大庆实验中学2012-2013高一上期末数学试题

大庆实验中学 2012—2013 学年度上学期期末考试

高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题只有一项是正确的) 1.若向量 a ? ?1,2 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b 的值为( A. 0 B. 1 C. 2

?

? ?

? ?

) D. ?1 )

2.若函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? A. ? B.

? ?

??

? ? x ? ? 0,100? ?? ,则函数 f ? x ? 的周期( 3?
C. 2? )

3. sin 600? ? tan 240? 的值是( A. ?

? 2

D.无周期

3 3 1 1 B. C. ? ? 3 D. ? 3 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 4 .已知向量 a ? ? 2, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? , 若向量 a ? kb 与 a ? b 垂直,则 k 的值为( )
A. ?1 B. 1
3

C. ?2

D. 2

5 . 对 于 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b ? R, c ? Z ? , 选 取 a, b, c 的 一 组 值 计 算 f ?1? 和

f ? ?1? ,所得出的正确结果一定不可能是(
A. 4 和 6 B. 3 和 1 C. 2 和 4

) D. 1 和 2

[来源:学科网]

6.已知在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值 为( A. 0 ) B.

4 3
2

C.

2 3
)

D. ? 3

7.设 a ? log5 4 , b ? ? log 5 3? , c ? log 4 5 ,则( A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

8.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin? ?x ? 的最小值是( A. ) B.

? ?

??

4? 个单位后与原图像重合,则 ? ? ? 2 的图像向右平移 3? 3

3 D. 3 2 9.设函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域都是 D , h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 f ? x ? , g ? x ? 的最大值
C.
[来源:学科网 ZXXK]

2 3

4 3

分别是 M、N ,最小值分别是 m、n ,给出以下三个结论:

1

(2) h ? x ? 的最小值一定是 m ? n ; A. 0 B. 1

(1) h ? x ? 的最大值一定是 M +N ; )

(3) h ? x ? 的值域一定是 ? m ? n, M +N ? ,上述错误的结论个数为(

? ? ? ? ? a ? 10.设非零向量 a, b, c ,若 p ? ? ? a
A. ? 0,1? 11.若函数 y ? A. a ? ?4 B. ?1, 2 ?

? ? ? ? b c ? ? ? ,那么 p 的取值范围为( b c
C. ? 0, 3?

C. 2

D. 3 )

D. ?1, 3? )

4 和 y ? x ? a 的图像有三个不同的公共点,则实数 a 的取值范围是( x
B.

a ? ?4

C.

a?4

D. a ? 4

12.如图 ,非零向量 OA ? a, OB ? b ,且 BC ? OA , C 为垂

B
足,若 OC ? ? a, 则 ? ? ( )

A.

a?b a ?b

B.

a ?b a?b

C.

a ?b
2

D.

a ?b
2

b

a

O

C

A

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案写在答题卡上) 13.给出三个结论: (1) 0 一定是奇函数的零点; (2) 偶函数一定有一偶数个零点; (3) 周期函数一定有无穷多个零点. (4) 单调函数至多有一个零点. 其中正确的结论个数为________ _.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K][来源:Zxxk.Com]

14.若 cos? ? ?

3 ? 3? ,且 ? ? ? ? , 5 ? 2

? ? ,则 tan? =________; ?

15.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中, t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线

y ? ae nt ,
若 5min 后 甲 桶 和 乙 桶 的 水 量 相 等 , 又 过 了 m min 后 甲 桶 中 的 水 只 有

a 升,则 8

m ? _______;
? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? 16.向量 d ? (a ? c) ? b ? (a ? b) ? c ,若记非零向量 a 与非零向量 d 的夹角为 ? ,则函数

y ? sin( ? 2 x), x ?[0, ] 的单调递减区间为 2 2

?

?

.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤)

2

17. (本题满分 10 分) 如右图所示, A, B 是单位圆 O 上的点,C 是单位圆与 x 轴正 半轴的交点, A 点的坐标为 ?

y B A x O C

uuu r 求点 B 的坐标及 BC 的值.
18. (本题满分 12 分) 已 知 向 量

?1 3? ? 2 , 2 ? , ?AOB 为等边三角形, ? ? ?

???? OC ? ? 5 ? x, ?3 ? y ? .

OA ? ?3,?4?



??? ? OB ? ? 6, ?3?

, (17 题图)

(Ⅰ)若点 A, B, C 不能构成三角形,求 x, y 应满足的条件; (Ⅱ)若 AC ? 2 BC ,求 x, y 的值.

19. (本题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? log 1 ? (Ⅰ)求 t 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的定义域,并判断 f (x) 的单调性; (Ⅲ)解关于 a 的不等式 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 .

? 1 ? tx ? ? ? t ? 1? 是奇函数. + 2 ?1 x ?

3

20. (本题满分 12 分) 定 义 在 区 间 ? ?? , ? ? 上 的 函 数 y ? f ? x 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 当 ? 3 ? 6 ?

