吉林省实验中学2012—2013学年度上学期期中考试高二数学理试题


高二数学解析试(2)
刘海武
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨迹是 以 A.B 为焦点的椭圆”,那么 ( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 2.抛物线 y=-

1 2 x 的焦点坐标是 8 1 1 A.(- , 0) B.(- , 0) 2 32

( C.(0, -2) D.(0, -4)



3.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是





4. AB 为过椭圆 的最大值是

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 中心的弦, F (c, 0) 为椭圆的右焦点,则 ?AFB 面积
( )

A. b2

B. ab

C. ac

D. bc

5.下列命题的否定是真命题的是 ( ) 2 A. ? x∈ R,x -2x+2≥0 B.所有的菱形都是平行四边形 C. ? x∈ R,|x-1|<0 D. ? x∈ R,使得 x3+64=0 6.在相距 4k 米的 A、B 两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差 2 秒, 若声速每秒 k 米, 则爆炸地点 P 必 在 ( ) A. 以 A,B 为焦点, 短轴长为 3 k 米的椭圆上 . B. 以 A,B 为焦点, 实轴长为 2k 米的双曲线上 . C. 以 AB 为直径的圆上. D.以 A,B 为顶点, 虚轴长为 3 k 米的双曲线上.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在曲线:x2+(y+2)2=1 上,那么 PQ 的最小值 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
为 ( )

1

A. 5 -1

B.

4 5

?1

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1

8.已知双曲线:

x2 y2 ? ? 1 ,则以 A(1,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( 4 12



A.3x-y-2=0 B.x-3y+2=0 C.3x+y-2=0 D.不存在 2 2 2 2 x y x y 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 与双曲线 2 ? 2 ? 1? m ? 0, n ? 0? 有相同的焦点 ? ?c,0? 和 ? c,0 ? , a b m n 若 c 是 a, m 的 等 比 中 项 , n2 是 2m 2 与 c 2 的 等 差 中 项 , 则 椭 圆 的 离 心 率 是 ( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 3 2 4 2 10 . 若 直 线 y ? kx ? 2 与 双 曲 线 x 2 ? y 2 ? 6 的 左 支 交 于 不 同 的 两 点 , 那 么 k 的 取 值 范 围 是 ( )

A.( ?

15 15 ) , 3 3

B.( - 1,1 )

C.( 0,

15 ) 3

D.( 1,

15 ) 3

11.设过点 P?x, y ?的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 ( ) A.

BP ? 2PA , 且 OQ ? AB ? 1 , 则 P
B. 3x ?
2

点的轨迹方程是

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? C. 2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2 3 2 2 D. 3 x ? y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2
y A

12.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛 物线于点 A、B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 , 则此抛物线的方程为 3 A. y 2 ? x 2 9 C. y 2 ? x 2 二、填空题 13. 若曲线 ( B. y 2 ? 3x D. y 2 ? 9 x C ) O

F B

x

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
2



14.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上, 那么点 P 到点 Q(2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得 ? 最小值时,点 P 的坐标为 15. 已知 P: x - 4 ? 6 , q : x ? 2x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ,若 ? P 是 ? q 必要不充分条件,则 m 的
2 2

取值范围为



2

16. 一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程是 三、解答题: 17. (满分 10 分)在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 18(满分 12 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根。若 p 或 q 为真,p 且 q 为假。求实数 m 的取值范围。 19. (满分 12 分) 已知双曲线过点 A (?3 2,4) ,它的渐近线方程为 y ? ?

4 x (1)求双曲线的标准 3

方程; (2)设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点,点 P 在这双曲线上,且|PF1|· 2|=32,求∠ 1PF2 |PF F 的大小. 20. (满分 12 分) 若直线 y=x+t 与椭圆

x2 2 ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 t 变化时,求|AB|的最大值. 4

21. (满分 12 分)如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 ) y 0 ? 0 ) ( ,作两条直线 分别交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . (1)求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离; 2

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值,并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0 y
P O x

A B

22.(满分 12 分)设 A,B 分别是直线 y ?

??? ? 2 5 2 5 x和 y ? ? x 上的两个动点,并且 | AB |? 20 ,动 5 5

点 P 满足 OP ? OA ? OB .记动点 P 的轨迹为 C. (I) 求轨迹 C 的方程; (II)若点 D 的坐标为(0,16) ,M、N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取 值范围.
3

??? ?

??? ??? ? ?

参考答案 2
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 D 10 D 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 20 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13. (??, ?4) ? (1, ??) 。 14.

?1 ? ? ? , 1? ?4 ?

15.

m ? 9.



16.

x2 y 2 ? ?1 36 27

三、解答题: 17. (满分 10 分) 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

4t 2 ? 4t ? 5 …………6 分 ? 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。…………10 分 2 2

18(满分 12 分) 解:由题意,p, q 中有且仅有一为真,一为假。

?? ? 0 ? p 真 ? ? x1 ? x 2 ? ? m ? 0 ? m>2, ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
q 真 ? ? <0 ? 1<m<3。

…………4 分

…………6 分

若 p 假 q 真,则 ?

?m ? 2, ? 1<m≤2; ?1 ? m ? 3

…………9 分

若 p 真 q 假,则 ?

