河北省定州中学2015-2016学年高二数学上学期第一次调研考试试题


河北定州中学 2015-2016 学年度第一学期第一次调研考试 高二数学试题
说明:本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共三个大题,24 个小题。满分 150 分,时 间 120 分钟。Ⅰ卷答案涂在答题卡上或答在第Ⅱ卷前相应的表格中。交卷时只收第Ⅱ卷。 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式

?? b

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? . ? ? y ? bx , a

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 。在下列各题的四个选项中,只有 一个选项是符合要求的。 1、某种彩票中奖概率为 0.2%,有人买了 1000 张彩票,下列说法正确的是( ) A.此人不可能中奖 C.每张彩票中奖的可能性都相等 B.此人一定有 2 张彩票中奖 D.最后买的几张彩票中奖的可能性大些

2、某单位有青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单位职工的 健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 .若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 ( ) A.7 B.15 C.25 D.35 3、已知 x , y 之间的一组数据:

x y

2 1

4 5

6 3

8 7 )

?x ? a ? ?b ? 必过点 ( 则 y 与 x 的线性回归方程 y

A.(5,4) B.(16,20) C.(4,5) D.(20,16) 4、若命题“ ? p”与命题“p ? q”都是真 命题,那么( ) A.命题 p 与命题 q 的真值相同 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 不一定是真命题 5、若右面的程序框图输出 的 S 是 126 ,则条件①可为 ( ) A. n ? 5 ? B. n ? 6 ? C. n ? 7 ?
2

D. n ? 8 ? )

6、 “ 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 ”的一个必要不充分条件是( A. ?

1 1 1 ? x?3 B. ? ? x ? 4 C. ? 3 ? x ? D. 1 ? x ? 3 2 2 2 x ?1 2 7、已知命题 p : 2 ? m 对任意的 x 恒成立; q : f ( x) ? ? x ? 2mx ? 1 在 (0,??) 为减函 数,则 p 成立是 q 成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不 充分也不必要条件 8、在正三棱锥 S ? ABC 内,任取一点 P ,使得 V P ? ABC ?

1 VS ? ABC 的概率是( 2



1

2 2 A, ? B sin A sin B? ? ABC ? y? ?1, 11 x y ? ??

A.

7 8

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

9、当 5 个整数从小到大排列时,其中中位数是 4,如果这个数集的唯一众数是 6,则这 5 个整数可能的和的最大值是( ) A.21 B.22 C.23 D.24 10、羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、 美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草, 则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( ) A.

? ??

B.

? ?


C.

? ?

D.

? ?
D. 111111 ( 2)

11、下列各数中最小的数是( A. 85(9) B. 210(6) 12、已知函数 f ( x) ? 4 sin (
2

C. 1000( 4)

?
4

? x) ? 2 3 cos 2 x ? 1,且给定条件 p :

?
4

?x?

?
2


;若又

给条件 q : f ( x) ? m ? 2 ,且 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围是( A. (2 3 ? 1,5) B. (3,5) C. (??,5) D. [3,4]

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 13、如图所示,边长为 3 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中 随机的撒一粒豆子, 它落在阴影区域内的概率为

1 , 则阴影区域的面积为_______. 3

2 14、若“ x ? m ? 1或 x ? m ? 1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件,则

实数 m 的取值范围是 . 15、用更相减损术求 295 和 85 的最大公约数时,需要做减法的次数是 16、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,和为 5 的概率是

. .

17、已知命题 p :函数 f ( x) ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 在区间 (0,??) 上单调递增,命题 q :
2 函数 f ( x) ? ax ? ax ? 1 对于任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0 恒成立。如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 .

18、给出下 列结论:①若实数 ②在 中, “

,则 满足

的概率为

? ; 4

”的充要条件; ”是“ ③命题“ A 1, A 2 是互斥事件”是命题“ A 1, A 2 是对立事件”的必要不充分条件; ④若 a , b 是实数,则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ a ? b ? 2 且 ab ? 1 ”的充分不必要条件; ⑤若 x ? y ? 2 ,则 x ? 1 或 y ? 1 . 其中正确结论的序号是 _________________. 三.解答题(共 60 分) 19、 (本题满分 10 分) 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布) ,求: (1)平局的概率; (2)甲赢的概率. 20、 (本题满分 10 分)

2

设 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? (1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条 件,求实数 a 的取值范围.

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? . 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.

21、 (本题满分10分) 有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从 A、B 二人在培训期间参加的若干 次预赛成绩中随机抽取 8 次.用茎叶图表示这两组数据如下:

(1)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位工 人参加合适?请说明理由; (2)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛, 求 A、 B 二人中至少有一人参加技能竞 赛的概率.

22、(本题满分 10 分) 某校从参加高二年级期中考试的学生中抽出 60 名学生,将其物理成绩(均为整数)分 成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后画出如下频率分布直方图.观察图形的信 息,回答下 列问题:

频率 组距

0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

(Ⅰ)估计这次考试的众数 m 与中位数 n (结果保留一位小数) ; (Ⅱ) 估计这次考试的及 格率(60 分及以上为及格)和平均分.
3

23、 (本题满分 10 分) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2(a ? 2) x ? b 2 ? 16 ? 0 . (1)若 a 、 b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数,求方程有两个正 实数根的概率; (2)若 a ∈[2,6], b ∈[0,4],求一元二次方程没有实数根的概率.

