2020版新一线增分教程高三文科数学一轮复习(课件+课时冲关)第9章 算法框图、统计与统计案例 (3)_图文

高中总复习
人教数学

基础 自主夯实 考点 层级突破

课时 分组冲关

第3节 用样本估计总体

1.常用统计图表

(1)频率分布表的画法:

第一步:求

极差

,决定组数和组距,组距=

极差 组数



第二步: 分组 ,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,

最后一组取闭区间;

第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.

第九章

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(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图. 频率
横轴表示样本数据,纵轴表示 组距 ,每个小矩形的面积表示 样本落在该组内的 频率 .
(3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ,就得到频率分布折线图. ②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时 所分的组数 增加, 组距 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲 线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

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(4)茎叶图的画法: 第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分; 第二步:将各个数据的茎按 大小 次序排成一列; 第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.

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2.样本的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

数字 特征

定义与求法

优点与缺点

众数

一组数据中出现次数最多 的数

通常用于描述出现次数最多的 数,显然它对其他数据信息的忽 视使得无法客观地反映总体特征

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中位数是样本数据所占频率的等

把一组数据按 大小顺序

分线,它不受少数几个极端值的

排列,处在 最中间 位

中位数

影响,这在某些情况下是优点,

置的一个数据(或两个数据

但它对极端值的不敏感有时也会

的平均数)

成为缺点

平均数和每一个数据有关,可以

如果有 n 个数据 x1,x2,…,反映样本数据全体的信息,但平

平均数 xn,那么这 n 个数的平均数 均数受数据中极端值的影响较

-x =1n(x1+x2+…+xn)

大,使平均数在估计总体时可靠

性降低

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(2)标准差、方差

①标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,

s=

1n[?x1--x ?2+?x2--x ?2+…+?xn--x ?2]

②方差:标准差的平方 s2

s2 =

1 n

[(x1



- x

)2



(x2



- x

)2







(xn



- x

)2]

,其中 xi(i=

1,2,3,…,n)是 样本数据 ,n 是 样本容量 ,-x 是 样本平均

数.

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平均数、方差的公式推广 -
(1)若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a, -
mx3+a,…,mxn+a 的平均数是 m x +a. (2)数据 x1,x2,…,xn 的方差为 s2. ①数据 x1+a,x2+a,…,xn+a 的方差也为 s2; ②数据 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a2s2.
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[思考辨析]

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错

误的打“×”.

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中

趋势.(

)

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(2)一组数据的方差越大,说明这组数据越集中.( ) (3)频率分布直方图中,小矩形的面积越大,表示样本数据落在 该区间的频率越高.( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小 到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×

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[小题查验] 1.(教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎 叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5

B.91.5 和 92 D.92 和 92

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解析:A [∵这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96,











91+92 2



91.5









- x



87+89+90+91+8 92+93+94+96=91.5.]

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2.(2017·全国Ⅰ卷)为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地 作试验田.这 n 块地的亩产量(单位:kg)分别为 x1,x2,…,xn,下 面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ()
A.x1,x2,…,xn 的平均数 B.x1,x2,…,xn 的标准差 C.x1,x2,…,xn 的最大值 D.x1,x2,…,xn 的中位数 解析:B [标准差能反映一组数据的稳定程度.故选 B.]

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3.在样本的频率分布直方图中,共有 7 个小长方形,若中间一

个小长方形的面积等于其他 6 个小长方形的面积的和的14,且样本容

量为 80,则中间一组的频数为(

)

A.0.25

B.0.5

C.20

D.16

解析:D [设中间一组的频数为 x, 依题意有8x0=14???1-8x0???,解得 x=16.]

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4.(2019·贵州黔东期末)已知样本数据 3,5,7,4,6,则该样本标准

差为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

解析:B [数据 3,5,7,4,6 的平均数为-x =15×(3+5+7+4+6)=

5,方差为 s2=15×[(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(4-5)2+(6-5)2]=2,

∴标准差为 2.故选 B.]

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5.甲、乙两个班各随机选出 15 名同学进行测验,所得成绩的茎 叶图如图.从图中看 ________ 班的平均成绩较高.

解析:结合茎叶图中成绩的情况可知,乙班平均成绩较高. 答案:乙
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考点一 频率分布直方图(师生共研) [典例] (2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日 用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据,得到 频数分布表如下:
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 [0, [0.1, [0.2, [0.3, [0.4, [0.5,[0.6, 水量 0.1) 0.2) 0.3) 0.4) 0.5) 0.6) 0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5

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使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表

日用 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
水量

频数

1

5

13

10

16

5

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(1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分 布直方图;

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(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35 m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

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[解] (1)如图所示.

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(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于

0.35 m3 的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此

该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 m3 的概率的估计值为 0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为

x

1



1 50

×(0.05×1



0.15×3



0.25×2



0.35×4



0.45×9



0.55×26+0.65×5)=0.48.

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该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 x 2=510×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+ 0.55×5)=0.35. 估 计 使 用 节 水 龙 头 后 , 一 年 可 节 省 水 (0.48 - 0.35)×365 = 47.45(m3).

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频率、频数、样本容量的计算方法

频率 (1)组距×组距=频率.

频数

频数

(2)样本容量=频率,频率=样本容量,样本容量×频率=频数.

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提醒:绘制频率分布直方图时的 3 个注意点 (1)制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为 1 来 检验该表是否正确; (2)频率分布直方图的纵坐标是频 组率 距,而不是频率. (3)注意中值估算法.

