北京2013海淀高三一模数学文科试题及答案


海淀区高三年级 2012-2013 学年第二学期期中练习 数 学 (文科) 2013.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
2 1. 集合 A ? {x ? N | x ? 6}, B ? {x ? N | x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {1,2}

B. {3,4,5}

C. {4,5,6} D. {3,4,5,6}

2.等差数列 {an } 中, a2 ? 3, a3 ? a4 ? 9, 则 a1a6 的值为 A. 14 B. 18 C. 21 D.27

开始

输入 x

3. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为

x ? x?2

1 B. 1 C. 2 2 4. 已知 a ? 0 ,下列函数中,在区间 (0, a ) 上一定是减函数的是
A. A. f ( x ) ? ax ? b C. f ( x ) ? a
x 2 B. f ( x) ? x ? 2ax ? 1

D. ?1

x?0




y ? 2x
输出 y

结束

D. f ( x ) ? log a x

? x ? 1, ? 5. 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. 0 B. 1 C. 2 D.3

6. 命题 p : ? ? ? R , sin(π ? ? ) ? cos ? ; 则下面结论正确的是

命题 q : ?m ? 0, 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2 . m2 m2

A. p 是假命题 B. ?q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题 7.已知曲线 f ( x ) ? ln x 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 (0, ?1) ,则 x0 的值为 A.

1 e

B. 1

C. e

D. 10

2 8. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当 ?FPM 为等边三角形时,

其面积为 A. 2 3 B. 4 C. 6 D. 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在复平面上, 若复数 1+bi b ? R ) ( 对应的点恰好在实轴上, b =_______. 则 10.若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______.
高三数学(文科)试题第 1 页(共 7 页)
2 4 俯视图 4 主视图 2 4 2 2 侧视图

11.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______. 12.在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ?

1 ,则 c ? ______. 4

?2 x ? a, x ? 0, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 有三个不同的零点,则实数 a 的取 ? x ? ax ? a, x ? 0 ?
值范围是_____. 14.已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ? R ,定义集合:

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} . 设 M t , mt 分别表示集合 At
中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______; (2)若函数 f ( x) ? sin x ,则 h (t ) 的最小正周期为______.

π 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 16. (本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科 目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与 逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平 均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取 两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

π 3

π π 6 3

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级
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等级

17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?CAD ? 30? , PA ? AB ? 4 ,点 N 在
P

AC 与 BD 线 段 PB

PN 1 ? . NB 3 (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行, 由.
上,且
B

N

A D M C

请说明理

18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ?

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 已知圆 M : x ? 2)2 ? y 2 ? ( (I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点(其中点 G 在线段 AB 上) ,且 AG ? BH ,求 k 的值.

x2 y2 2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) ( 的右顶点为圆 M 的圆心, 离心率为 . a b 2 3

20. (本小题满分 13 分) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点,其中 x A , y A , xB , yB ? Z .令 ?x ? xB ? x A ,?y ? yB ? y A , 若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点”,记作: B ? ? ( A) . (Ⅰ)请问:点 (0,0) 的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说 明理由; (Ⅱ)已知点 H (9,3), L(5,3) ,若点 M 满足 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) ,求点 M 的坐标; (Ⅲ)已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 ? Z, y0 ? Z) 为一个定点,点列 {Pi } 满足: Pi ? ? ( Pi ?1 ) , 其中 i ? 1,2,3,..., n ,求 P0 Pn 的 最小值.

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海淀区高三年级第二学期期中练习数 参考答案
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B

学 (文)2013.4

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分)

?
9. 0;10.

1 2 ;11.16; 12.4;13. a ? 4 ;14.2,2;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( ) ? 2 ? ( 3 ?

π 3

3 1 2 ? ) ? 1 ??????2 分 2 2

因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2

? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x) ??????4 分
? 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x ??????6 分
2π 2π π ? ? π ??????9 分 = 2sin(2 x ? ) ??????8 分所以 f ( x ) 的周期为 T ? |? | 2 6
(II)当 x ? [ ? 所以当 x ? ? 当x ?

?
6

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 3 3 6 6 6

时,函数取得最小值 f ( ?

?

?
6

时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分

?

