(数学)揭阳一中2013届高一上学期期末考试


揭阳一中 2013 届高一上学期期末考试 文科数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合 A ? x y ? 3 ? x 2 , x ? R , B ? y y ? x 2 ? 1, x ? R ,则 A ? B ? (
A. (? 2,1), ( 2,1)

?

?

?

?



? ? C. ?z | ?1 ? z ? 3?
2

? ? z D. ? | 0 ? z ? 3?
B. z | 1 ? z ? 3 ) B. (??,2]

2.已知函数 y ? A. (??,1]

1? x 的定义域为( 2 x ? 3x ? 2

C . (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

D. (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2
) . D. (4,5) ( )

3.已知 f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ,则在下列区间中, f ( x) ? 0 有实数解的是( A. (-3,-2) B. (-1,0) C. (2,3)

4.已知 a ? 0.5?0.6 , b ? 0.81.2 , c ? log 20.125 ,则它们从小到大为 A. c ? b ? a B. a ? b ? c C. a ? c ? b

D. c ? a ? b )

5.已知直线 a、b、c 及平面 ? ,它们具备下列哪组条件时,有 b // c 成立( A. b ? a且c ? a C. b、c 和 ? 所成的角相等 B. b ? ?且c ? ? D. b // ? 且c // ?

6.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积 为 10 3 ,则 h ? ( )

A.

3 2

B. 3 3

C. 3

D. 5 3 )

7.下列函数中既是偶函数又在 (??,0)上是增函数的是(

1

A.

B.

C.

D. )

( 8.不等式 )
A. a ? ?

1 2

x 2 ?4 a

? 2 3 x ? a 对一切 x 都成立,则 a 的取值范围是(
2

1 9 或a ? 2 2 3 C. a ? ? 或a ? 3 4

B. ? D. ?

1 9 ?a? 2 2

3 ?a?3 4


9.已知函数 f ( x) ? x 2 ? lg ( x ? x 2 ? 1) ,若 f (a) ? M ,则 f (?a) 等于 ( A. 2a ? M
2

B. M ? 2a

2

C. 2M ? a

2

D. a ? 2M
2

?| lg x |,0 ? x ? 10 ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? 1 , 若实数 a、b、c 互不相等, f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? , 且 ?? 2 x ? 6, x ? 10 ? 则 abc 的取值范围是( )
A. ?1,10? B. ? 5,6 ? C. ? 20, 24? D. ?10,12?

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11.已知 2 ? 7 ? 196,则
x y

1 1 ? ? x y

。 _____

12.已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ? 1 ,则 f ( 2 ? 1) =_ x x

13.已知 f ( x) ? ?

?1, x ? 0 ,则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ? 1, x ? 0 ?



14.以等腰 ?ABC 的斜边 AB 上的高 CD 为棱折成一个60° 的二面角,
/ / 使 B 到 B 的位置,已知斜边 AB ? 2 ,则顶点 A 到平面 CB D 的距离是

_____

_ 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 12 分)

B B 已知集合 A ? x log2 ( x ? 2 ? 2 , ? x ( x ? 1 ? m)(x ? 1 ? m) ? 0 , A ? ? 若 ) B
求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?



2

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 x ,且 f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 2 ? 3ax ? 4 x 。 (1)求函数 g (x) 的解析式; (2)求函数 g (x) 在 x ? [?1,1] 上的值域。

17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , M 是 SB 的 中 点 , AB / / CD , BC ? CD , 且

A B ? B C 2 , CD ? SD ? 1,又 SD ? 面 SAB . ?
(1) 证明: CD ? SD ; (2) 证明: CM / / 面 SAD ; (3) 求四棱锥 S ? ABCD 的体积

18.(本小题满分 14 分) 我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每 张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元, 超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开 展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f (x) 元 (15 ? x ? 40) ,在乙家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 g (x) 元 (15 ? x ? 40) ,试求 f (x) 和 g (x) 。

3

(2)问:小张选择哪家比较合算?说明理由。

19(本小题满分 14 分) 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0时,f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 求: (1) f (x) 的解析式。 (2)已知 t ? 0 ,求函数 f (x) 在区间 [t , t ? 1] 上的最小值。