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[跟踪训练] (1)统计新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示(每组含右 端点,不含左端点),则新生婴儿体重在(2 700,3 000]克内的频率为 () A.0.001 B.0.1 C.0.2 D.0.3

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(2)(2018·琼州模拟)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单 位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范 围 是 [17.5,30] , 样 本 数 据 分 组 为 [17.5,20) , [20,22.5) , [22.5,25) , [25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间 不少于 22.5 小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140

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解析:(1)D (2)D [(1)每组的频率即为相应小长方形的面积, 300×0.001=0.3.
(2)由频率分布直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率 为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,则每周自习时间不少于 22.5 小时的 人数为 0.7×200=140.故选 D.]

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考点二 茎叶图(师生共研) [典例] 下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩:

根据茎叶图,得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论,其中 错误的一项是( )
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A.15 名女生成绩的平均分为 78 B.17 名男生成绩的平均分为 77 C.女生成绩和男生成绩的中位数分别为 82,80 D.男生中的高分段和低分段均比女生多,相比较男生两极分化 比较严重

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[解析] C [15 名女生成绩的平均分为115×(90+93+80+80+ 82+82+83+83+85+70+71+73+75+66+57)=78,A 正确;17 名男生成绩的平均分为117×(93+93+96+80+82+83+86+86+88 +71+74+75+62+62+68+53+57)=77,故 B 正确;观察茎叶图, 对男生、女生成绩进行比较,可知男生两极分化比较严重,D 正确; 根据女生和男生成绩数据分析可得,两组数据的中位数均为 80,C 错误.]

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茎叶图的绘制及应用 (1)一般制作茎叶图的方法是:将所有两位数的十位数字作为 “茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大 顺序由上到下列出. (2)估计数字特征,给定两组数据的茎叶图,“重心”下移者平 均数较大,数据集中者方差较小.
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[跟踪训练] (2019·芜湖模拟)某校开展“爱我家乡”演讲比赛,9 位评委给小 明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最 低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字在茎 叶图中的却无法看清,若记分员计算无误,则数字 x= _________ .

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解析:由题意知去掉一个最低分 88, 若最高分为 94 时,去掉最高分 94, 余下的 7 个分数平均值是 91, 即17×(89+89+92+93+90+x+91)=91, 解得 x=1; 若最高分为(90+x)分,去掉最高分 90+x, 则余下的 7 个分数平均值是: 17×(89+89+92+93+91+94)≠91,不满足题意. 答案:1

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考点三 样本的数字特征(多维探究)
数据处理已成为近几年高考的一大亮点和热点.它与其他知识融 合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.

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[命题角度 1] 样本的数字特征与直方图交汇 1.某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人 数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生,记录他们 的分数,将数据分成 7 组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得 到如图频率分布直方图:

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(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的 概率;
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,试估计总体中分数在 区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小 于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

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解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率 为(0.02+0.04)×10=0.6,
所以样本中分数小于 70 的频率为 1-0.6=0.4. 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概 率估计为 0.4.

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(2)根据题意,样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为 100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为 400×1500=20.

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(3)由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02+ 0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60×12=30. 所以样本中的男生人数为 30×2=60,女生人数为 100-60=40, 男生和女生人数的比例为 60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为 3∶2.

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[命题角度 2] 样本的数字特征与茎叶图交汇 2.(2019·大同模拟)央视科教频道的以诗词知识竞赛为主的《中 国诗词大会》火爆荧屏,如图所示的茎叶图是两位选手在个人追逐赛 中的比赛得分,则下列说法正确的是( )

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A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数 C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的平均数等于乙的中位数 [思路引导] 分别求出甲、乙的中位数、平均数与方差.

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解析:C [由茎叶图,知 -x 甲=19×(59+45+32+38+24+26+11+12+14)=29, -x 乙=19×(51+43+30+34+20+25+27+28+12)=30, s2甲=19×[302+162+32+92+(-5)2+(-3)2+(-18)2+(-17)2+ (-15)2]≈235.3,

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s

2乙=

1 9

×[212

+132



02+42

+(-

10)2+

(-

5)2+

(

-3)2

+(

-2)2+

(-18)2]≈120.9,

所以甲的平均数小于乙的平均数,甲的方差大于乙的方差.

因为甲的中位数为 26,乙的中位数为 28,所以甲的中位数小于

乙的中位数.故选 C.]

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[命题角度 3] 样本的数字特征与优化决策问题 3.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每 隔 30 min 抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99; 乙:110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种? (2)将这两组数据用茎叶图表示; (3)将两组数据比较,说明哪个车间的产品较稳定.

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解:(1)因为间隔时间相同,所以是系统抽样. (2)茎叶图如下:

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(3)甲车间: 平均值:-x 1=17(102+101+99+98+103+98+99)=100, 方差:s21=17[(102-100)2+(101-100)2+…+(99-100)2]=274. 乙车间: 平均值:-x 2=17(110+115+90+85+75+115+110)=100, 方差:s22=17[(110-100)2+(115-100)2+…+(110-100)2]=16700. ∵-x 1=-x 2,s21<s22,∴甲车间的产品较稳定.

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利用“双图”“五数”估计总体策略 一是会读图 频率分布直方图中: ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数; ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的; ③平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中 每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
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二是会用公式 会利用平均数与方差公式,求一组数据的平均数与方差
三是明确平均数与方差的实际意义 平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描
述,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波 动大小.方差是标准差的平方.

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课时冲关(六十)

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