随机变量及其分布教学设计(8份打包) 人教课标版1(优秀教案)

2.1.2 离散型随机变量的分布列
上课时间: 班级: 教学内容分析:
教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律,即所有随机事件发生的概率,那么如 何通过随机变量来刻画这些规律?教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法,并从中概括出 离散型随机变量分布列的概念。 学情分析: 学生已学习随机变量,具有一定的知识基础 教学目标 : 知识与技能:会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布; 过程与方法:认识概率分布对于刻画随机现象的重要性; 情感、态度与价值观:认识概率分布对于刻画随机现象的重要 教学重点与难点
重点:离散型随机变量的分布列的概念; 难点:求简单的离散型随机变量的分布列; 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学方法: 分析法,讨论法,归纳法 教学过程: 一、复习引入: .随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变 量常用希腊字母ξ 、η 等表示 . 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做 离散型随机变量 .连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做 连续型随机变量 .离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散 型随 机变 量与连 续型 随机 变量 都是 用 变 量 表 示 随 机 试 验 的 结 果 ;但 是 离 散 型 随 机 变 量 的 结 果 可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出 ,而 连 续 性随机变量的结果不可以一一列出
若? 是随机变量,? ? a? ? b, a,b 是常数,则? 也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连

续型) 请同学们阅读课本的内容,说明什么是随机变量的分布列?
二、讲解新课:
. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 ,,…,,…,

ξ 取每一个值(,,…)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表

ξ









为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列

. 分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P(A) ? 1 ,并且不可能事件的概率为, 必然事件的概率为.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:
⑴≥,=,,…;

⑵…. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和,即

P(? ? xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk?1 ) ? ? ? ?

.两点分布列: 例、在掷一枚图钉的随机试验中,令

X=

?1,针尖向上; ??0,针尖向下.

如果针尖向上的概率为 p ,试写出随机变量 的分布列.

解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1? p ) .于是,随机变量 的分布列是

ξ

1? p

p

像上面这样的分布列称为两点分布列. 两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性 别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随机变量的分布列为两点分布列,就称服
从两点分布 ( 一 ),而称 p ( )为成功概率
. 超几何分布列: 例 .在含有 件次品的 件产品中,任取 件,试求:
()取到的次品数 的分布列; ()至少取到件次品的概率.
解: ()由于从 件产品中任取 件的结果数为 C130 ,从 件产品中任取件,

其中恰有 件次品的结果数为 C5kC935?k ,那么从 件产品中任取 件,其中恰有 件次品的概率为

P( X

? k)

?

C5k

C 3?k 95

C3 100

,k

? 0,1, 2,3 。

所以随机变量 的分布列是

C50C935 C3
100

C51C925 C3
100

C52C915 C3
100

C53C905 C3
100

()根据随机变量 的分布列,可得至少取到 件次品的概率 (≥) ( ) ( ) ( )
≈. .
.. 一般地,在含有 件次品的 件产品中,任取 件,其中恰有件次品数,则事件 {}发生的概率 为

P( X

? k)

?

C C k n?k M N?M CNn

,k

? 0,1, 2,

,m,

其中 m ? min{M , n} ,且 n ? N , M ? N , n, M , N ? N ? .称分布列

CM0 CNn ?M CNn

C C 1 n?1 M N?M CNn



m



C C m n?m M N?M CNn

为超几何分布列.如果随机变量 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 服从超几何分布( ) 例 .在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有个红球和个白球,这些球除颜色 外完全相同.一次从中摸出个球,至少摸到个红球就中奖.求中奖的概率.
解:设摸出红球的个数为,则服从超几何分布,其中 , , .于是中奖的概率 (≥ ) ( ) ( )十 ( )

C C 3 5?3 10 30?10 C350

?

C C 4 5?4 10 30?10 C350

?

C C 5 5?5 10 30?10 C350

≈.

思考:如果要将这个游戏的中奖率控制在左右,那么应该如何设计中奖规则?

? ? P ? ? k

?

C

k m

C

k N

?k

/

C

n N

例.已知一批产品共 件,其中 件是次品,从中任取 件,试求这 件产品中所含次品件数 的分布律。
解 显然,取得的次品数 只能是不大于 与 最小者的非负整数,即 的可能取值

为:,,…, min{M , n} ,由古典概型知

P( X

?

k)

?

C C k n?k M N?M

,k

? 0,1, 2,

,m

CNn

此时称 服从参数为 (N, M , n) 的超几何分布。
注 超几何分布的上述模型中,“任取 件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取 件”.如 果是有放回地抽取,就变成了 重贝努利试验,这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区

别就在于是不放回地抽样,还是有放回地抽样.若产品总数 很大时,那么不放回抽样可以近似

地看成有放回抽样.因此,当

时,超几何分布的极限分布就是二项分布

例.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个 数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得分,取出黄球得分,取出绿球得 -分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列.
分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为,由题意知

绿球个数为,红球个数为,盒中的总数为.

∴ P(? ? 1) ? 4n ? 4 , P(? ? 0) ? n ? 1 , P(? ? ?1) ? 2n ? 2 .

7n 7

7n 7

7n 7

所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为

ξ



4

1

2

7

7

7

说 明 : 在 写 出 ξ 的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为.

例.某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下: ξ

求此射手“射击一次命中环数≥”的概率. 分析:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ =”、“ξ =”、“ξ =”、“ξ =”的
和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 解:根据射手射击所得的环数 ξ 的分布列,有 (ξ )=,(ξ )=,(ξ )=,(ξ )=.
所求的概率为 (ξ ≥)==

三、课堂小结:师生共同回忆本节的学习内容. )、分布列的概念及性质; )、两点分布和超几何分布;

四、作业布置:校内作业册 五、板书设计:

分布列及性质

超几何分布





两点分布

例:





课后反思:
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的婴儿到无所不能 的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢?因此学习更是一件愉 快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己, 提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把 说过的话变成现实。


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