数的性质及应用. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:先化简所给的函数解析式,整理方程 f(x1)+f(x2)=1,结合基本不等式得出, ,再代入 f(x1+x2)求最小值 解答: 解:f(x)= =1﹣

由 f(x1)+f(x2)=1,得 2﹣



=1,

整理得 解 又 f(x1+x2)=1﹣ 故选 B 得, =1﹣

,等号当

时取到

≥ 1﹣

=

点评:本题考查基本不等式求最值及指数函数的性质,利用基本不等式探究出 解题的关键



12.定义在(﹣1,1)上的函数

;当 x∈(﹣1,0)时,f(x)

>0,若 A. D.Q>P>R

, R>Q>P

,则 P,Q,R 的大小关系为( B.R>P>Q C. P>R>Q



考点:不等关系与不等式. 专题:新定义. 分析:在已知等式中取 x=y=0,可求得 f(0)=0,取﹣1<x<y<1,能说明 ,所以说明 ,从而说明函数 f(x)在(﹣1,1)上为

减函数, 再由已知等式把

化为一个数的函数值, 则三个数的大小即可比较.

解答: 解:取 x=y=0,则 f(0)﹣f(0)=f(0) ,所以,f(0)=0, 设 x<y,则 ,所以

所以 f(x)>f(y) ,所以函数 f(x)在(﹣1,1)上为减函数, 由 ,得:

取 y= ,

,则 x= ,

所以 因为 0< ,所以



所以 R>P>Q. 故选 B. 点评:本题考查了不等关系与不等式,考查了特值思想,解答此题的关键是能够运用已知的 等式证出函数是给定区间上的减函数,同时需要借助于已知等式把 P 化为一个数的函数值, 是中等难度题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.化简( ) ?(
4

) 的结果等于 a

4

4



考点:根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题:函数的性质及应用. 分析:直接把根式化为分数指数幂化简求值即可得答案. 解答: 解: ( =
4

)? (

4

)= .

4

故答案为:a . 点评:本题考查了根式与分数指数幂的互化,是基础题. 14.若函数 f(2x)的定义域是,则函数 f(2x﹣1)+f(2x+1)的定义域是 .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:由函数 f(2x)的定义域是,求出函数 f(x)的定义域,再由 2x+1 与 2x﹣1 的范围, 得到所求函数的定义域. 解答: 解:由函数 f(2x)的定义域是,得﹣1≤x≤1. ∴﹣2≤2x≤2,即函数 f(x)的定义域是, 再由 ,解得 ,

∴函数 f(2x﹣1)+f(2x+1)的定义域是. 故答案为: . 点评:本题主要考查了抽象函数的定义域的求法,以及不等式的解法,属于基础题.

15.设函数 f(x)=

,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 的取值范围是 (﹣∞,
2

﹣1]∪上为增函数,f(x)∈(﹣∞,2+a ]; 2 若 f(x)的值域为 R,则(﹣∞,2+a ]∪(4+a,+∞)=R, 2 则 2+a ≥4+a, 2 即 a ﹣a﹣2≥0 解得 a≤﹣1,或 a≥2, 则实数 a 的取值范围是 (﹣∞, ﹣1]∪∪ , 则 a 的取值范围是 或 a=1 .

考点:函数的值域. 专题:压轴题;函数的性质及应用. 分析:分 a 在 然后由 f 和 两种情况讨论,同时根据 f(a)所在的区间不同求 f 的值,

求解不等式得到 a 的取值范围.

解答: 解:当 ∵ 当 ,由

时,

. ,解得: ,所以 ;

,f(a)=2(1﹣a) , ,则 ,

∵0≤2(1﹣a)≤1,若 分析可得 a=1. 若 由 综上得: 故答案为: ,即 ,得: 或 a=1. 或 a=1. .

