2017年三角函数与解三角专题基础复习:第九讲三角函数性质与正余弦定理综合运用


第九讲
【知识目标】

三角函数与解三角形综合运用

运用三角函数专题的公式解答综合运用题目 【知识运用】 角度一 平面几何问题 ,

例 1 (2016?河南一模)如图,在△ABC 中,点 D 在 BC 边上, .

(Ⅰ)求 sin∠C 的值; (Ⅱ)若 BD=5,求△ABD 的面积.

【变式实践 1】 1.如图所示,在四边形 ABCD 中,BC=20,DC=40,

图 1-2-1

B=105°,C=60°,D=150°,求:
(1)AB; (2)四边形 ABCD 的面积.

1

2. 如图所示,在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD=135°,求 BC 的长

3.(2014·课标Ⅱ,17,12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,

CD=DA=2.
(1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积.

角度二

三角函数与正余弦综合运用

【例 2】 (2016?龙岩一模)已知函数 f(x)= sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ< π)为偶函数,点 P,Q 分别为函数 y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点, 且| |= .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= f( )= ,求角 C 的大小.

2

【变式实践 2】 1.(2016?重庆校级模拟)设函数 f(x)=sinx+cosx(x∈R) . (1)求函数 f(x)的最小正周期和最值; (2)若 f( )= sinA,其中 A 是面积为 的锐角△ABC 的内角,且 AB=2,

求边 AC 和 BC 的长.

2. (2016?成都模拟)已知函数 f(x)= cos2x﹣ (Ⅰ)求函数 f(x)取得最大值时 x 的集合;

sinxcosx﹣ sin2x.

(Ⅱ)设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角,若 cosB= ,f(C)=﹣ ,求 sinA 的值.

3

3. (2016?重庆模拟)在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 cos(B+C)=﹣ (1)求 A; (2)设 a=7,b=5,求△ABC 的面积. sin2A.

角度三

三角函数与平面向量

例 3. (2016?泸州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosC+ asinC=b+2c.

(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若向量 在向量 方向上的投影为 ,且 sinC= ,求 b 的值.

4

【变式实践 3】 1. (2015?湖北二模) 函数 f (x) =Asin (ωx+φ) (其中 的图象如图所示,把函数 f(x)的图象向右平移 位,得到函数 y=g(x)的图象. (Ⅰ)求函数 y=g(x)的表达式; (Ⅱ)已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=3,g(C)=0.若 向量 与 共线,求 a,b 的值. )

个单位,再向下平移 1 个单

角度四

求范围

【例 4】 . (2016?黄山一模)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 (Ⅰ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值;

(Ⅱ)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( B)=1,a+c=2, 求 b 的取值范围.

5

【变式实践 4】 1. (2016?洛阳一模) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, cosBsinC+ (a﹣sinB)cos(A+B)=0,c= (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA?sinB 的最大值. .

2. (2016?长宁区一模)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 , ∥ . ,若

(1)求角 A、B、C 的值; (2)若 ,求函数 f(x)=sinAsinx+cosBcosx 的最大值与最小值.

6

3. (2016?广州模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A. (I)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值.

角度五

实际应用题

【例 5】 ( 2016 春 ? 孝 感 期 中 ) 如 图 , 从 地 面 上 C , D 两 点 望 山 顶 A , 测 得 它 们 的 仰 角 分 别 为 45°和 30°,已 知 CD=100 米 ,点 C 位 于 BD 上 , 则 山 高 AB 等 于 ( )

A . 100 米 B . 50

米 C . 50

米 D . 50 (

+1 ) 米

【 变 式 实 践 5】 1. ( 2016 春 ? 赣 州 期 中 ) 已 知 甲 、 乙 两 地 距 丙 的 距 离 均 为 100km , 且 甲 地 在 丙 地 的 北 偏 东 20°处 , 乙 地 在 丙 地 的 南 偏 东 40°处 , 则 甲 乙 两地的距离为( ) km D . 100 km

A . 100km B . 200km C . 100

7

2. ( 2016 春 ? 余 姚 市 校 级 期 中 ) 一 艘 向 正 东 航 行 的 船 , 看 见 正 北 方 向 有 两 个 相 距 10 海 里 的 灯 塔 恰 好 与 它 在 一 条 直 线 上 , 继 续 航 行 半 小 时 后 , 看 见 一 灯 塔 在 船 的 北 偏 西 30°, 另 一 灯 塔 在 船 的 北 偏 西 15°, 则这艘船的速度是每小时( A. 5 海 里 B. ) 海里

海 里 C . 10 海 里 D .