20(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值。

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数. x ?1

4

参考答案

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解(1)由已知 3
a?2

? 18 ,? 3a ? 2 ,………………3 分

? g ( x) ? 3ax ? 4 x ? 2 ? (3a ) x ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 4 x 。………………6 分
x (2)令 t ? 2 ,则 g ( x) ? h(t ) ? ?t ? 2t ? ?(t ? 1) ? 1, t ? [ ,2] ,…………8 分
2 2

1 2

? h(t ) max ? h(1) ? 1,………………9 分
又 h( ) ?

1 2

3 , h(2) ? 0 ,? h(t ) min ? 0 ,………………11 分 4

即函数 g (x) 在 x ? [?1,1] 的上值域为 [0,1] 。………………12 分

5

17、 (本小题满分 14 分)

(3) VS ? ABCD : VS ? ABD ? S?ABCD : S?ABD ? 3: 2 -----------------------------------10 分
2 2 过 D 作 DH ? AB ,交于 H ,由题得 BD ? AD ? 1 ? 2 ? 5 ---------11 分

在 Rt ?DSA, Rt ?DSB 中, SA ? SB ? 所以 VS ? ABD ? VD ? SAB ?

5 ? 12 ? 2 --------------------------12 分

2

1 3 ---------------------------------------13 分 ? DS ? S?ABS ? 3 3

所以 VS ? ABCD ?

3 3 3 ----------------------------------------------------------14 分 ? ? 2 3 2

18(本小题满分 14 分)

6

19(本小题满分 14 分) 解: (1)? f ( x)是奇函数 又 x ? 0时,f(x)=x ? 4 x ? 3
2

? f (?x) ? ? f ( x)??1分

? x ? 0时, x ? 0 f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? ?(? x)2 ? 4(? x) ? 3? ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ?
? x 2 ? 4 x ? 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) ??? 6分 又 f (0)=0 ? f ( x )= ?0 ? 2 ? ? x ? 4 x ? 3 ( x ? 0) ?
(2)?t ? 0

…………4 分

?在[t, t ?1]上f ( x) ? x2 ? 4x ? 3

f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2)2 ?1 开口向上且关于 x=2 对称…………7 分
当t ? 1 ? 2,即0 ? t ? 1时,函数f ( x)在[t,t+1]上单调递减 ?g(t)=f (t ? 1) ? (t ? 1)2 ? 1 ? t 2 ? 2t ??9分
??11分

当t ? 2 ? t ? 1,即1 ? t ? 2时,对称轴在区间内? g(t)=f (2) ? ?1

当t ? 2时,函数f ( x)在[t,t+1]上单调递增 ? g(t)=f (t ) ? (t -2)2 ? 1 ? t 2 -4t ? 3
?t 2 -4t ? 3, t ? 2 ? ? 综上所述,g(t)= ??1, 1? t ? 2 ?2 0 ? t ?1 ?t ? 2t , ?

??13分

…………14 分

20(本小题满分 14 分) 解: (1)由已知条件得

f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.…………………………………………1 分

7

? log a

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1 mx ? 1 1 ? mx ? ?1 即 ?x ?1 x ?1

…………………………………………2 分 即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 . ……………4 分

? m2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1对定义域中的 x 均成立. ? m2 ? 1
此时函数定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) ,关于原点对称。

(3)? 函数 f ( x ) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) , ① 当 n ? a ? 2 ? ?1 时, 0 ? a ? 1 .

? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,
1? n ? ?1 ?log a 要使值域为 (1, ??) ,则 ? n ? 1 (无解) ?a ? 2 ? ?1 ?
② 当时 1 ? n ? a ? 2 ,

…………………………11 分

a ? 3.

? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为减函数,
?n ? 1 ? 要使 f ( x ) 的值域为 (1, ??) , 则 ? a ?1 ?log a a ? 3 ? 1 ?

? a ? 2? 3, n ?1.

…………………………………………14 分

8


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