?

2 ?

?

? ? 2 ? 函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? , x ? ? ? , ? ? 时, ? 6 3 ?

y

? ?? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ,其图像如右图. 2 2? ?
2 ? ? (Ⅰ) 求函数 y ? f ? x? 在 ? ?? , ? ? 上的表达 3 ? ?
式; (Ⅱ)求方程 f ? x ? ?
x= π 6

1 x π 6 2π 3

2 的解集. 2

(20 题图)

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? c (其中 b, c 为实常数).
2

R (Ⅰ)若 b ? 2 ,且 y ? f ? sin x ??x ?
解析式;

? 的最大值为 5 ,最小值为 ?1,求函数 y ? f ? x ? 的

(Ⅱ)是否存在这样的函 数 y ? f ? x ? ,使得 y | y ? x ? bx ? c, ?1 ? x ? 0 ? ? ?1, 0? ?若
2

?

?

存在, 求出函数 y ? f ? x ? 的解析式;若不存在,请说明理由.

4

22. (本题满分 12 分)

记集合 A ? x | f ? x ? ? x, x ? R , B ? x | f (Ⅰ)令函数 f ? x ? ? x ? bx ? c
2

?

?

?

? f ? x ? ? ? x, x ? R? .

(1)若 A ? ? ,求证: B ? ? ; (2)若 A ? ? ,判断 B 是否也为空集; (Ⅱ) (1)证明 A ? B ; (2)若 f ? x ? 为增函数,研究集合 A 和 B 之间的关系,并证明你的结论.

5

大庆实验中学 2012—2013 学年度上学期期末考试 数学参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17.解:由 A ?

CDBBD 13.1 14.
4 3

ADCDC 15.10

BD
? 3? ? 16. ? 0, ? ? 8 ?

?1 3? ? , ? 知 ?AOC ? ,而 ?AOB 为等边三角形 ?2 2 ? 3 ? ?

得 ?BOC ?

2? 2? 2? ? ,则 B ? cos ,sin 3 3 3 ?
??? ? ?3 ?2 ,?

? 1 3? ? ,即 B ? ? , ? ? 2 2 ? ------------5 分 ? ? ? ?

而 C ?1, 0 ? 所以 BC ? ? ?

??? ? 3? ? ,则 BC ? 3 -------------------------10 分 2 ? ?

18.解: (Ⅰ) 若点 A, B, C 不能构成三角形,则 A, B, C 三点共线 由 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) 得

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? AB ? (3,1), AC ? (2 ? x,1 ? y ),

则 3(1 ? y) ? 2 ? x

即 x, y 满足的条件为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ;------------------6 分 (Ⅱ) BC ? (? x ? 1, ? y ) , 由 AC ? 2 BC 得

??? ?

????

??? ?

(2 ? x,1 ? y) ? 2(? x ? 1, ? y)
则?

?2 ? x ? ?2 x ? 2 ?1 ? y ? ?2 y

解得 ?

? x ? ?4 .--------------12 分 ? y ? ?1
2 2

19.解: (Ⅰ)由 f (? x) ? f ( x) ? 0 可得 (t ? 1) x ? 0 ,该式对定义域内的 x 恒成立, 故 t ? 1 ,又 t ? 1,故 t ? ?1 ……………3 分
2

(Ⅱ)当 t ? ?1 时, f (x) 的定义域为 (?1,1) 又 f ( x) ? log 1 ?

2 ? ?1? x ? ? ? ? log 1 ? ? 1 ? ?, 1+x ? 1+x ? 2? 2?

由复合函数的单调性判断可知: f (x) 在区间 (?1,1) 上单调递增. ……………7 分 (Ⅲ) f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 等价于 f (a ? 1) ? f (1 2a) ,结合(Ⅰ) (Ⅱ)可得: -

6

? ?1 ? a ?1 ? 1 2 ? ?? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ,解得: a ? [ ,1) ……………12 分 3 ? a ? 1 ? 1 ? 2a ?
(注:直接带入表达式求解也行,参照该标准相应给分) 20.解: (Ⅰ) x ? ? ? 当 当 x ? ? ?? , ?

? ? ? 2 ? 由图像得 A ? 1 , ? 1 , ? , f ?x ? ? s 即 , ? ? 时, i n ? ? 3 ? 6 3 ?
??
? ? ? ? 时, f ? x ? ? f ? ? ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? sin x 6? ? 3 ?
[来源:学。科。网]

?? ? x ? ? ? 3? ?

? ?

? ? ?? ? ? 2? ? ?sin ? x ? 3 ? x ? ? ? 6 , 3 ? ? ? ? ? ? 则 f ? x? ? ? ------------------------6 分 ?? ? ? ? sin x x ? ? ?? , ? ? ? 6? ? ?
(Ⅱ)当 x ? ? ?

?? 2 ? 5? ? ? ? 2 ? ,解得 x ? ? , , ? ? 时, sin ? x ? ? ? 3? 2 12 12 ? ? 6 3 ?

