【南方新课堂】2017高考(新课标)数学(理)二轮专题复习练习:专题一第2讲不等式.doc

专题一

函数与导数、不等式 第2讲 不等式

一、选择题 x-1 1.不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 1 ? A.? ?-2,1? 1 ? B.? ?-2,1? 1? C.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) 1? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞)
?(x-1)(2x+1)≤0, ? x-1 1 1 - ,1?. 解析: ≤0?? ?- <x≤1,不等式的解集为? 2 ? ? 2 2x+1 ? 2x + 1≠0 ?

)

答案:A b 4a 1+ ??1+ ?的最小值为( 2.(2016· 安徽合肥二模)若 a,b 都是正数,则? a b? ? ?? A.7 B.8 C.9 D.10 )

解析:∵a,b 都是正数, b?? 4a? b 4a ∴? ?1+a??1+ b ?=5+a+ b ≥5+2 答案:C y≤-x+2, ? ? 3.(2016· 泰安模拟)不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为( ? ?y≥0 1 A.1 B. 2 1 1 C. D. 3 4 b 4a · =9,当且仅当 b=2a 时取等号. a b

)

? ?y=-x+2, 解析:作出不等式组对应的区域为△ BCD,由题意知 xB=1,xC=2.由? 得 ?y=x-1, ?

1 1 1 1 yD= ,∴S△BCD= ×(xC-xB)× = . 2 2 2 4

答案:D 1? ? x<-1或x> ?,则 f(ex)>0 4.(2016· 吉林一模)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? 3? ? ? 的解集为( )(导学号 55460097)

A.{x|x<-1 或 x>-ln 3} B.{x|-1<x<-ln 3} C.{x|x>-ln 3} D.{x|x<-ln 3} 1 解析:设-1 和 是方程 x2+ax+b=0 的两个实数根, 3 1 2 1 1 -1+ ?= ,b=-1× =- , ∴a=-? 3? 3 ? 3 3 1? ? x<-1或x> ?, ∵一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? 3 ?
? ?

2 1 2 1 x2+ x- ?=-x2- x+ , ∴f(x)=-? 3 3? ? 3 3 1? ∴f(x)>0 的解集为? ?-1,3?. 1 不等式 f(ex)>0 可化为-1<ex< , 3 1 解得 x<ln ,∴x<-ln 3, 3 故 f(ex)的解集为{x|x<-ln 3}. 答案:D x-2y+1≤0, ? ? 5.已知约束条件?ax-y≥0, 表示的平面区域为 D,若区域 D 内至少有一个点在函 ? ?x≤1 数 y=ex 的图象上,那么实数 a 的取值范围为( A.[e,4) C.[1,3) B.[e,+∞) D.[2,+∞) )

解析:如图,点(1,e)满足 ax-y≥0,即 a≥e.

答案:B 二、填空题 2x-y+1≥0, ? ? 6.(2016· 全国Ⅲ卷)设 x,y 满足约束条件?x-2y-1≤0,则 z=2x+3y-5 的最小值为 ? ?x≤1, ________. 解析:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

2 5 z 由题意可知,当直线 y=- x+ + 过点 A(-1,-1)时,z 取得最小值,即 zmin=2× (- 3 3 3 1)+3× (-1)-5=-10. 答案:-10 7.(2016· 湖北华师一附中 3 月联考)若 2x+4y=4,则 x+2y 的最大值是________. 解析:∵4=2x+4y=2x+22y≥2 2x×22y=2 2x ∴2
x+2y
+2y



≤4=2 ,即 x+2y≤2,

2

当且仅当 2x=22y=2,即 x=2y=1 时,x+2y 取得最大值 2. 答案:2 8.已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 解析:由已知,得 xy=9-(x+3y), x+3y? 即 3xy=27-3(x+3y)≤? ? 2 ?, 令 x+3y=t,则 t2+12t-108≥0, 解得 t≥6 或 t≤-18(舍),即 x+3y≥6. 答案:6 三、解答题 9.(2016· 全国Ⅰ卷改编)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料, 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材
2

料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,试求在不超过 600 个工时的 条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值. (导学号 55460098) 解:设生产产品 Ax 件, 产品 By 件,则

? ?x+0.3y≤90, +3y≤600, ?5x x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N .
* *

1.5x+0.5 y≤150,

目标函数 z=2 100x+900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别 为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0). 当直线 z=2 100x+900y 经过点(60,100)时,z 取得最大值,zmax=2 100× 60+900× 100 =216 000(元). 10.已知函数 f(x)= 2x .(导学号 55460099) x2+6

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解:(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0. 由已知{x|x<-3 或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= ,即 k=- . k 5 (2)∵x>0,f(x)= 2x 2 2 6 = ≤ = ,当且仅当 x= 6时取等号. 6 2 6 6 x2+6 x+ x

由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立, 故 t≥ 6 6 ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. 6 ?6 ?

11.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n).(导学 号 55460100) (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 那么当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)由函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n, 得 f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0, 即 f(x)<m.


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