,因为 2=4a﹣2,

点评:本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容 易出错,此题为中档题. 三、解答题(本大题共个小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.设命题 p:f(x)=
2

在区间(1,+∞)上是减函数;命题 q;x1x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0

2

的两个实根,不等式 m +5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数 α∈恒成立;若¬p∧q 为真,试求实数 m 的 取值范围. 考点:函数恒成立问题;复合命题的真假. 专题:函数的性质及应用. 分析:先根据分式函数的单调性求出命题 p 为真时 m 的取值范围,然后根据题意求出|x1﹣x2| 的最大值,再解不等式,若﹣p∧q 为真则命题 p 假 q 真,从而可求出 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= 在区间(﹣∞,m) , (m,+∞)上是减函数,而已知在区间(1,

+∞)上是减函数, ∴m≤1,即命题 p 为真命题时 m≤1,命题 p 为假命题时 m>1, ∵x1,x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个实根 ∴ ∴|x1﹣x2|= =
2

∴当 a∈时,|x1﹣x2|max=3, 2 由不等式 m +5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数 a∈恒成立. 2 可得:m +5m﹣3≥3,∴m≥1 或 m≤﹣6,

∴命题 q 为真命题时 m≥1 或 m≤﹣6, ∵﹣p∧q 为真, ∴命题 p 假 q 真,即 ,

∴实数 m 的取值范围是 m>1. 点评:本题主要考查了命题真假的判断的应用,解题时要认真审题,仔细解答,同时考查了 运算求解的能力,属于中档题.

18.已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0) ,F(x)= 且对定义域内任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求 k 的取值范围.

2

若 f(﹣1)=0,

考点:二次函数的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数恒成立问题. 专题:计算题. 分析: (1)由 f(﹣1)=a﹣b+1=0,由对定义域内任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,且 a>0 2 可得△ =b ﹣4a≤0,从而可求 a,b 进而可求 f(x)即可 (2) 由 x∈时, g (x) =f (x) ﹣kx=x + (2﹣k) x+1 是单调函数, 结合二次函数的性质可知 或 ,从而可求
2

解答: 解: (1)∵f(﹣1)=a﹣b+1=0① ∵对定义域内任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,且 a>0 2 ∴△=b ﹣4a≤0② 2 ①②联立可得(a﹣1) ≤0 即 a=1,b=2 2 ∴f(x)=x +2x+1 ∴F(x)= (2)∵x∈时,g(x)=f(x)﹣kx=x +(2﹣k)x+1 是单调函数 又∵函数 g(x)的对称轴为 x= ∴ 或
2

∴k≥6 或 k≤﹣2 点评:本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式,及二次函数的性质:单 调性的应用,属于 基本知识 的应用. 19.如图,在四面体 A﹣BCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD,CD=2,AD=4.M 是 AD 的中 点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC. (1)证明:PQ∥平面 BCD;

(2)若异面直线 PQ 与 CD 所成的角为 45°,二面角 C﹣BM﹣D 的大小为 θ,求 cosθ 的值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连 AP 并延长交 BD 于 E,连 CE,过 M 作 MN∥BD 交 AP 于 N,由已知条件 推导出 PQ∥CE.由此能证明 PQ∥平面 BCD. (2)过 C 作 CF⊥BD 于 F,作 CR⊥BM 于 R,连 FR.由已知条件推导出∠CRF=θ 即为二面 角 C﹣BM﹣D 的平面角,由此能求出 cosθ 的值. 解答: (1)证明:如图,连 AP 并延长交 BD 于 E,连 CE, 过 M 作 MN∥BD 交 AP 于 N,则 AN=NE,NP=PE. 故 AP=3PE,从而 PQ∥CE. 因 PQ?平面 BCD,CE?平面 BCD, 故 PQ∥平面 BCD. (2)解:过 C 作 CF⊥BD 于 F,作 CR⊥BM 于 R,连 FR. 因 AD⊥平面 BCD,故平面 ABD⊥平面 BCD, 故 CF⊥平面 ABD,因此 CF⊥BM,从而 BM⊥平面 RCF, 所以∠CRF=θ 即为二面角 C﹣BM﹣D 的平面角. 因 PQ∥CE,故∠DCE=45°,因此 CE 即为∠BCD 的角平分线. 由 (1)知 DE=2MN=2EB,故 DC=2BC, 从而 BC=1, .

由题意知 BC⊥平面 ACD,故 BC⊥CM. 由题意知 所以 = ,故 ,从而 . .

