福建省德化县第三中学高中数学人教版必修二第三章 直线与方程

考点要求: 1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两点的斜率公式. 2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等). 3.直线常与圆锥曲线结合,属中高档题. 4.本讲是解析几何的基础,复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系,会根据已知条件求直线方程. 5.注意熟练地画出图形,抓住图形的特征量,利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果. 知识结构: 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角, 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的取值范围:[0,π). 2.直线的斜率 (1)定义:当 α≠90° 时,一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan_α, 倾斜角是 90° 的直线,其斜率不存在. k ? 2 O ? ? (2)经过两点的直线的斜率公式: y2-y1 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= . x2-x1 3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 方程 y-y 1=k(x-x1) y=kx+b y-y1 x-x1 = (x ≠x ,y ≠y ) y2-y1 x2-x1 1 2 1 2 x y + =1(ab≠0) a b Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于坐标轴的直线 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 4.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1. (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1. y-y1 x-x1 (3)若 x1≠x2,且 y1≠y2 时,方程为 = . y2-y1 x2-x1 5.线段的中点坐标公式 x , ?x=x + 2 若点 P 、P 的坐标分别为(x ,y )、(x ,y ),线段 P P 的中点 M 的坐标为(x,y),则? y +y ?y= 2 , 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. 6.求直线方程的方法: (1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中系数,写出直线方程; (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出 直线方程. 求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论. 在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论. 基础自测 1.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为( 2 A. 3 3 B. 2 2 C.- 3 3 D.- 2 ). ). 2.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° B.60° C.150° D.120° ). D.4x-3y+14=0 3 3.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- .则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 ). C.x+y+3=0 C.4x+3y-14=0 4.过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( A.x-y-3=0 B.x+y-3=0 D.x-y+3=0 5.若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 例题选讲: 1.直线的倾斜角与斜率 例 1:若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( π π? A.? ?6,3? π π? B.? ?6,2? π π? C.? ?3,2? π π? D.? ?3,2? ). 小结:求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正 切函数 y=tan α 的单调性求 k 的范围,数形结合是解析几何中的重要方法. 学生练习 1:直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k< 5 1 B.k>1 或 k< 2 1 C.k> 或 k<1 5 1 D.k> 或 k<-1 2 ). 2.求直线的方程 例 2:求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. 小结: 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时, 直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故 在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况. 学生练习 2 : 1 (1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的 的直线方程. 3 (2)求经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程. 3.直线方程的应用 例 3:已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如右图所示,求△ABO 的面积的最小值 及此时直线 l 的方程. 小结: 求直线方程最常用的方法是待定系数法.若题中 斜式,也可以设截距式.注意在利用基本不等式求最值时,斜率 k 的符号. 学生练习 3: 在本例条件下,求 l 在两轴上的截距之和最小时直线

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