18学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学案新人教B版必修2

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 [学习目标] 1.通过观察实物和几何模型,总结出圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征.2.能 根据圆柱、圆锥、圆台和球的定义和结构特征,掌握它们的相关概念、分类和表示方法. [知识链接] (1)如图①,在直角三角形 ABC 中,sin B= ,cos B= . (2)如图②,圆内接三角形 ABC,AC 过圆心,则∠B=90°. AC AB BC AB ① ② ③ (3)如图③,在△ABC 中,DE∥BC,则 = [预习导引] 1.圆柱、圆锥和圆台 AD AE . DB EC 圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边,直角三角 定义 形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线 为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体 结构特征 轴 高 底面 结构特征 侧面 母线 旋转轴叫做所围成的几何体的轴 在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面 无论旋转到什么位置,不垂直于轴的这条边都叫做侧面的 母线 图形 2.球 1 (1)一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面;球面围成的几何体, 叫做球. (2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 小圆. (3)球的截面的性质:①球的截面是一个圆面;②球心与截面圆心的连线垂直于截面;③球 半径 R、截面圆半径 r,则球心到截面的距离 d= R -r . (4)球面距离是指经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度. (5)在球面上, 两点之间的最短距离, 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度, 我们把这个弧长叫做两点的球面距离. 3.组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体. 2 2 要点一 旋转体的结构特征 例 1 判断下列各命题是否正确. (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰 梯形; (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解 (1)错.由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴. (2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的 简单组合体,如图所示. (3)正确. (4)错.应为球面. 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体, 必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求. 2.只有理解了各旋转体的生成过程,才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念,进而判断 与这些概念有关的命题的正误. 跟踪演练 1 下列叙述中正确的个数是( ) 2 ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 C.2 答案 A 解析 ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥; ②以直角梯形垂 直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台; ③它们的底面为圆面; ④用平行于圆锥 底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确. 要点二 简单组合体的结构特征 例 2 如图所示, 已知 AB 是直角梯形 ABCD 与底边垂直的一腰.分别以 AB, CD, AD 为轴旋转, 试说明所得几何体的结构特征. B.1 D.3 解 (1)以 AB 边为轴旋转所得旋转体是圆台,如图(1)所示. (2)以 CD 边为轴旋转所得旋转体为一组合体: 上部为圆锥, 下部为圆台, 再挖去一个小圆锥. 如图(2)所示. (3)以 AD 边为轴旋转得到一个组合体,它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示. 规律方法 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时, 要过有关顶点向轴作垂线, 然后想象所 得旋转体的结构和组成. 2.必要时作模型培养动手能力. 跟踪演练 2 如图(1)、 (2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单 几何体组成的? 解 图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱 O1O2 和 两个圆台 O2O3,O3O4 组成的;图②是由一个圆锥 O5O4,一个圆柱 O3O4 及一个圆台 O1O3 中挖去圆 3 锥 O2O1 组成的. 要点三 有关几何体的计算问题 例 3 如图所示,用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面 积之比为 1∶16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台 O′O 的母线长. 解 设圆台的母线长为 l,由截得圆台上、下底面面积之比为 1∶16,可设截得圆台的上、 下底面的半径分别为 r,4r. 过轴 SO 作截面,如图所示. 则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm. ∴ ∴ SA′ O′A′ = . SA OA 3 r 1 = = . 3+l 4r 4 解得 l=9(cm), 即圆台的母线长为 9 cm. 规律方法 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全 等或相似),同时结合 旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质, 利用相似三角形中的相似比, 构设相关几何 变量的方程组而得解. 跟踪演练 3 一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm 和 25π cm .求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 2 2 4 解 如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为 h cm,截得该圆台的圆锥的母线为 x cm,由条件可得圆台上底半径 r′=2 cm,下底半径 r=5 cm. (1)由勾股定理得 h

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