3. ( 2016 春 ? 湖 北 校 级 期 中 ) 某 游 轮 在 A 处 看 灯 塔 B 在 A 的 北 偏 东 75°, 距 离 为 12 海 里 , 灯 塔 C 在 A 的 北 偏 西 30°, 距 离 为 8 海里,游

轮 由 A 向 正 北 方 向 航 行 到 D 处 时 再 看 灯 塔 B 在 南 偏 东 60°则 C 与 D 的距离为( ) 海 里 C . 23 海 里 D . 24 海 里

A . 20 海 里 B . 8

【强化训练】 1. (2016?吉林校级一模)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asinAsinB+bcos2A= a,且 c2=b2+ ,则 sinB= . <

2.(2016?延边州模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, C< , = ,a=3,sinB= ,则 b= .

3. (2016?湖南校级模拟) 2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式, 在坡度为 15° 的观礼台上, 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排 和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°,且第一排和最后一排的距 离为 米,则旗杆的高度为 米. ,BC=4,点 D 在边 AC 上,AD=DB, .

4. (2016?辽宁一模)如图,在△ABC 中,C= DE⊥AB,E 为垂足,若 DE=2 ,求 cosA=

8

5. (2016?惠州三模)已知平面四边形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四 边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧) ,且 AB=2,BC=4,CD=5,DA=3, 则平面四边形 ABCD 面积的最大值为 . 6. (2016?淄博校级模拟)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对 边,a=2 且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC 面积的最大值为 .

7..【浙江温州二外 2016 届 10 月阶段考 16】 (本小题满分 15 分)在 ?ABC 中, 三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 2b cos C ? 2a ? c . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求 sin A sin C 的取值范围.

8.. 【三明一中 2016 届(上)第一次月考 20】 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边分别为 a、b、c,B 为锐角,向量 m= (2sin B, 3),n=(2cos2 -1, cos 2B),且 m ? n; 2 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2, A ?
5? ,求边长 c. 12

B

9

9.. 【华中师大一附中 2016 届上学期高三期中检测 19】(本小题满分 12 分)在
?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2 ,向量

?? ? ?? ? m ? (c, 3b), n ? (cos C,sin B) ,且 m ∥ n .
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin( A ? B),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差数列,求边 a 的大小.

10. 【湖北宜昌一中、龙泉中学 2016 届高三十月联考 18】 (本小题满分 12 分)
1 在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a cos C ? c ? b . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15, b ? 4 ,求边 c 的大小.

10

11. 【江西临川一中 2016 届高三第二次月考 18】 (本小题满分 12 分)已知
m ? (2 cos( x ?

?
2

), cos x) , n ? (cos x,2 sin( x ?

?
2

)) ,

且函数 f ( x) ? m ? n ?1 (1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在 (0, ? ) 内有两个零点 x1,x2 ,求 f ( x1 ? x2 ) 的值; (2)若把函数 y ? f ( x) 的图像向左平移
g ( x) 图像,求函数 g ( x) 在 [ ?

? ?

? 个单位,再向上平移 2 个单位,得函数 3

, ] 上的单调增区间. 2 2

12. 【黑龙江省牡丹江市一高 2016 届高三 10 月月考 19】如图,为对某失事客 轮 AB 进行有效援助,现分别在河岸 MN 选择两处 C 、 D 用强光柱进行辅助照明, 其中 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内.现测得 CD 长为 100 米, ?ADN ? 105? ,
?BDM ? 30? , ?ACN ? 45? , ?BCM ? 60? .

