选修2-3课本例题习题改编

人教 A 版选修 2-3 课本例题习题改编 1. 原题(选修 2-3 第二十七页习题 1.2A 组第九题)改编 1 在正方体 任取 2 点连成 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中, 直线,在这些直线中任取一条,它与对角线 BD1 垂直的概率为_________. 解:如图, E, F , G, H , I , J , K , L, M , N , P, Q 分别为相应棱上的中点,容
2 易证明 BD1 ? 正六边形 EFGHIJ ,此时在正六边形上有 C6 ? 15 条,直

图4

线与直线 BD1 垂直; 与直线 BD1 垂直的平面还有平面 ACB 、 平面 NPQ 、
2 平面 KLM 、平面 AC 1B 1C1D 1 的各个顶点与 1 1B ,共有直线 4 ? C3 ? 12 条.正方体 ABCD ? A 2 2 各棱的中点共 20 个点,任取 2 点连成直线数为 C20 ?12 ? (C3 ?1) ? 166 条直线(每条棱上如

直线 AE , ED, AD 其实为一条) ,故对角线 BD1 垂直的概率为

15 ? 12 27 ? . 166 166

改编 2 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 (A )

1 75

(B)

2 75

( C)

3 75

(D)

4 75

?B ?
C

?F ?E

解:如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意

?D

2 2 选两个点连成直线,共有 C6 C6 ? 15 ?15 ? 225 种不同取法,其中所得的两条直线相互平行 ? A

但不重合有 AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED 共 12 对,所以所求概 率为 P ?

12 4 ? ,选 D . 225 75
设集合 S ? {1, 2,3, 4,5,6} ,定

2.原题(选修 2-3 第四十页复习参考题 A 组第三题)改编 1

义集合对 ( A, B) : A ? S , B ? S , A 中含有 3 个元素, B 中至少含有 2 个元素,且 B 中最 小的元素不小于 A 中最大的元素.记满足 A

B ? S 的集合对 ( A, B) 的总个数为 m ,满

m 足 A B ? ? 的集合对 ( A, B) 的总个数为 n ,则 n 的值为
A. B. C. D.

解:根据题意, m 的个数可以这样取: A ? {1, 2,3}; B ? {4,5, 6},{3, 4,5, 6} ,故 m ? 2, 同样

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得 n 的个数为 22, 故选 A. 改编 2 把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几 个正整数可以按一定顺序构成等差数列, 则称这些数为 n 的一个等差分拆. 将这些正整数的不 同排 列视为相同的分拆.如: (1, 4, 7) 与 (7, 4,1) 为 12 的相同等差分拆.问正整数 30 的不同 等差分拆有 个.

解:分类讨论,当三个数时,有 10 个;四个数时,有 2 个;5 个数时,有 3 个;6、10、15、 30 个数时,各有 1 个,共 19 个. 3. 原 题 ( 选 修 2-3 第 四 十 一 页 复 习 参 考 题 B 组 第 1 题 ( 3 ) )改编 已知集合

定义映射 f : M ? N , 且点 A?1, f(1)?, B?2, f(2) ?, C ? 若 M ?? 1,2,3 1,2,3,4? , 3, f(3) ? . ?, N ? ?

△ABC 的外接圆圆心为 D, 且D A? D C
个; B.10 个; C.6 个;

? D ? B

则满足条件的映射有 ( R? ? , ??



A.12

D.16 个;

解:设 K 为 AC 的中点.由 DA ? DC ? ? DB ?? ? R ? ,知 D, B, K 三点共线,结合题意知
2 2 AB ? AC ,于是 f (1) ? f (3) ? f (2) ,这样满足条件的映射有 C4 A2 ? 12 种.

4.原题(选修 2-3 第九十五页例1)改编

甲乙两个学校高三年级分别有 1100 人,1000 人,为

了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从 两个学校一共抽取了 105 名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成 绩在[120,150]内为优秀,甲校:

乙校:

(I )计算 x, y 的值; (II)由以上统计数据填写右面 2 ? 2 列联表,若按是否优秀来判断,是否有 97.5% 的把握 认为两个学校的数学成绩有差异. (III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率;若把频率作为概率,现从乙校学生中

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任取 3 人,求优秀学生人数 的分布列和数学期望;

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