6

) ? ?1 ??????11 分

6

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人??????2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ??????4 分
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 ????8 分 40
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,
高三数学(文科)试题第 4 页(共 7 页)

所以还有 2 人只有一个科目得分为 A??????9 分 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随 机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本事件 ??11 分
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个, 则 P( B ) ?

1 . ??????13 分 6

17.解: (I)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ??????1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD ??????2 分 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC ??????4 分 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC ??????5 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 ??????6 分 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CAD ? 30? ,所以, DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1??????8 分 3

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD ??????9 分 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN / / 平面 PDC ??????11 分 (Ⅲ)假设直线 l / / CD ,因为 l ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB ,所以 CD / / 平面 PAB ??12 分 又 CD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,所以 CD / / AB ?????13 分 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾所以直线 l 与直线 CD 不平行??????14 分 18.解: (I)因为 f '( x) ? x 2 ? k ??????2 分 当 k ? 4 时, f '( x) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)
??????4 分

( ??, ?2)

?2
0 极大值

( ?2, 2)

2
0 极小值

(2, ??)

?
?

?
?

?
?

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??)
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单调递减区间是 ( ?2, 2) ??????6 分 (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点??????7 分 因为 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k 当 k ? 0 时, g ( x) ? x3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 ??????8 分 当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点??????9 分 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? k 或 x2 ? ? k ?????10 分 所以 g '( x), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
g '( x) g ( x)

(??, ? k )

? k
0 极大值

(? k , k )
?
?

k
0 极小值

( k , ??)

?
?

?
?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g (? k ) ? 0 ??????11 分
2 9 k k ? k ? 0 ,解得 0 ? k ? ??????12 分 3 4 9 综上所述, k 的取值范围是 k ? ??????13 分 4
即 g (? k ) ? 19.解:(I)设椭圆的焦距为 2c ,因为 a ? 2 ,

c 2 ,所以 c ? 1 ??????2 分 ? a 2

所以 b ? 1

所以椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ??????4 分 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) , 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ? 所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 , 所以 AB ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ??????6 分 1 ? 2k 2

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ??????8 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k2
??????10 分

点 M ( 2,0 )到直线 l 的距离 d ?

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则 GH ? 2

7 2k 2 ??????11 分 ? 3 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 因为 AG ? BH ,所以 AB ? GH ??????12 分

8(1 ? k 2 ) 7 2k 2 所以 ? 4( ? ) 1 ? 2k 2 3 1? k2
解得 k 2 ? 1 ,即 k ? ?1 ??????14 分 20.解: (I)因为 ?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数)

H

B G A

故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 (0, 0) 的“相关点”有 8 个??????1 分又因为

(?x)2 ? (?y)2 ? 5 ,即 ( x1 ? 0)2 ? ( y1 ? 0)2 ? 5
所以这些可能值对应的点在以 (0, 0) 为圆心, 5 为半径的圆上??????3 分 (II)设 M (xM ,yM ) ,因为 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) 所以有 | xM ? 9 | ? | yM ? 3|? 3 , | xM ? 5 | ? | yM ? 3|? 3 ??????5 分 所以 | xM ? 9 |?| xM ? 5 | ,所以 xM ? 7, yM ? 2 或 yM ? 4
*

所以 M (7,2) 或 M (7,4) ??????7 分

(III)当 n ? 2k , k ? N 时, | P P | 的最小值为 0??????8 分 0 n 当 n =1 时,可知 | P P | 的最小值为 5 ??????9 分 0 n 当 n =3 时,对于点 P ,按照下面的方法选择“相关点” ,可得 P (x0 ,y0 +1) : 3

P0 (x0 ,y0 ) ? P (x0 +2,y0 +1) ? P2 (x0 +1,y0 +3) ? P (x0 ,y0 +1) 1 3
故 | P P | 的最小值为 1 ??????11 分 0 n 当 n ? 2k ? 3, k ? 1, k ? N , 时,对于点 P ,经过 2k 次变换回到初始点 P (x0 ,y0 ) ,然后经过 3 次变换回到 0
*

Pn (x0 ,y0 +1) ,故 | P0 Pn | 的最小值为 1
综上,当 n =1 时, | P P | 的最小值为 5 0 n 当 n ? 2k , k ? N 时, | P P | 的最小值为 0 0 n
*

当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, | P P | 的最小值为 1 0 n
*

??????13 分

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