(1)求 ?BCD 的面积; (2)求船 AB 的长.

11

13. 【黑龙江省牡丹江市一高 2016 届高三 10 月月考 18】已知在锐角 ?ABC 中,

a, b, c 为角 A, B, C 所对的边,且 (b ? 2c ) cos A ? a ? 2a cos 2
(Ⅰ)求角 A 的值;

B . 2

(2)若 a ? 3 ,且 ?ABC 是锐角三角形,求 b ? c 的取值范围.

14. 【甘肃省兰州一中 2016 届高三上学期期中 17】 (本小题 10 分) ???? ??? ? x x x x x x 已知 AC =(cos +sin ,-sin ), BC =(cos -sin ,2cos ). 2 2 2 2 2 2 ???? ??? ? (1)设 f(x)= AC ? BC ,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设有不相等的两个实数 x1,x2∈ [ ? 值.

? ?

, ] ,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的 2 2

12

15. 【江西临川一中 2016 届上学期高三期中 18】 (本小题满分 12 分)设向量 ? ? a ? (cos wx ? sin wx, ?1), b ? (2sin wx, ?1) ,其中 w ? 0 , x ? R ,已知函数 ? ? f ? x ? ? a ? b 的最小正周期为 4? . (1)求 f ( x) 的对称中心; (2)若 sin x0 是关于 t 的方程 2t 2 ? t ? 1 ? 0 的根,且 x0 ? (?

? ?

, ) ,求 f ( x0 ) 的值. 2 2

16. 【山东师范大学附属中学 2016 届高三上学期第二次模拟考试 16】 (本小题 满分 12 分) r r r r 已知向量 a ? ?1, cos 2 x ? , b ? sin 2 x, ? 3 ,函数 f ? x ? ? a ? b .

?

?

? ? 2? (I)若 f ? ? ?2 3

? 6 ? ? ,求 cos 2? 的值; ? 5

? ?? (II)若 x ? ?0, ? ,求函数 f ? x ? 的值域. ? 2?

13

17. 【山东师范大学附属中学 2016 届高三上学期第二次模拟考试 17】 (本小题 满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为 ?ABC 的面积,且
4S ? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? .

(I)求角 C 的大小;

?? ? (II) f ? x ? ? 4sin x cos ? x ? ? ? 1,当x ? A 时, f ? x ? 取得最大值 b,试求 S 的 6? ?
值.

18. 【三明一中 2016 届(上)第一次月考 21】 (本小题满分 12 分)已知函数
f ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ? cos x ? 2 ; 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [0,
7? ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 24

14

19. 【河北省衡水中学 2016 届高三二调 17】 (本小题满分 10 分)已知 ? 、 ? 、 ? C 分别为 ??? C 的三边 a 、 b 、 c 所对的角,向量 m ? ?sin ?,sin ?? ,
? ? ? n ? ? cos ?,cos ?? ,且 m ? n ? sin 2C .

?1? 求角 C 的大小;
? 2 ? 若 sin ? , sin C , sin ? 成等差数列,且 C? ? ? ?? ? ?C ? ? 18 ,求边 c 的长.
??? ? ??? ? ??? ?

20. 【河北省衡水中学 2016 届高三二调 18】 (本小题满分 12 分)已知向量

? ? ? ? 2 5 . a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? , a ? b ? 5

?1? 求 cos ?? ? ? ? 的值;
? 2 ? 若 0 ? ? ? 2 , ? 2 ? ? ? 0 ,且 sin ? ? ? 13 ,求 sin ? 的值.
?

?

