甘肃省甘谷县第一中学高一数学学案《1.3.3函数的最值与导数》

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【学习目标】 1.借助函数图像,直观地理解函数的最大值和最小值概念。 2. 弄清函数最大值、 最小值与极大值、 极小值的区别与联系, 理解和熟悉函数 f ( x) 必 有最大值和最小值的充分条件。 3.掌握求在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤。 【复习回顾】极大值、极小值的概念:

2.求函数极值的方法:

【知识点实例探究】 例 1.求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。 3

你能总结一下,连续函数在闭区间上求最值的步骤吗?

变式:1 求下列函数的最值: (1)已知 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3 , x ? [? ,1] ,则函数的最大值为______,最小值为 ______。 (2)已知 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2, x ? [1,2] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (3)已知 f ( x) ? x 3 ? 27 x, x ? [?3,3] ,则函数的最大值为______,最小值为______。 (4) f ( x) ? 3 x ? x 3 , x ? [1,2] 则函数的最大值为______,最小值为______。 变式:2 求下列函数的最值: (1 ) f ( x ) ? 6 x 2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3

1 3

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例 2.已知函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a 在[-2,2]上有最小值-37, (1)求实数 a 的值;(2)求 f ( x) 在[-2,2]上的最大值。

姓名:_____________

学号:______________

D

【作业】 1.下列说法中正确的是( ) A 函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值 C 若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值 若函数在定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有 多个极值 2.函数 y ?| x ? 1 | ,下列结论中正确的是( A C D )

y 有极小值 0,且 0 也是最小值 y 有极小值 0,但 0 不是最小值

B

y 有最小值 0,但 0 不是极小值

因为 y 在 x ? 1 处不可导,所以 0 即非最小值也非极值

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3.函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? a 在 (0,1) 内有最小值,则 a 的取值范围是( A



0 ? a ?1 B

0 ? a ?1 C

?1? a ?1

D )

0?a?

1 2

4.函数 f ( x) ? xe ? x , x ? [0,4] 的最小值是( A 0 B

1 e

C

4 e4

D

2 e2
9 ; 4

5.给出下面四个命题: (1)函数 y ? x 2 ? 5 x ? 4, x ? [?1,1] 的最大值为 10,最小值为 ?

(2)函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1, x ? [2,4] 的最大值为 17,最小值为 1; (3)函数 y ? x 3 ? 12 x, x ? [?3,3] 的最大值为 16,最小值为-16; (4)函数 y ? x 3 ? 12 x, x ? [?2,2] 无最大值,无最小值。 其中正确的命题有 A 1个 B 2个 6.函数 f ( x) ? 7.函数 y ? x ?
2

C

3个

D

4个

4x , x ? [?2,2] 的最大值是__________,最小值是_____________。 x ?1
3 , x ? [2,??) 的最小值为____________。 x

8.已知 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? m(m 为常数),在[-2,2]上有最大值 3,求函数在区间 [-2,2]上的最小值。

9.(1)求函数 f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 6 x ? 2, x ? [?1,1] 的最大值和最小值;

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(2)求函数 f ( x) ? 48 x ? x 3 的极值。







1.设 a ? 0 为常数,求函数 y ? e ? x ? e ?2 x 在区间 [0, a ] 上的最大值和最小值。

1. 设 f ( x ) ? x 3 ?

1 2 x ? 2 x ? 5 ,(1)求函数 f ( x) 的单调递增,递减区间; 2

(2)当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

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x 2 ? 2x ? a 3.已知函数 f ( x) ? , x ? [1,??) , x
(1)当 a ?

1 ,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对于任意 x ? [1,??), f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3 x , (1)若函数 f ( x) 在 [1,??] 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
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(2)若 x ? ?

1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [1, a ] 上的最大值; 3

(3)在(2)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? bx 的图像与函数 f ( x) 的 图像恰有 3 个交点,若存在 ,求出实数 b 的取值范围;取不存在,试说明理由。

5.当 x ? (1,2] 时,函数 f ( x) ? 最小值。

x 恒大于正数 a ,试求函数 y ? lg(a 2 ? a ? 3) 的 2x ? 1

1. (1)若 0 ? a ? ln 2 在区间 [0, a ] 上,当 x ? a 时,有最大值 e ? a ? e ?2 a ;当 x ? 0 时, 有最小值 0。(2)当 a ? ln 2 ,在区间 [0, a ] 上,当 x ? ln 2 时,有最大值 有最小值 0。2.(1)递增区间为 (??,? ) 和 (1,??) ,递减区间为 (?

1 ;当 x ? 0 时, 4

2 3

2 ,1) ;(2) m ? 7 。 3

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7 (2) a ? ?3 。4.(1) a ? 0 ,(2) f (1) ? ?6 ,(3) b ? ?7 且 b ? ?3 。 2 1 11 5.当 a ? 时, y min ? lg 。 2 4
3.(1)

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