高中数学北师大版必修四课件:第三章 3 二倍角的三角函数(一)_图文

第三章 三角恒等变形 §3 二倍角的三角函数(一) 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形 运用. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 二倍角公式 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 α的三角函数表示2α的三 角函数的公式 . 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切 公式,你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗? 答案 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α =2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α; 2tan α tan 2α=tan(α+α)= 2 . 1-tan α 答案 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,你能否只用sin α 或cos α表示cos 2α? 答案 cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1; 或cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α. 答案 梳理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α, (S2α) (3.9) cos 2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α (C2α) (3.10) (3.11) =2cos2α-1, 2tan α tan 2α= 2 . 1-tan α (3.12) (T2α) (3.13) 知识点二 1.公式的逆用 二倍角公式的变形 1 sin 2 α 2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α= 2 , 2tan α cos2α-sin2α= cos 2α ,1-tan2α =tan 2α. 2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1+cos 2α= 2cos2α ,1-cos 2α= 2sin2α , 2α 2α 2cos 2 2sin 2 1+cos α= ,1-cos α= . 降幂公式 1+cos 2α 1-cos 2α 2 cos α= ,sin α= . 2 2 2 题型探究 类型一 给角求值 例1 求下列各式的值: (1)cos 72°cos 36°; 2sin 36° cos 36° cos 72° 解 cos 36° cos 72° = 2sin 36° 2sin 72° cos 72° sin 144° 1 = 4sin 36° =4sin 36° =4. 1 2 2 (2)3-3cos 15° ; 解 3 1 2 2 1 1 2 =- 6 . - cos 15° =- (2cos 15° - 1) =- cos 30° 3 3 3 3 解答 1-tan275° (3) tan 75° ; 解 1-tan 75° 1-tan 75° 1 = 2· = 2· =- 2 3. tan 75° 2tan 75° tan 150° 2 2 1 3 (4)sin 10° -cos 10° . 解 cos 10° - 3sin 10° 1 3 -cos 10° = sin 10° sin 10° cos 10° = ?1 2? ? cos ?2 ? 3 ? 10° - 2 sin 10° ? ? sin 10° cos 10° 4?sin 30° cos 10° -cos 30° sin 10° ? 4sin 20° = = sin 20°=4. 2sin 10°cos 10° 解答 反思与感悟 对于给角求值问题,一般有两类: (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关 系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦 公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件, 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1 求下列各式的值: 2π 4π 6π (1)cos 7 cos 7 cos 7 ; 2π 2π 4π 6π 2sin 7 cos 7 cos 7 cos 7 解 原式= 2π 2sin 7 4π 4π 6π 8π 6π sin 7 cos 7 cos 7 sin 7 cos 7 = = 2π 2π 2sin 7 4sin 7 π π 2π sin 7cos 7 sin 7 1 = 2π = 2π=8. 4sin 7 8sin 7 解答 1 3 (2)sin 50° +cos 50° . 解 1 3 + 2 sin 50° ? cos 50° + 3sin 50° 2?2cos 50° 原式= sin 50° cos 50° = 1 cos 50° 2×2sin 50° 2sin 80° 2sin 80° =1 =1 =4. sin 100° sin 80° 2 2 解答 类型二 给值求值 8 1 例2 (1)若sin α-cos α=3 ,则sin 2α= 9 . 解析 (sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α =1-sin ?1? ?2 2α=? ? ? ?sin ?3? ?1? 8 ? ?2 2α=1-?3? =9. ? ? 解析 答案 3 (2)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α等于 4 64 A.25 48 B.25 16 C.1 D.25 2 cos α+4sin αcos α 1+4tan α 2 解析 cos α+2sin 2α= = 2 2 2 . cos α+sin α 1+tan α 3 把 tan α=4代入,得 3 1+4×4 4 64 2 cos α+2sin 2α

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