5

15

参考答案 【例 1】解: (Ⅰ)因为 所以 又因为 所以 所以 = (Ⅱ)在△ACD 中,由 . , , . . ,





所以



【变式实践 1】

(1)连结 BD, 因为∠ABC=105°,C=60°,∠ADC=150°, 所以 A=360°-105°-60°-150°=45°. 在△BCD 中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=202+402-2×20×40× =1 200, 于是 BD=20 3. 因为 BD2+BC2=CD2,所以∠CBD=90°. 所以∠ABD=105°-90°=15°,∠BDA=180°-45°-15°=120°. 1 2

16

在△ABD 中, 所以 AB=

AB
sin∠ADB



BD
sin A



BDsin∠ADB 20 3sin 120° = =30 2. sin A sin 45°
6- 2 , 4

(2)因为 sin 15°=sin(45°-30°)= 所以四边形 ABCD 的面积

S 四边形 ABCD=S△DBC+S△DBA
1 1 6- 2 = ×20×20 3+ ×20 3×30 2× =50(9+ 3). 2 2 4 2.解 在△ABD 中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,设 BD=x,

由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ∠BDA, ∴142=102+x2-2×10·xcos 60°, 即 x2-10x-96=0,解得 x1=16,x2=-6(舍去),∴BD=16. ∵AD⊥CD,∠BDA=60°,∴∠CDB=30°. 在△BCD 中,由正弦定理:
16sin 30° ∴BC= =8 2. sin 135°

BC
sin∠CDB



BD
sin∠BCD



3.【解析】

(1)由题设及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.②
1 π 由①②得 cos C= ,故 C= , 2 3

BD= 7.
(2)四边形 ABCD 的面积

S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C
1 π ?1 ? =? ×1×2+ ×3×2?sin 2 3 ?2 ? =2 3.
17

1 2

1 2

【例 2】解: (1)函数 f(x)= sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为偶函数, ∴φ= ,f(x)= sin(ωx+ )= cosωx. |= ,

∵点 P,Q 分别为函数 y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点,且| ∴ (2)∵a=1,b= = ,f( ,∴ω=π,函数 f(x)= cosπx. )= cos(π? = )= cosA= ,∴cosA= ,

,∴A=



△ABC 中,由正弦定理可得

,求得 sinB=

∴B= 当 B=

或 B=

. ,当 B= 时,C=π﹣A﹣B= .

时,C=π﹣A﹣B=

【变式实践 2】 1、解: (1)f(x)=sinx+cosx= sin(x+ ) , ,最小值为﹣ .

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π.f(x)的最大值为 (2)∵f( )= sinA,即 sin = sinA, .

∴sinA=sin

,∵△ABC 是锐角三角形,∴A= ,∴AC=3. .

∵S△ABC= AB?AC?sinA=

∴BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=7,∴BC= 2.解: (Ⅰ)函数 f(x)= cos2x﹣ =cos2x﹣ = 故函数取得最大值为

sinxcosx﹣ sin2x sinxcosx+ (cos2x﹣sin2x )



sin2x+ cos2x= +

cos(2x+

) ,

,此时,2x+ ,k∈Z}.

=2kπ 时,

即 x 的集合为 {x|x=kπ﹣

(Ⅱ)设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角,

18

若 cosB= ,f(C)= + ∴cos (2C+ ∴C= . ) =﹣

cos(2C+

)=﹣ , = ,

, 又 A、 B、 C 为锐角三角形 ABC 的三个内角, ∴2C+

∵cosB= ,∴sinB= , ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 3.解: (1)∵在锐角△ABC 中 cos(B+C)=﹣ ∴﹣cosA=﹣ ?2sinAcosA,∴sinA= = , + = .

sin2A, ,A= ;

(2)由正弦定理可得 sinB= ∴cosB= = ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×7×5× 【例 3】解: (Ⅰ)∵acosC+ ∴sinAcosC+ ∴sinAcosC+ asinC=b+2c, =10

+

=



sinAsinC=sinB+2sinC, sinAsinC=sinB+2sinC

=sin(A+C)+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC, ∵sinC≠0,∴ sinA﹣cosA=2,

∴sin(A﹣30°)=1,∴A﹣30°=90°,∴A=120°. (Ⅱ)如图,AD⊥BC,∵A=120°,sinC= ∴sinB=sin(A+C)= ∴tanB= = ,解得:AD= ﹣ , = ,可得:cosC= ,cosB= , ,

,tanB=

∴由 sinC=

=

,可得:b=

=5.

