高中数学北师大版必修四课件:第三章 3 二倍角的三角函数(一)


第三章 三角恒等变形 §3 二倍角的三角函数(一) 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形 运用. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 二倍角公式 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 α的三角函数表示2α的三 角函数的公式 . 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切 公式,你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗? 答案 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α =2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α; 2tan α tan 2α=tan(α+α)= 2 . 1-tan α 答案 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,你能否只用sin α 或cos α表示cos 2α? 答案 cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1; 或cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α. 答案 梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α, (S2α) (3.9) cos 2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α (C2α) (3.10) (3.11) =2cos2α-1, 2tan α tan 2α= 2 . 1-tan α (3.12) (T2α) (3.13) 知识点二 1.公式的逆用 二倍角公式的变形 1 sin 2 α 2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α= 2 , 2tan α cos2α-sin2α= cos 2α ,1-tan2α =tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1+cos 2α= 2cos2α ,1-cos 2α= 2sin2α , 2α 2α 2cos 2 2sin 2 1+cos α= ,1-cos α= . 降幂公式 1+cos 2α 1-cos 2α 2 cos α= ,sin α= . 2 2 2 题型探究 类型一 给角求值 例1 求下列各式的值: (1)cos 72°cos 36°; 2sin 36° cos 36° cos 72° 解 cos 36° cos 72° = 2sin 36° 2sin 72° cos 72° sin 144° 1 = 4sin 36° =4sin 36° =4. 1 2 2 (2)3-3cos 15° ; 解 3 1 2 2 1 1 2 =- 6 . - cos 15° =- (2cos 15° - 1) =- cos 30° 3 3 3 3 解答 1-tan275° (3) tan 75° ; 解 1-tan 75° 1-tan 75° 1 = 2· = 2· =- 2 3. tan 75° 2tan 75° tan 150° 2 2 1 3 (4)sin 10° -cos 10° . 解 cos 10° - 3sin 10° 1 3 -cos 10° = sin 10° sin 10° cos 10° = ?1 2? ? cos ?2 ? 3 ? 10° - 2 sin 10° ? ? sin 10° cos 10° 4?si

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