2013-2014山东省临沂市高一下学期期末考试数学试卷模拟5


2013—2014 学年临沂市高一下学期期末考试 高一数学试题(模拟五)
第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、选择题: 本大 题共 10 个小题, 每小题 5 分, 共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的. 1.甲乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲乙两人的平均 成绩分别是 x甲,x乙 , 则下列正确的是( ) A. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 稳定 C. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 稳定 2.某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 B. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩 D. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩

甲 8 7 2 7 8



6 8 8 8 2 9 1 0

4 的样本,已知座位号为 6 号,32 号,45 号的同学都在样本中,那么样本中还有一位 同学的座位号是 A. 19 B. 16 C. 24 D. 36 3. 若圆(x-3)2+ (y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的范围是( ) A. (4,6) B.[4,6] C.[4,6] D. (4,6] 4 、设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向 右平移

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合, 3
1 3

则 ? 的最小值等于 A、 B、 3 C、 6 D、 9

5、 如图所示算法程序框图运行时, 输入 a=tan315°,

b=sin315°, c=cos 315°, 则输出结果为(
A. 2 2 B.- 2 2 C.-1 D.1

)

6. 已知 a ? b ? 0 | a |? 2,| b |? 3 且 (3a ? 2b ) ? (?a ? b ) 则 ? 的值是( A. 7. 若



3 2

B. ?

3 2

C. ?

3 2

D. 1 )

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
7 2

A. ?

B. ?

1 2

C.

1 2


D.

7 2

8.函数 y ? cos x tan x ( 0 ? x ? ? 且 x ?

?
2

)的图象为(

9.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则 圆 C 的方程为 A. C.

x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0

B. D.

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

10.定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 ? ?3, ?2? 上是减函数,又

? , ? 是锐角三角形的两个内角, 则 (
A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? )

)

B. f (cos ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (sin ? )

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、 填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分;共 25 分. 将 答案填在题中横线上. 11. 右图程序框图的运行结果是 12. ABCD 为长方形, AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长 方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的 概率为 13.已知下列命题

? 14.已知角 ? 的终边在 y ? ?2 x ( x ? 0) 上,则 sin 2(? ? ) 的值为____________. 4
15..在下列结论中: ①函数 y ? sin(k? ? x) (k∈Z)为奇函数; ②函数 y ? tan( 2 x ? ③函数 y ? cos( 2 x ?

?

2 )的图象的一条对称轴为 x ? ? ? ; 3 3 1 ④若 tan( ? ? x) ? 2, 则 cos 2 x ? . 5 其中正确结论的序号为 (把所有正确结论的序号都 填 上). .

?

)的图象关于点 ( ,0) 对称; 6 12

?

三、解答 题:本大 题共 6 个小题,共 75 分.

16、 (本小题满分 10 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学 生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50),[50, 60),…,[90, 100] 后得到 如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(I)求分数在 [70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次 考试的平均分; (Ⅲ) 根据频率分布直方图估计这次高一年级期中考试的学生成绩的中位数 (保留 整数)。 17. (本小题满分 10 分)已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直 线 OP 上一点, O 是坐标原点 ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。 18. (本小题满分 8 分)已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球 6 个,其中红球 2 个、 黑球 3 个、白球 1 个. (1)从中任取 1 个球, 求取得红球或黑球的概率; (2)列出一次任取 2 个球的所有基本事件; (3)从中取 2 个球,求至少有一个红球的概率.

19.(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? >0, a ? R ), 且 f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为

? . 6

(1)求 f ( x) 的最小正周期; ? ? 5? ? (2)如果 f ( x) 在区间 ?? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. ? 3 6 ?

20.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的半径为 3 , 圆心 C 在直线 2 x ? y ? 0 上 , 且在 x 轴的下方 , x 轴被圆 C 截 得的弦长为 2 5 . (Ⅰ)求圆 C 的 方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦 AB ,以 AB 为直径的圆过原 点?若存在求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21.已 知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R.
4

?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2) 函数 f ( x) 的图像由函数 y ? sin x 的图像经过 怎样的变换得到? (写出变换过程) (3)在 ?ABC 中,若 f (C) ? 3, 2sin B ? cos( A ? C) ? cos( A ? C) ,求 tan A 的值 .

模拟五参考答案 一、选择题。 题号 答案 11、120 14、 ?
3 5

1 C

2 A

3 A 12、

4 C
3? 4

5 C

6 A

7 C

8 C

9 D

10 A

二、填空题。 13、①③

15. ①③④

三解答题 16、解: (Ⅰ)1-(0.05+0.1+0.15+0.15+0.25) = 0.30 ……………………2 分 补全直方图略 ……………………………………………………4 分 (Ⅱ)45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71 ……8 分 (Ⅲ)73 17. ( 1 )设 M ( x, y) ,则 OM ? ( x, y) ,由题意可知 OM // OP
x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) ,

又 OP ? (2,1) 。所以

则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 2 , 当 y ? 2 时, MA ? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。 (2)因为 cos ?AMB ?
MA ? MB | MA || MB | ? (?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2 ?? 4 17 。 17

18. (1)从 6 只球中任取 1 球得 红球有 2 种取法,得黑球有 3 种取法,得红球或黑球 的共有 2+3=5 种不同取法,任取一球有 6 种取法,所以任取 1 球得红球或黑球的概率 得P 1 ?