19

【变式实践 3】 1.解: (Ⅰ)由函数的图象可得 A=1, = 再根据五点法作图,可得 2× 把函数 f(x)的图象向右平移 = ,求得 ω=2. ,∴f(x)=sin(2x+ ) .

+φ=π,求得 φ=

个单位,再向下平移 1 个单位, )+ ]﹣1=sin(2x﹣ )﹣1 的图象,

得到函数 y=g(x)=sin[2(x﹣ 即 g(x)=sin(2x﹣ )﹣1.

(Ⅱ)已知△ABC 中,c=3,g(C)=sin(2C﹣ 由 0<C<π,可得﹣ ∵向量 与 <2C﹣ <

)﹣1=0,∴sin(2C﹣ = ,C= .

)=1.

,∴2C﹣ 共线,∴ =

= ,∴b=2a. ,∴b=2 .

再由余弦定理可得 c2=9=a2+4a2﹣2?a?2a?cos

,求得 a=

【例 4】解: (Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1 =sin2x+2× = ∵x∈[0, ∴当 2x+ = ],∴2x+ ,即 x= sin(2x+ ∈[ , ) , ], …6 分 + )=1,∴sin( + )= , ﹣1=sin2x+cos2x

时,f(x)min= sin(

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f( B)= ∴ b= + = ,∴B=

,由正弦定理可得: = ∈[1,2)

20

【变式实践 4】 1.解: (1)∵cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0, ∴cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0,即有 sinBcosC+cosBsinC=acosC, 即 sin(B+C)=acosC,即 sinA=acosC. 由正弦定理可知: ∴ = = , ,

cosC=sinC,∴tanC= ;

∵C 是三角形内角,∴C= (2)由(1)可得 B=π

﹣A, ﹣A) ,

∴sinA?sinB=sinA?sin(π =sinA?sin( =sinA?( = = = +A) ,

cosA+ sinA) ,

sinAcosA+ sin2A, sin2A+ ? ,

sin2A﹣ cos2A+ , )+ , < , )+ ≤1,

= sin(2A﹣ ∵0<A< ∴ ,∴﹣ <2A﹣

<sin(2A﹣

)≤1,∴ < sin(2A﹣

∴sinA?sinB 的最大值为 1. 2.解: (1)∵ ∥ ,

由正弦定理,得 sinAcosB=sinBcosA,∴sin(A﹣B)=0, 又﹣π<A﹣B<π,∴A=B 而 ∴8 , +4sin2A=9,∴4(1+cosA)+4(1﹣cos2A)=9,

21

∴4cos2A﹣4cosA+1=0,∴(2cosA﹣1)2=0 ∴ ∴ (2) ∵ ∴x=0 时, 时, , . ,又 0<A<π,∴ . , ,

3.解: (I)由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得 2cos2A+3cosA﹣2=0 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0. 解得 cosA= 或 cosA=﹣2(舍去)因为 0<A<π,所以 A= (II)由 S= bcsinA= bc? 又 b=5,所以 c=4 由余弦定理,得 a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 a= 又由正弦定理,得 sinBsinC= sinA? sinA= ?sin2A= × = . = bc=5 ,得 bc=20.

【 例 5 】 解 : 设 AB=xm , 则 由 题 意 , ∠ D=30°, ∠ ACB=45°, 在 Rt△ ABC 中 , BC=AB=x , 在 Rt△ ADB 中 , DB=CD+BC=100+x , ∴ DB= AB , 即 100+x= x , 解 得 x=50 ( +1 ) m .

∴ 山 AB 的 高 度 为 50 ( 【 变 式 实 践 5】

+1 ) 米 故 选 : D .

1. 解 : 由 题 意 , 如 图 所 示 OA=OB=100km , ∠ AOB=120°, ∴甲乙两地的距离为 AB= 故 选 : D. =100 km ,

22

2. 解 : 设 两 个 灯 塔 分 别 为 C , D , 则 CD=10 , 由 题 意 , 当 船 在 B 处 时 , ∠ ABC=60°, ∠ CBD=∠ CDB=15°, 即 CD=BC=10 . 在 直 角 三 角 形 CAB 中 , AB=BCcos60°=10× =5 , 则这艘船的速度是 =10 海 里 / 小 时 , 故 选 : C .



