2014上海市虹口区高三数学一模试题 文理合卷

虹口区 2013 学年高三年级第一学期期末质量抽查测试 数学试卷
2014.01.06 一、填空题(满分 56 分) 1、已知全集 U ? ?0,1, 2? , A ? x x ? m ? 0 ,若 ? ? ,则 m ? _________. U A ? ?0,1 2、不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集 是_________. .. 3、若 ? ? sin x ? cos x 对所有的 x ? R 都成立,则实数 ? 的取值范围为_________. 4、从长度为 1 、、 2 3、 4 的四条线段中任取三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率 是_________. 5、双曲线

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为_________. 4 9

6、 已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 则满足 f ? m ? ? f ?1? 的实数 m 的取值范围是_________. 7、已知 ?1 ? ax ? 的展开式中,含 x 3 项的系数为 160 ,则实数 a ? _________.
6

8、已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 与 a5 的等比中项为 2,则 a2 ? a4 的最小值 为_________. 9、已知椭圆中心在原点,一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点重合,一个顶点坐标为 ? 0, 2 ? ,
2

则此椭圆的方程为_________. 10、给出下面四个命题: (1)对于任意的 a ? 0, b ? 0 ,则有 alg b ? blg a 成立; (2)直线 y ? x ? tan ? ? b 的倾斜角为 ? ; (3)在空间,若两直线与同一条直线垂直,那么这两条直线平行; (4)在平面将单位向量的起点移到同一个点,终点的轨迹是一个单位圆. 其中真命题的序号是_________. 11、已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? 值域为_________. 12 、 已 知 f ? x ? ? 10
x

1 1 ? ,则此函数的 4x 2x

, 对 于 实 数 m、 、 有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n? , n p

f ? m ? n ? p ? ? f ? m ? ? f ? n ? ? f ? p ? ,则 p 的最大值为_________.
13 、 已 知

f

x ? ??

2

s

n? n i n, 2
4



an ?

? f?

? n ?

1? f ? , n则

a1 ?

a2 ? ? a3 ?

? a2 0 ?1 _________.

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14、 函数 f ? x ? ? 2sin ? x 与函数 g ? x ? ? 二、选择题(满分 20 分)

3

x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为_________.

15、已知 a ? (0, 2), b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是( A. a ? b ? b

?

?



?

? ?

?

?

B.

?a ? b? ? ?a ? b?

? ?

? ?

C. a ? b

?

?

D. a ? b

?

?

16、已知函数 f ? x ? ? ? A. 此函数是偶函数

? 1, x ? Q ,下列结论不正确的是( ?? , x ? ?R Q
B.此函数是周期函数



C.此函数既有最大值又有最小值

D.方程 f ? ? f ? x ?? ? ? 1 的解为 x ? 1

17、在 ? An Bn Cn 中,记角 An、Bn、Cn 所对的边分别为 an、bn、cn ,且这三角形的三边长 是公差为 1 的等差数列,若最小边 an ? n ? 1 ,则 lim Cn ? (
n ??



A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

18、 如图 1, 一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块, 容器内盛有 a 升水, 平放在地面上, 则水面刚好过圆锥的顶点 P , 若将容器倒置, 如图 2, 则水面也恰好过点 P , 以下命题正确的是( )

1 2 2 B. 圆锥的高等于圆柱的高的 3
A.圆锥的高等于圆柱的高的 C.将容器一条母线贴地,水面也恰好过点 P D.将容器任意摆放,当水面静止时都过点 P 三、解答题(满分 74 分)

P P

图1

图2

19、 (满分 12 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? a, AD ? b, AC1 ? c , 点 M 为 AB 中点,点 N 为 BC 的中点. (1)求长方体的体积; (2)若错误!未找到引用源。求异面直线 A1 M 与 B1 N 所成的角.

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20、 (满分 14 分) 已知 A ? cos ? ,sin ? ?, B ?cos ?,sin ? ? , 其中 ?、? 为锐角, 且 AB ? (1)求 cos ?? ? ? ? 的值; (2)若 tan

10 5

?
2

?

1 ,求 cos? 与 cos ? 的值. 2

21、 (满分 14 分)数列 ?an ? 是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

22、 (满分 16 分)已知圆 C 过定点 A ? 0,1? ,圆心 C 在抛物线 x ? 2 y 上, M、N 为圆 C 与
2

x 轴的交点.
(1)当圆心 C 是抛物线的顶点时,求抛物线准线被圆截得的弦长; (2)当圆心 C 在抛物线上运动时, MN 是否为一定值?请证明你的结论; (3)当圆心 C 在抛物线上运动时,记 AM ? m, AN ? n ,求 时圆 C 的方程.

m n ? 的最大值,并求出此 n m

23、 (满分 18 分)设函数 f n ? x ? ? ?2 ?
n

2 22 2n ? 2 ?? ? n x x x

(1)求函数 f 2 ? x ? 在 ?1, 2 ? 上的值域; (2)证明:对每一个 n ? N* ,在 ?1, 2 ? 上存在唯一的 xn ,使得 f n ? xn ? ? 0 ; (3)求 f1 ? a ? ? f 2 ? a ? ? f 3 ?a ? ?? ? f n ?a ? 的值.

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