?m ? 2 ? m≥3。 m ? 1或m ? 3 ?

…………11 分 …………12 分

综上所述:m∈ (1,2]∪ [3,+∞). 19.(12 分)

解(1)由渐近线方程知双曲线中心在原点,且渐近线上横坐标为 ? 3 2 的点 P ? 的纵坐 标绝对值为 4 2

? 4 2 ? 4 ∴双曲线的焦点在 x 轴上,设方程

x2 y2 ? ?1 a2 b2
4

………………3 分

∵ 双曲线过点 P(?3 2 ,4) 又?

?

18 16 ? ?1 a2 b2



b 4 ? a 3



由① 得 a 2 ? 9, b 2 ? 16 ,∴ ② 所求的双曲线方程为 (2)证|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 d1·2=32 d 又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6…………8 分

x2 y2 ? ?1 9 16

…………6 分

2 2 ? d12 ? d 2 ? 2d1d 2 ? 36 即有 d12 ? d 2 ? 36 ? 2d1d 2 ? 100

………………10 分

又|F1F2|=2c=10

2 ? F1 F2 |2 ? 100 ? d12 ? d 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2 |

△PF1F2 是直角三角形, ?F1 PF2 ? 90? ………………………………12 分 20. (12 分)解:以 y= x +t 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,并整理得 5x 2 ? 8tx ? 4t 2 ? 4 ? 0 4



因为直线与椭圆相交,则△= 64t 2 ? 20(4t 2 ? 4) ? 0 ,…………3 分 所以 t ? 5 ,即 ? 5 ? t ? 5 ,…………3 分
2

设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , x1 ? t ) ,B( x 2 , x 2 ? t ) ,且 x1 , x 2 是方程① 的两根.由韦达

8t ? ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 定理可得: ? ,…………6 分 2 ? x ? x ? 4(t ? 1) ? 1 2 5 ?
所以,弦长|AB|2= ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 =2 ( x1 ? x2 )2 =2[ ( ?
2 8t 2 ) ? 4 ? 4(t ? 1) ]…………9 分 5 5

=2[ ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ]

得 |AB|= 4 2 ? 5 ? t 2
5

所以当 t=0 时,|AB|取最大值为

4 10 .…………12 分 5

21.(12 分) 解: (I)当 y ?

p p 时, x ? 2 8

y

2 又抛物线 y ? 2 px 的准线方程为 x ? ?

p 2
O
8

P x

由抛物线定义得,所求距离为 p ? ( ? p ) ? 5 p …………3 分
8 2

A B

(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB
5

由 y1 ? 2 px1 , y0 ? 2 px0
2 2

相减得 ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) , 故 k PA ? y1 ? y0 ? 2 p ( x1 ? x0 ) x1 ? x0 y1 ? y0 同理可得 k PB ?

…………3 分

2p ( x2 ? x0 ) ,由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB …………5 分 y2 ? y0 即 2 p ? ? 2 p ,所以 y1 ? y2 ? ?2 y0 , 故 y1 ? y2 ? ?2 …………8 分 y1 ? y0 y2 ? y0 y0
设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y2 2 ? 2 px2 , y12 ? 2 px1 , 相减得 ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 ) 所以 k AB ? y2 ? y1 ? 2 p ( x1 ? x2 ) , 将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 x2 ? x1 y1 ? y2 2p p . …………12 分 k AB ? ? ? ,所以 k AB 是非零常数 y1 ? y2 y0

22.(满分 12 分) 解: (I)设 P(x,y) ,因为 A、B 分别为直线 y ?

2 5 2 5 x和 y ? ? x 上的点, 5 5

故可设 A( x 1 ,

2 5 2 5 x 1 ) , B( x 2 ,? x2 ) . 5 5

?x ? x 1 ? x 2 , ?x 1 ? x 2 ? x , ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ∵OP ? OA ? OB ,∴? ∴? 2 5 5 ………………2 分 y? ( x 1 ? x 2 ). ?x 1 ? x 2 ? y. ? 5 2 ? ?
又 AB ?

4 20 ,∴( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 20 . 5 5 2 4 2 ∴ y ? x ? 20 . 4 5

…………………3 分

即曲线 C 的方程为

x 2 y2 ? ? 1. 25 16

………………………………………5 分

(II) 设 N(s,t) ,M(x,y) ,则由 DM ? ? DN ,可得(x,y-16)= ? (s,t-16). 故 x ? ?s , y ? 16 ? ? ( t ? 16) . ……………………………………7 分

?s2 t 2 ? 1, ? ? ? 25 16 ∵ M、N 在曲线 C 上, ∴ ? ………………9 分 2 2 2 ? ? s ? (?t ? 16? ? 16) ? 1. ? 25 16 ?
消去 s 得

?2 (16 ? t 2 )
16

(?t ? 16? ? 16) 2 ? ? 1. 16
6

由题意知 ? ? 0 ,且 ? ? 1 ,解得 t ? 又 t ? 4 ,∴

17 ? ? 15 . 2?

………………………10 分

3 5 17? ? 15 . ? 4 .解得 ? ? ? ( ? ? 1 ) 5 3 2? 3 5 ? ? ? ( ? ? 1) 5 3
.…………………………12 分

故实数 ? 的取值范围是

7


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