3. 解 :如 图 ,在 △ ABD 中 ,因 为 在 A 处 看 灯 塔 B 在 货 轮 的 北 偏 东 75° 的方向上,距离为 海里,

货 轮 由 A 处 向 正 北 航 行 到 D 处 时 , 再 看 灯 塔 B 在 南 偏 东 60°方 向 上 , 所 以 B=180°﹣ 75°﹣ 60°=45°, 由正弦定理 ,

所 以 AD=

=

=24 海 里 ;

在 △ ACD 中 , AD=24 , AC=8

, ∠ CAD=30°,

23

由 余 弦 定 理 可 得 : CD 2 =AD 2 +AC 2 ﹣ 2 ? AD ? ACcos30°=24 2 + ( 8 2×24×8 所 以 CD=8 故 选 : B. × =192 ,

) 2﹣

海里;

【强化训练】 1.解:∵在△ABC 中,asinAsinB+bcos2A= ∴由正弦定理得 ∴b= 又 故可设 a, ,∴ , , a, ,化简可得 sinB= sinA,

∴由余弦定理可得



由同角三角函数基本关系可得 sinB= 2.解:在△ABC 中,∵ = ,∴

=

.故答案为: =

. ,

∴sinAsinB﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C, ∴sinAsinB=sinAsin2C,即 sinB=sin2C, ∴sin(A+C)=sin2C, ∵ <C< ,∴A+C> , <2C<π,

∴A+C=2C,即 A=C,a=c, 由 sinB= 可得 cosB= , .

∴b2=2a2﹣2a2cosB=3,故 b=

24

3.解:设旗杆高为 h 米,最后一排为点 A, 第一排为点 B,旗杆顶端为点 C,则 在△ABC 中, ,∠CAB=45°,∠ABC=105°, ,故 h=30. .

所以∠ACB=30°,由正弦定理得, 故答案为:30

4.解:∵C=

,BC=4,点 D 在边 AC 上,AD=DB,DE⊥AB,E 为垂足,DE=2



∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,设 AD=BD=x, ∴在△BCD 中, 在△AED 中, = = ,可得: ,可得: ,② ,①

∴联立可得:

=

,解得:cosA=



故答案为:



5.解:设 AC=x,在△ABC 中,由余弦定理得: x2=22+42﹣2×2×4cosB=20﹣16cosB, 同理,在△ADC 中,由余弦定理得:x =3 +5 ﹣2×3×5cosD=34﹣30cosD, ∴15cosD﹣8cosB=7,① 又平面四边形 ABCD 面积为 , ∴8sinB+15sinD=2S,② ①2+②2 得:64+225+240(sinBsinD﹣cosBcosD)=49+4S2,
25
2 2 2

∴S2=60﹣60cos(B+D) , 当 B+D=π 时,S 取最大值 故答案为:2 . = .

6.解:因为: (2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (2+b) (a﹣b)=(c﹣b)c 2a﹣b2=c2﹣bc, 又因为:a=2, 所以: △ ABC 面积 b2+c2﹣bc=a2 所以: 故答案为: 7.(Ⅰ) B ? . ,而 b2+c2﹣a2=bc b2+c2﹣bc=4 bc≤4 . ,

,即△ABC 面积的最大值为

?

? 3? ;(Ⅱ) sin A sin C ? ? 0, ? 3 ? 2?

8.解:(1)m ? n? 2sin B·(2cos 2 -1)+ 3cos 2B=0 2 ? sin 2B+ 3cos 2B=0 ? 2sin(2B+ ? 2B= π )=0 3 (或 tan2B ? ? 3 )(B 为锐角)

B

2π π ? B= . 3 3

(2)? B ?

?
3

,A ?