24、 (本题满分 10 分) 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 观 察 程 序 框 图 , 若

k ? 5, k ? 10时,分别有 S ?
a

(1)试求数列 ?an ? 的通项;

5 10 和S ? 11 21

(2)令 bn ? 2 n ,求 b1 ? b2 ? ? ? b2015 的值。

4

1-5 CBABB 13、3

定州中学 2015—2016 学年度第一学期第一次调研考试 高二数学试题参考答案 6-10BCAAC 11-12 DB 15、12 16、

14、 [0,2]

1 3

17、 (0,1) ? [4,??)

18、 (2) (3) ( 4) (5)

19 、 解: ( 1) 平局是甲、 乙两人出拳结果一样, 共有 3 种结果, 故平局的概率为 5分

3 1 ? .?? 9 3

3 1 ? .??????10 分 9 3 20、由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .
(2) 甲赢有 3 种结果,所以甲赢的概率
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ? ?x ? 2x ? 8 ? 0 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (Ⅱ) ?p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ?p ? ? q ,且 ? q ? ? ?p ,

设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 21、解: (Ⅰ)派 B 参加比较合适.理由如下:

xB =(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)/8=85, x A =(70×1+80×4+90×3+5+3+5+3+5)/8=85,??????2 分
S B=[ (78-85) +(79-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(90-85) +(92-85) + 2 (95-85) ]/8=35.5 2 2 2 2 2 2 2 2 S A=[ (75-85) +(80-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(90-85) +(92-85) + 2 (95-85) ]/8=41??????4 分 ∵ x A = xB ,S B>S A,∴B 的成绩较稳定,派 B 参加比较合适. ??????5 分 (Ⅱ)任派两个(A,B) , ( A, C ) , ( A , D) , ( A, E ) , (B,C) , (B,D) , ( B , E) , (C,D) , (C,E) , (D,E)共 10 种情况;A、B 两人都不参加(C,D) , (C,E) , (D,E)有 3 种. 至少有一个参加的对立事件是两个都不参加,所以 P=12 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 7 = .??????10 分 10 10

22、 【答案】解: (Ⅰ)众数是最高小矩形中点的横坐标,所以众数为 m=75(分) ;???? 2分 前三个小矩形面积为 0.01?10 ? 0.015 ?10 ? 0.015 ?10 ? 0.4 , ∵中位数要平分直方图的面积,∴ n ? 70 ?

0.5 ? 0.4 ? 73.3 ??????4 分 0.03

(Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 % ??????7 分
5

利用组中值估算抽样学生的平均分

45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6
= 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分. ??????10 分 23、解: (1)基本事件(a,b)共有 36 个,且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个正实数根等 价于 a-2>0,16- b2 >0,△≥0,即 a>2,-4<b<4, (a ? 2) 2 ? b 2 ? 16 设”一元二次方程有两个正实数根 “为事件 A, 则事件 A 所包含的基本事件为 (6,1) , (6,2) , (6,3) , (5,3)共 4 个,故所求概率为 P(A)=

4 1 = .??????5 分 36 9 1 2 × ? × 4 =4 ? , 4

(2)设“一元二次方程无实数根”为事件 B,则构成事件 B 的区域为 B={(a,b)∣2≤a≤6,0≤b≤4, (a ? 2) 2 ? b 2 ? 16},其面积为 S(B)= 故所求概率为 P(B)= 24、解:由框图可知

4? ? = ??????10 分 16 4

S?

1 1 1 ? ? .....? .......... .......... .......... .......... .......... ......2分 a1 a 2 a 2 a3 a k a k ?1

? {a n }是等差数列,设公差为 d,则有 1 1 1 1 ? ( ? )......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .3分 a k a k ?1 d a k a k ?1

?S ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? .... ? ? ) d a1 a 2 a 2 a3 a k a k ?1

1 1 1 ( ? )......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....4分 d a1 a k ?1
5 10 ; k ? 10时, S ? 11 21

(1)由题意可知,k=5 时, S ?

1 5 ?1 1 ? d ( a ? a ) ? 11 ? 1 6 ?? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....5分 ? 1 ( 1 ? 1 ) ? 10 ? 21 ? d a1 a11 ?a ? 1 ?a ? ?1 问得? 1 或? 1 (舍去)......... .......... .......... .......... .......... .8分 d ? 2 d ? ? 2 ? ? 故a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1.......... .......... .......... .......... .......9分
(3)由(2)可得: bn ? 2
an

? 2 2n?1

6

? b1 ? b2 ? ... ? bm ? 21 ? 2 3 ? ... ? 2 2 m ?1.......... .......... .......... ..10分 2(1 ? 4 m ) 1? 4 2 ? (4 m ? 1)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..12分 3 ?

7


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