2015-2016学年高中数学 2.3.2双曲线的简单性质课件 北师大版选修1-1_图文

成才之路 ·数学 北师大 版·选修1-1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 §3 双曲线 3.2 双曲线的简单性质 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程,讨论它的 几何性质. 2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问题. 双曲线的几何性质 x2 y2 1.设 P(x,y)是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,则 x≥a a b 或 x≤-a,y∈R. 2.在双曲线方程中,以-x、-y 代替 x、y 方程不变,因 轴对称 图形;也是以原 此双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的________ 中心对称 图 形 , 这 个 对 称 中 心 叫 作 点 为 对 称 中 心 的 __________ 双曲线的中心 . _______________ 顶点, 3.双曲线与它的对称轴的两个交点叫作双曲线的_____ x2 y2 (±a,0) ,这两个顶点之间 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的顶点是______ a b 实轴 ,它的长等于_____. 2a 同时在另一条对 的线段叫作双曲线的_____ 虚轴 , 称轴上作点 B1(0, -b), B2(0, b), 线段 B1B2 叫作双曲线的_____ 2b , a 、 b 分 别 是 双 曲 线 的 __________ 实半轴长 和 它 的 长 等 于 _____ 虚半轴长 . __________ 4. 双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比值 e 叫作双曲线的 离心率 ,其取值范围是__________ (1,+∞) .e 越大,双曲线的张口 ________ 大 . 越_____ 5. 根据双曲线的对称性可知, 双曲线向外 b 无限延伸时,总是局限在由直线 y= x 和直线 a b y=- x 相交而分平面所成的,含双曲线焦点 a 的两个区域内,并与这两条直线无限接近,但 b 永远不会与这两条直线相交.如图所示.直线 y= x 和直线 y a b 双曲线的渐近线 . =- x 叫作_______________ a 6.双曲线的几何性质列表总结如下: 2 2 y x 2- 2=1(a>0, x2 y2 a b 2- 2=1(a>0,b>0) a b b>0) 标准方程 图形 标准方程 范围 对称性 性 质 渐近线 离心率 顶点坐标 x2 y2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a2 b2 a b |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R x轴、y轴 对称轴:__________ x轴、y轴 对称轴:__________ (0,0) 对称中心:_____ (0,0) 对称中心:_____ (-a,0),(a,0) b y=± x a (0,-a),(0,a) a y=± x b c e= ,e∈(1,+∞) a 1.双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形, 边长满足 c2=a2+b2,称为双曲线的特征三角形. (2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线,垂足为 D,则|OF|=c, |FD|=b,|OD|=a,△OFD 亦是直角三角形,满足|OF|2=|FD|2 +|OD|2,也称为双曲线的特征三角形. (3)实轴长与虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线,其离心 率为 2,其两条渐近线互相垂直. 2.(1)双曲线的渐近线中“渐近”的含义是:当双曲线的 各支向外延伸,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的; 也可以这样理解: 当双曲线上的动点 M 沿着双曲线无限远离双 曲线的中心时, 点 M 到这条直线的距离逐渐变小并且无限趋近 于 0. (2)双曲线的渐近线的求法 由双曲线的标准方程求它的渐近线方程,最简单实用的方 法是:把标准方程中的“1”用“0”替换,得出两条直线方程,如 x2 y2 x2 y 2 b 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的渐近线方程为 2- 2=0, 即 y=± a b a b a y2 x2 y2 x2 x;双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 2- 2=0,即 y a b a b a =± x. b (3)如果一个双曲线的实轴长和虚轴长相等,那么这样的双 曲线称为等轴双曲线.它的性质有:①标准方程为x2-y2= λ(λ≠0);②渐近线方程为y=±x;③渐近线互相垂直.这三条 性质与等轴双曲线的定义之间是相互等价的. 3.双曲线的形状有的开口很大,有的开口很小,双曲线 的开口大小与渐近线有关,即渐近线的斜率的绝对值越大,双 曲线形状就越陡,斜率的绝对值越小,形状就越扁. c2-a2 b 由 = = a a c2 c c ? ? -1(c>a>0, >1).可以看出,当 从接近 a a a b 于 1 的值逐渐增大时, 也就从接近于零的值逐渐增大,这时, a b c 双曲线就从扁平的形状逐渐变陡.因此,用 和 的值都可以表 a a b c 示双曲线的扁平程度. 与椭圆的情形一样, 我们不用 而是用 表 a a 示双曲线的扁平程度. 1.双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 1 A. 2 C.1 [答案] B ) 2 B. 2 D. 2 [解析] 双曲线 x2-y2=1 的一个顶点为 A(1,0),一条渐近 1 2 线为 y=x,则 A(1,0)到 y=x 距离为 d= = . 2 2 x2 y2 2.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为 a b ( ) A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 [答案] B [解析] 质. 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性 因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,即 b= 2a,由双曲线 的焦

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