5 . 6

(2)将红球编号为红 1,红 2,黑球编号 为黑 1,黑 2,黑 3,则一次任取 2 个球的所有基 本事件为: 红1红2 红1 黑 1 红1黑2 红1黑3 红1白

红2白 红2黑1 红2黑2 红2黑3 黑1黑2 黑1黑3 黑1白 黑2黑3 黑2白 黑3白 (3)由(2)知从 6 只球中任取两球一共有 15 种取法,其中至少有一个红球的取法共 有 9 种,所以其中至少有一个红球概率为 P 2 ? 19.解: (1) f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a =

9 3 ? . 15 5

? 3 3 1 3 ?a, cos 2?x ? sin 2?x ? ? a = sin(2?x ? ) ? 3 2 2 2 2
? ? ?
2

∵ f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为
? 2? ? 6 3 所以 T ? 2? ? ?

? , 6

,? ? ?

1 ; 2

(2)由(1)的 f ( x) ? sin(x ?

3 ?a, 3 2 ? ? 7? ? ? ? 5? ? ? x ? ?? , ? ,? x ? ? ?0, ? , 3 ? 6 ? ? 3 6 ? ? 7? ? 1 ∴当 x ? ? 时, sin( x ? ) 取 最小值 ? , 3 6 3 2 1 3 ? ? 5? ? ?a, ∴ f ( x) 在区间 ?? , ? 的最小值为 ? ? 2 2 ? 3 6 ? )?
1 3 ?? ? ? a ? 3 ,? a ? 2 2 3 ?1 2

?

20.(本小题满分 13 分) 解 : (Ⅰ)设圆心为 (a, ?2a) a ? 0

? MN ? 由勾股定理可得 r 2 ? d 2 ? ? ? (其中 d 是弦心距,MN 是截得的弦长), ? 2 ?
即: 9 ? 5 ? ?2a ? a ? ?1 .又 a > 0,则 a =1,圆心(1,-2). 圆 C 的标准方程是: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 . ………………………………………4 分 (Ⅱ)方法一:利用圆中的勾股定理(半径,半弦长,弦心距)解决问题.
2

2

设以 AB 为直径的圆 M 的圆心为 M(a,b), l 的斜率为 1.在圆 C 中有 kMC ? ?1 . 由 C(1,-2)得
b?2 ? ?1 即 b=-a-1.(*) …………………………………………8 分 a ?1

以 AB 为直径的圆过原点.OM=AM=BM= a 2 ? b2 由 AM 2 ? MC 2 ? AC 2 得 a 2 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? 9 把(*)式代入上式,得 2a 2 ? a ? 3 ? 0 从而 a ? ?1或a ?
3 ? a? ? a ? ? 1 ? ? 2 或? 故? ?b ? 0 ?b ? ? 5 ? ? 2
3 ,……………………11 分 2

又(a,b)在直线 l :x-y+m=0 上,故 m=b-a ? m ? 1或m ? ?4 , ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 .……………………………13 分 方法二:利用韦达定理解决问题 l 的斜率为 1,可设 l : y ? x ? b ,交点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,…………………5 分 圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 故 x2 ? ( x ? b)2 ? 2x ? 4( x ? b) ? 4 ? 0 即2x2 ? (2 ? 2b) x ? b2 ? 4b ? 4 ? 0 ① ……………………………………7 分 ? x1 ? x2 ? ?(b ? 1) ? 韦达定理可得 ? b2 ? 4b ? 4 (★)…………………………………9 分 ? x1 x2 ? ? 2 y y 以 AB 为直径的圆过原点.则 1 2 ? ?1 ,即 : x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , …………10 分 x1 x2 故 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 , 把(★)式代入得 b2 ? 4b ? 4 ? b(b ? 1) ? b2 ? 0

即b2 ? 3b ? 4 ? 0 ,∴ b ? 1 或 b ? ?4 .……………………………………………12 分 经检验: 当b ? 1或b ? ?4时, 均能使①式中的判别式大于 0 成立, 所以 b ? 1 或 b ? ?4 都是方程的解. ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 .………………………………13 分
21. (1) f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x ? 1
4

?

= 2sin(2 x ? ) 3 (2)略

?

所以 T ? ? ,单增区间 为[ k? ?

5? ? , k? ? ], k ? Z 12 12

(3) 由 f (C) ? 3 可得 C ?

?
6



2sin B ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) 即为: 2sin( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

展开化简得: 2sin A cos C ? 2 cos A sin C ? 2sin A sin C 代入 C 角 化简得 tan A ? ?
3 ?1 2


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