5? ? ,? C ? 12 4

由正弦定理
?c ?

b c ? sin B sin C

b ? sin C 2 6 . ? sin B 3

26

?? ? 9.解: (1) m ∥ n ,得 c sin B ? 3b cos C ? 0 ,
由正弦定理可得 sin C sin B ? 3 sin B cos C ? 0

tan C ? 3 C ? ? 0, ? ? C ?

?
3

(2) sin( A ? B),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差,所以 sin( A ? B) ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A 化简整理得: cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 得A? 即 cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A

?
2

或 b ? 2a

? ? c 4 ?C ? , ?a ? ? 3 若 A= , 2 2 sin C 3 2 3. 若 b ? 2a,? a 2 ? b 2 ? ab ? 4,? a ? 3
10:解(1)利用正弦定理化简 acosC+
1 1 c=b,得:sinAcosC+ sinC=sinB, 2 2

∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

1 1 ∴sinAcosC+ sinC=sinAcosC+cosAsinC,即 sinC=cosAsinC, 2 2

∵sinC≠0,∴cosA=

1 ? ,∵A 为三角形内角,∴A= 2 3
1 , 2

(2)∵a= 15 ,b=4,cosA=

∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,15=16+c2﹣4c,即 c2﹣4c+1=0,
解得:c=

4 ? 12 =2± 3 . 2

11:解(1)
f ( x) ? 2 cos( x ? ) cos x ? cos x 2sin( x ? ) ? 1 ? ?2sin x cos x ? 2 cos x cos x ? 1 2 2 ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 4

?

?

?

? ? ? ? x1 ? x1 ? ? ? ? 2 ? ? 4 2 而 f ( x) ? 1 ? 0 ,得: cos(2 x ? ) ? ? ,而 x ? (0, ? ) ,得: ? 或? 4 2 ?x ? ? ?x ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? 4
所以 f ( x1 ? x2 ) ? f (
3? 3? ? ) ? 2 cos( ? ) ? 2 ? 3 . 4 2 4

? (2) f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 4

27

? 11? )?2, 可得 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 3 12 11? )?4, 上移 2-个单位可得 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 12
左移 则 g ( x) 的单调递增区间:
11? ? 11? ? 23? ? ? k? , ? ? k? ? k ? Z ? ? 2k? ,则 ?? 24 2 12 2 ? 24 ? ? ? ? 11? ? ? ] 和 x ? [ , ] 上递增. 而 x ? [ ? , ] ,得: f ( x) 在 x ? [? , ? 2 2 2 24 24 2 ? ? 2 k? ? 2 x ?

?

12 解析: (1)由题, ?BDM ? 30? , ?ACN ? 45? , ?BCM ? 60? ,得 ?CBD ? 30? ,
1 1 所 BC ? BD =100 ,所以 S?BCD ? CB ? CD ? sin ?BCD= ?100 ?100 ? sin120? 2 2
? 2500 3 平方米

(2)由题, ?ADC ? 75? , ?ACD ? 45? , ?BDA ? 45? , 在 ?ACD 中,
?BCD 中,

100 AD CD AD 100 ,即 ,所以 AD ? ? ? 6在 ? ? sin 60 sin 45 sin ?CAD sin ?ACD 3

BD ? BC2 ? CD2 ? 2BC ? CDcos ?BCD ? 1002 ?1002 ? 2?100?100? cos120? =100 3

在 ?ABD 中, AB ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?BDA
100 100 100 2 15 ? ( 6)2 ? ( 100 3) ? 2? 6 ?100 3 ? cos 45? = 3 3 3

13、 (1)因为 (b ? 2c ) cos A ? a ? 2a cos 2

B (b ? 2c) cos A ? -a cosB , 2 ,所以

即 (sin B ? 2 sin C ) cos A ? -sinAcosB ,
?sin B cos A ? cos B sin A ? 2 sin C cos A ,?sin( A ? B) ? 2 sin C cos A

1 ? 又因 sin( A ? B) ? sin C ,所以 cos A ? 2 ,故 A ? 3 。 a b c ? ? ? 2 ,?b ? c ? 2(sin B ? sin C ) (2)? sin A sin B sin C 2? 2? ?B ? C ? ?C ? ? B 。[来源:学科网 ZXXK] 3 3 ? ? ? ∵ A ? ,三角形 ABC 为锐角三角形,∴ ? B ? .∴ 3 6 2
28

B?

