杨辉三角与二项式系数(优秀课件1)


“杨辉三角” 与 二项式系数的性质

一、新课引入 二项定理: 一般地,对于n? N*有

(a ? b ) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n

n? 2

b ?
2

r n ? ? C n a n? r br ? ? ? C n bn

二项展开式中的二项式系数指的是那些?共 有多少个?

C ,C ,C ,?,C

0 n

1 n

2 n

n n

杨辉三角

(a ? b) 展开式中的二项式系数,如下表所示:
n

(a ? b)1

1 1
1 1 3 1 4 6 2 3 1 1 4 1

1 C10C1

(a ? b)

2 3

CCC

0 2

1 2

2 2

(a ? b) 4 (a ? b)
5

0 1 3 C3 C3C32C3
0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4

1 5 10 10 5 1 (a ? b) 6 0 1 2 3 4 5 6 (a ? b) 1 6 15 20 15 6 1 C6 C6C6 C6 C6 C6 C6

0 1 2 3 4 5 C5 C5C5 C5 C5 C5

……

……

(a ? b)

n

c

r n ?1

? cn ? cn
r

r ?1

…… 0 1 2 r n n Cn CnCn ...Cn ...Cn ?1Cn

二项式系数的性质

C ,C ,C ,?,C
2.二项式系数的性质
(1)对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 m n?m Cn ? Cn 得到.

0 n

1 n

2 n

n n

知识探究3:

C

函数角度: r n 可以看成以r为自变量的函数
(2)增减性与最大值

f(r),其定义域是{0,1,·,n}。 · ·

图象法解释
f(r) 20

f(r) 35 30

n为奇数; 如n=7

15

20

10
6 1 O O
n 2

n

3 n4
2

7

r

n

n为偶数; 如n=6

①关于r=n/2对称

②r=3和r=4时取得最大值

总结提炼3:

n是偶数时,中间的一项 C n 取得最大值;

n 2

1
1 1 3 2

1
1 3 1

当n是奇数时,中间的两项 Cn n?1 和 Cn2 相等,且同时取得最大 1 4 6 4 1 值。 0 1 2 3 4 5 1 5 10 10 5 1 C5 C5C5 C5 C5 C5

n?1 2

C CC CC CC

0 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6 6

1

6 15 20 15

6

1

课堂练习:
1) (a ? b) 的展开式中,二项式系数的最大值 是 ;
9

2)若 (a ? b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大,则n= ;
n

二项式系数的性质

(a+b) C a +C a =
n
0 n n 1 n

n-1

b+C a
2 n

n-2 2

b + ? ? ? +C b

n n n

(3)各二项式系数的和
在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则:

C ? C ? C ? ?? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n
n

n

( 这就是说, a ? b) 的展开式的各二项式系 数的和等于: n 2

同时由于C0 ? 1,上式还可以写成: n

C ? C ? C ? ?? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

这是组合总数公式.

10 [普通高中课程数学选修2-3] 1.3 二项式定理

例 证明在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明: n 0 n 1 n?1 r n ?r r n n (a ? b) ? Cn a ? Cna b ? ? ? ? ? Cn a b ? ? ? ?Cn b 在二项式定理中,令

a ? 1, b ? ?1 ,则:
n n n

?1?1?

n

? C ? C ? C ? C ? ? ? ? ? (?1) C
0 n 1 n 2 n 3 n

赋值法

0 1 3 0 ? (Cn ? Cn2 ? ? ? ?) ? (Cn ? Cn ? ? ? ?) n 2 0 2 1 3 n ?1 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? ? 2 2

11 [普通高中课程数学选修2-3] 1.3 二项式定理

知识对接测查3

3) : C ? C ? ? ? C
1 10 2 10 1 11 3 11 5 11 7 11

10 10

2 ?1 ? _____;? 1023
10
9 11 11 11

C ?C ?C ?C ?C ?C
P35:练习:1(3)

2 ? 1024 ? _____ .
10

赋值法
7 2 6 7

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x 求:)a0 (2)a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7 (1 7 解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x) 7 即f (0) ? (1 ? 2 ? 0) ? 1, (1)令x ? 0
(2)令x ? 1

?a0 ? f (0) ? 1

展开式右边即为a0
7

f (1) ? (1 ? 2 ? 1) ? ?1

a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (a0 ? a1 ? ? ? a7 ) ? a0 ? f (1) ? f (0) ? ?1 ? 1 ? ?2

? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7

例2

已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x
7 2 6

7

(3)a1 ? a3 ? a5 ? a7 (4)a0 ? a2 ? a4 ? a6 7 解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x)
(3) ? f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 f (?1) ? a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ?? a7

?2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? f (1) ? f (?1)

f (1) ? f (?1) ?1 ? 3 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? 2 2
(4)2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? f (1) ? f (?1)

7

小结:求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值,然后解方程组整体求解

练习( ? x ? x ? x ) :1 的展开式中奇次项
2 3 4

系数和是 ______
分析 : 设f ( x) ? (1 ? x ? x ? x )
2 2 12 3 4

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ... ? a12 x 4 f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ??? a12 ? 4 f (?1) ? a0 ? a 1 ?a2 ? a3 ? ?? a12 ? 0 思考: 7 (1? 2x) 展开式中求 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7

15 [普通高中课程数学选修2-3] 1.3 二项式定理

巩固练习: 1.若(2 x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 则 a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值是____. (

,

1

2.求(1 + x + x2)(1-x)10展开式中含 x 项的系数

-9

3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 3 3 3 3 3 3 3 3 析: C3 ? C4 ? C5 ? C6 ? C7 ? C8 ? C9 ? C10 ? 330 4. 9192除以100的余数是____.

81

5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*),
且 a : b=3 : 1 ,那么 n =_____ (95上海高考)

11

一般地, a ? b)n 展开式的二项式系数 (

C , C ,?C 有如下性质:
(1)C
m n

0 n

1 n

n n

?C

n?m n

(2)
n 2 n

C ?C
m n

m?1 n

?C

m n?1

(3)当n为偶数时, C
当n为奇数时, C (4)
0 n 1 n

最大

n ?1 2 = n

C

n ?1 2 n
n

且最大

C ? C ? ?? C ? 2
n n

作业: 一:P37:7,8 求9092除以89的余数。 补充(1) (2) 求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 二:优化:P11--12


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