【优化方案】高考数学二轮复习 专题2第1讲三角函数的图象与性质课件 新人教版_图文

专题 二 三角函数、三角 变换、解三角形、平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 要点知识整合 1.正弦、余弦、正切函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶 性 y=sinx R [-1,1] 奇函数 y=cosx R [-1,1] 偶函数 y=tanx {x|x≠ +kπ, ? 2 k∈Z} R 奇函数 最小正 周期 2π 2π π 函数 y=sinx 在[- 2 +2kπ,+ 2 ? ? y=cosx 在 [- π+ 2kπ, y=tanx 单 调 性 2kπ](k ∈ Z) 上 递 2kπ](k∈Z) 在(- 2 +kπ, 增.在[-2 +2kπ, 上递 ? ? + 3? 2 2kπ](k∈Z) 增.在 [2kπ,π+ 2kπ](k∈Z) 上递减 ? +kπ)(k∈Z) 2 上递减. 上递增 函数 y=sinx y=cosx y= tanx 当x= ? 2 +2kπ, k∈Z时,y取得 当x=2kπ,k∈Z 时,y取得最大 最值 最大值1. 当x= - ? 2 +2kπ, 值1. 当x=π+ 2kπ,k∈Z时,y 取得最小值-1 无最值 k∈Z时,y取得 最小值-1 函 数 y=sinx 对称中心: y=cosx 对称中心: ( 2+ ? 2 y=tanx 对 称 性 ( kπ , ? kπ, 对称中心: ( k? 2 0)(k∈Z).对 0)(k∈Z).对 称轴:x= 称轴:x= kπ(k∈Z) +kπ(k∈Z) , 0)(k∈Z) 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与 相应的y的值,描点连线可得. (2)图象变换 热点突破探究 典例精析 题型一 例1 三角函数的图象变换 π (2009 年高考天津卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x 4 ∈R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左平移 |φ|个单位长度, 所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的一个值是 ( π A. 2 π C. 4 ) 3π B. 8 π D. 8 2π 【解析】 由已知周期为 π, 即 π= , ∴ω=2, ∴f(x) ω π =sin(2x+ ),将其图象向左平移|φ|个单位长度,得到 4 π y=sin[2(x+|φ|)+ ]的图象,由其图象关于 y 轴对称, 4 π π 故 sin[2(x+|φ|)+ ]=± cos2x, 即 sin(2x+2|φ|+ )=± cos 4 4 π π π kπ 2x,∴ 2|φ|+ = +kπ, k∈ Z,∴ |φ|= + , k∈ Z, 4 2 8 2 π π 当 k=0 时,|φ|= ,故 φ 可取 ,故选 D. 8 8 【答案】 D 【题后拓展】 (1)在进行图象变换时,必须注意 ω 对平移单位的影响,即由 y= Asinωx 变化到 y= φ Asin(ωx+φ)时,平移量应是| |;但对 y=Asin(ωx ω +φ)进行伸缩变换时,要注意 φ 是不变的,故本题 常见的错误是将平移后的解析式写为 y=sin(2x+|φ| π + ); 4 (2)任何一个形如y=Asin(ωx+φ)的函数的图象, 经过平移变换之后,都可以变成一个奇函数或 偶函数的图象,即可以变换为y=±Asin ωx或 y=±Acos ωx的图象. 题型二 例2 三角函数的性质 已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x, sin x),定义 f(x)=a· b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ)(0<θ< )为偶函数, 求 θ 的值. 2 【解】 (1)f(x)= 2sin x cos x+ 2 3sin2x- 3 = 1-cos2x sin2x + 2 3 - 3 = sin2x - 3 cos2x = 2 π 2sin(2x- ). 3 π π 3π 令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 解得 f(x)的单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ ],k 12 12 ∈Z. π (2)f(x+θ)=2sin(2x+2θ- ). 3 根据三角函数图象的性质可知 π y=f(x+θ)(0<θ< )在 x=0 处取最值. 2 π 即 sin(2θ- )=± 1, 3 π π kπ 5π ∴2θ- =kπ+ ,θ= + ,k∈Z. 3 2 2 12 π 5π 又 0<θ< ,解得 θ= . 2 12 【思维升华】 求三角函数的周期、单调区间、 最值及判断三角函数的奇偶性时,往往是在定义 域内,先化简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx +φ)+B的形式,然后再求解. 变式训练 1.已知函数 f(x)=a(2sin +sinx)+b. 2 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 a<0 时,f(x)在[0,π]上的值域是[2,3],求 a,b 的值. 解:(1)∵a=1, ∴f(x)=2sin +sinx+b=sinx-cosx+b+1 2 π = 2sin(x- )+1+b. 4 2x 2x π 3π ∵y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈ 2 2 Z), π π 3π ∴当 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π 7π 即 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是减函数. 4 4 3π 7π ∴f(x)的单调递减区间是[2kπ+ , 2kπ+ ](k∈Z). 4 4 π (2)f(x)= 2asin(x- )+a+b, 4 π π 3π ∵x∈[0,π],∴- ≤x- ≤ , 4 4 4 2 π ∴- ≤sin(x- )≤1

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