点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 20.已知函数 f(x)的定义域为 R,并满足(1)对于一切实数 x,都有 f(x)>0; (2)对任 意的 x,y∈R,f(xy)= ; (3)f( )>1;利用以上信息求解下列问题: (1)求 f(0) ; (2)证明 f(1)>1 且 f(x)= ; x x x+1 (3)若 f(3 )﹣f(9 ﹣3 ﹣2k)>0 对任意的 x∈恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)利用所给条件(1) (2)即可得出; (2)令 x= ,y=3,代入条件(2) ,再利用(3)即可得出.对任意的 x,y∈R,f(xy)= ; 分别取 x=1 之后,再令 y=x 即可. (3)利用(2)的结论可得:f(x)= 是 R 上的增函数,即可得出 3 >9 ﹣3 ﹣2k 对 x∈恒 x x 成立.通过分离参数可得 2k>9 ﹣4×3 对 x∈恒成立.利用二次函数的单调性即可得出. 解答: (1)解:令 x=y=0,∵f(0)>0, 0 ∴f(0)=f(0×0)= =1. (2)证明:∵f(1)= ∵ ,∴f(1)>1.
y x x x x+1 y x y



∵对任意的 x,y∈R,f(xy)= ; y 令 x=1,则 f(y)= , x 再令 y=x,则 f(x)= . x (3)解:∵f(1)>1,∴f(x)= 是 R 上的增函数, x x x+1 ∵f(3 )﹣f(9 ﹣3 ﹣2k)>0 对任意的 x∈恒成立, x x x+1 ∴3 >9 ﹣3 ﹣2k 对 x∈恒成立. x x 即 2k>9 ﹣4×3 对 x∈恒成立. x x x 2 x x 2 令 g(x)=9 ﹣4×3 =(3 ) ﹣4×3 =(3 ﹣2) ﹣4 在上单调递减, ∴g(x)max=g(0)=﹣3.∴2k>﹣3. ∴ .

点评:正确理解和应用新定义、函数的单调性、指数函数的单调性等是解题的关键.

21.已知圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 经过椭圆 Γ:

2

2

+

=1(a>b>0)的右焦点 F 和上顶

点 B. (Ⅰ)求椭圆 Γ 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中 点,求 ? 的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 2 分析: (Ⅰ)在圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 中,令 y=0,得 F(2,0) ,令 x=0,得 B(0,2) , 由此能求出椭圆方程. (Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0,则 = =x0+y0,又

,设 b=x0+y0,与 求出 的最大值.
2

联立,得:

,由此能

解答: 解: (Ⅰ)在圆 C: (x﹣1) +(y﹣1) =2 中, 令 y=0,得 F(2,0) ,即 c=2, 令 x=0,得 B(0,2) ,即 b=2, ∴a =b +c =8, ∴椭圆 Γ 的方程为: .
2 2 2

2

(Ⅱ)设点 Q(x0,y0) ,x0>0,y0>0, 则 = =(1,1)?(x0,y0) =x0+y0, 又 ,

设 b=x0+y0,与

联立,得: ,

令△ ≥0,得 16b ﹣12(12b ﹣8)≥0, 解得﹣2 . 又点 Q(x0,y0)在第一象限,

2

2

∴当

时,

取最大值 2



点评:本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线的 位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学 思想. 22.已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈,函 数 (Ⅲ)求证: 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; .

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:压轴题. 分析: 利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数 f′(x) ;②解 f′(x)>0(或<0) ; ③得到函数的增区间(或减区间) , 对于本题的(1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况; (2)点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,即切线斜率为 1,即 f'(2)=1,可求 a 值,代

入得 g (x) 的解析式, 由 t∈, 且g (x) 在区间 (t, 3) 上总不是单调函数可知:



于是可求 m 的范围. (3)是近年来高考考查的热点问题,即与函数结合证明不等式问题,常用的解题思路是利用 前面的结论构造函数, 利用函数的单调性, 对于函数取单调区间上的正整数自变量 n 有某些结 论成立,进而解答出这类不等式问题的解. 解答: 解: (Ⅰ) (2 分)

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈,g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴ 点评:本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间,已知函数曲线上一点求曲线的切线方 程即对函数导数的几何意义的考查,考查求导公式的掌握情况.含参数的数学问题的处理,构 造函数求解证明不等式问题.


相关文档

2014-2015学年江西省南昌二中高二(下)第二次月考数学试卷(直升班)(理科)
《解析》江西省南昌二中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
江西省南昌二中2014-2015学年高二(下)第二次月考数学试卷(直升班)(理科)
江西省南昌二中2014-2015学年高二下学期期末考试物理试卷(Word版含答案)
江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期第一次考试数学试卷(理科) Word版含解析
江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期第一次考试数学试卷(文科) Word版含解析
江西省宜春市上高二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
江西省南昌二中2014-2015学年高一上学期第一次考试数学试卷 Word版含解析
江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015学年江西省南昌十九中高二(下)期中数学试卷(理科) (Word版含解析)
电脑版