?
3

? (?

? ?

? 3 , ) ?cos(B ? ) ? ( ,1] 6 6 3 2
2? ? ? B ) ? 2 3 cos( B ? ) 3 3

又 b ? c ? 2 sin B ? 2 sin C ? 2 sin B ? 2 sin( 故 b ? c ? (3,2 3 ] .

??? ? ??? ? 14.解:(1)由 f ? x ? ? AC ? BC 得
x x? ? x x? ? x? x ? f ? x ? ? ? cos ? sin ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin ? ? 2cos 2 2? ? 2 2? ? 2? 2 ?
? cos 2 x x x x ? sin 2 ? 2sin cos 2 2 2 2

?? ? ? cos x ? sin x ? 2 cos ? x ? ? , 4? ?
所以 f ? x ? 的最小正周期 T ? 2? . 又由 2k? ? x ? 得?

?
4

? ? ? 2 k? , k ? Z ,

?
4

? 2 k? ? x ?

3? ? 2 k? , k ? Z . 4

3? ? ? ? 故 f ? x ? 的单调递减区间是 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? , ? k ? Z ? . 4 ? 4 ?

?? 2 ?? ? ? (2)由 f ? x ? ? 1 得 2 cos ? x ? ? ? 1 ,故 cos ? x ? ? ? . 4? 4? 2 ? ?
? ? ? ? 3? ? ? ? ?? 又 x ? ? ? , ? ,于是有 x ? ? ?? , ? ,得 x1 ? 0, x2 ? ? , 2 4 ? 4 4 ? ? 2 2?
所以 x1 ? x2 ? ? 15、

?
2

.

29

16

17.解(Ⅰ)由已知得 4 ?

即 tan C ? 3 ,∴ C ? (II) f ( x) ? 4sin x( 当 2x ?

?

1 ab sin C ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2 3ab cos C , 2

3



3 1 ? cos x ? sin x) ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 2 2 6

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 即: x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) 时, f ( x)max ? 2 ,

30

又∵ A ? (0, ? ) ,∴ A ? 故 B ?? ? A?C ?

?
6

,b ? 2

?
2

, a ? b sin A ? 1 , c ? b sin C ? 3 ,

1 3 ∴ S ? ac sin B ? . 2 2

18、解? f ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ? cos x ?

2 2

? 1 1 ? cos 2 x 2 ? sin( 2 x ? ) ? ( 2 sin2 x ? ) ? 4 2 2 2
(1)当- π ? π +2kπ≤ 2 x ? ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递 增 2 2 4
3? ? ? k? , ? k? ] (k∈Z) 8 8

可得函数 f ( x) 的递增区间为 [? 2)当 x ? [0,

7? ? ? 5? 1 ] 时, 2 x ? ? [ , ] , f ( x) ? [ , 1] , 24 4 4 6 2

1 即函数 f ( x) 的值域为 [ , 1] . 2

19

31

? ? ? ? 20.(1) ? a ? ? cos?,sin? ?, b ? ? cos?,sin? ?, ? a ? b ? ? cos? ? cos?,sin? ? sin? ?.
? ? 2 5 ?| a ? b |? , ? 5

? cos? ? cos? ? ? ? sin? ? sin? ?
2

2

=

2 5 , 5

4 3 2 ? 2cos ?? ? ? ? = , ? cos ?? ? ? ? = 5 5

(2)? 0 ? ? ?

?

2

, ?

?

2

? ? ? 0, ?0 ? ? ? ? ? ? ,

3 4 5 12 ? cos ?? ? ? ? = , ? sin ?? ? ? ? ? ,? sin? ? ? , ? cos? ? , 5 5 13 13

4 12 3 ? 5 ? 33 ? sin? ? sin( ? ? ? ? sin (? ? ?)cos? ? cos (? ? ?)sin? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?) 5 13 5 ? 13 ? 65

32


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