当 x ? ? ?? , ?

? ?

??

2 ? 3? ,解得 x ? ? , ? ? 时, sin x = ? 2 6? 4 4
? ? 5? ? 3? ? , , ? , ? ? .-----------------------12 分 4 ? ? 12 12 4
2

则方程的解集为 ??

21. 解: (Ⅰ)由条件知 f ? x ? ? x ? bx ? c, x ? ? ?1,1? 的最大值为 5 ,最小值为 ?1 而 b ? 2 ,则对称轴 x ? ?
2

? f ? ?1? ? ?1 ? c ? b ? 1 ? ?1 ?c ? 1 b ? ,即 ? ,解得 ? ? ?1 ,则 ? 2 ?b ? c ? 1 ? 5 ?b ? 3 ? f ?1? ? 5 ?

则 f ? x ? ? x ? 3x ? 1 -------------------------------4 分 (Ⅱ)若 b ? 2 ,则 x ? ?

? c ? b ? 1 ? ?1 ?c ? 0 b 2 ,解得 ? ,此时 f ? x ? ? x ? 2 x ? ?1 ,则 ? 2 ?c ? 0 ?b ? 2

若 b ? 0 ,则 x ? ?

?c ? b ? 1 ? 0 ? c ? ?1 b 2 ,解得 ? ,此时 f ? x ? ? x ? 1 ? 0 ,则 ? 2 ?c ? ?1 ?b ? 0

?c ? b ? 1 ? 0 ?c ? 3 ? c ? ?1 b ? 1 ? ? 若 0 ? b ? 1 ,则 x ? ? ? ? ? , 0 ? ,则 ? ,解得 ? (舍)或 ? (舍), b2 2 ? 2 ? c ? ? ?1 ?b ? 4 ?b ? 0 ? ? 4
此时不存在函数 f ? x ?

?c ? 0 ?c ? 0 ?c ? 0 b ? 1? ? 若 1 ? b ? 2 ,则 x ? ? ? ? ?1, ? ? ,则 ? , 解得 ? (舍)或 ? (舍), b2 2 ? 2? ?b ? 2 ?b ? ?2 ? c ? ? ?1 ? 4

7

此时不存在函数 f ? x ? 综 上 所 述 存 在 函 数

f ? x ? ? x2 ?1 和

f ? x ? ? x2 ? 2x 满 足 条 件

-------------------- --------8 分 22. 解:Ⅰ) f ? x ? ? x ? bx ? c 得 f ( 由
2

? f ? x ? ? ? f ? x ? ? bf ? x ? ? c 及 c ? f ? x ? ? x
2
2 2

2

? bx

由f 整

? f ? x ? ? ? x 得到 f ? x ? ? bf ? x ? ? c ? x ,即 f ? x ? ? bf ? x ? ? f ? x ? ? x
2

? bx ? x
, 即







f 2 ? x ? ? x2 ? b ? f ? x ? ? x ? ? ? f ? x ? ? x ? ? 0

? f ? x ? ? x ? ? f ? x ? ? x ? b ? 1? ? 0 ①
即 f ? x? ? x ? 0 或 f ? x? ? x ? b ?1 ? 0 , 即 x ? ? b ? 1? x ? c ? 0 ②或 x ? ? b ? 1? x ? b ? c ? 1 ? 0 ③
2 2

方程②的判别式 ? ? ? b ? 1? ? 4c
2

方程③的 判别式 ?1 ? ? b ? 1? ? 4b ? 4c ? 4 ? ? b ? 1? ? 4c ? 4 ? ? ? 4
2 2

(1)若 A ? ? ,即 f ? x ? ? x ? 0 有解,即 x ? ? b ? 1? x ? c ? 0 有解,即 ? ? 0 ,则①有解,
2

即B ?? (2) A ? ? , ? ? 0 , ?1 ? 0 , 若 即 则 ②和③均无解, 则①无解, B ? ? ----------------6 即 分 (Ⅱ) (1)若 A ? ? ,则 A ? B 若 A ? ? ,任取 x0 ? A ,则 f ? x0 ? ? x0 ,则 f

? f ? x ?? ? f ? x ? ? x ,
0 0 0

即 x0 ? B ,即 A ? B --------------------------------------------8 分 (2)任取 x0 ? B ,则 f 则 f ? x0 ? ? f
0

? f ? x ?? ? x
0 0

0

,若 x0 ? f ? x0 ? ,因为函数 f ? x ? 为增函数,

? f ? x ? ? ? x ,产生矛盾; ? f ? x ?? ? x
0 0 ,产生矛盾,

若 x0 ? f ? x0 ? ,因为函数 f ? x ? 为增函数,则 f ? x0 ? ? f 则 x0 ? f ? x0 ? ,即 x0 ? A ,则 B ? A 再由(1)得 A ? B -------------------------------------12 分

8


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