2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016 学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期末数 学试卷(文科)
一、选择题 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A.y=﹣3x+1 B.y=|x+2| C.y= D.y=x2﹣4x+3



3.如果函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A.[﹣3,+∞) B. D.[3,+∞) (﹣∞,﹣3] C. (﹣∞,5] 2 4.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4) 2 5.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2﹣t) ,那么( ) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 6.当 a>1 时,函数 和 y=(1﹣a)x 的图象只可能是( )

A.

B.

C.

D.

7.函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞] 8.函数 y= A. B.

的单调减区间为(



C. (﹣5,﹣2) D.[﹣2,1] ) C. ( ,+∞) ) D. ( ,+∞)

的定义域是(

9.函数 y=ax﹣2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D. (2,2)

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10.若 x0 是方程 2x= 的解,则 x0∈(



A. (0.1,0.2) B. (0.3,0.4) C. (0.5,0.7) D. (0.9,1) 11.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( ) A.f(﹣2)>f(0)>f(1) B.f(﹣2)>f(﹣1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f (﹣2) D.f(1)>f(﹣2)>f(0) 12.若函数 y=ax﹣(b+1) (a>0 且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有( ) A.0<a<1 且 b<0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b>0 D.a>1 且 b>1 二、填空题: 13.若函数 g(x)为 R 上的奇函数,那么 g(a)+g(﹣a)= 14.函数 y=3x2+2x+1(x≥0)的最小值为 . 15.已知函数 是奇函数,则常数 a= .



16.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[﹣2,2])的图象过原点,且在 x=±1 处的切线的 倾斜角均为 ,现有以下三个命题:

①f(x)=x3﹣4x(x∈[﹣2,2]) ; ②f(x)的极值点有且只有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和为零. 其中真命题的序号是 .

三、解答题 17.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2﹣1,求 f(x)在 R 上的表达 式. 18.已知 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0.若 p 是 q 的充分而不必要条件,求正实 数 a 的取值范围. 19.二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 20.已知方程|3x﹣1|=k. (1)画出函数 y=|3x﹣1|的图象并求它的单调区间; (2)讨论方程解的个数. 21.某工厂生产某种产品,已知该产品的产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的 关系为 ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元.问该厂每月生产多少吨

产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入﹣成本) 22.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的 切线方程为 6x﹣y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

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2015-2016 学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下) 期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 【考点】补集及其运算. 【分析】直接利用补集的定义求出 CUM. 【解答】解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM={3,5,6}, 故选 C. 2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( A.y=﹣3x+1 B.y=|x+2| C.y= )

D.y=x2﹣4x+3

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据一次函数,反比例函数及二次函数的单调性便可判断每个选项函数在(0,2) 上的单调性,从而找出正确选项. 【解答】解:一次函数 y=﹣3x+1,反比例函数 在(0,2)上为减函数;

二次函数 y=x2﹣4x+3 的对称轴为 x=2,∴该函数在(0,2)上为减函数; x>0 时,y=|x+2|=x+2 为增函数,即 y=|x+2|在(0,2)上为增函数. 故选 B. 3.如果函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( ) A.[﹣3,+∞) B. D.[3,+∞) (﹣∞,﹣3] C. (﹣∞,5] 【考点】二次函数的性质. 【分析】先由 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 得到其对称,再由 f(x)在区间(﹣∞,4]上是减 函数,则对称轴在区间的右侧,所以有 1﹣a≥4,计算得到结果. 【解答】解:∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 的对称轴为 x=1﹣a, ∵f(x)在区间(﹣∞,4]上是减函数,开口向上, 则只需 1﹣a≥4, 即 a≤﹣3. 故选 B. 4.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=( A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4) )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算 规则解出 A∩(?RB)即可得出正确选项 第 3 页 共 11 页

【解答】解:由题意 B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故?RB={x|x<﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩(?RB)=(3,4) 故选 B 5.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2﹣t) ,那么( ) A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 【考点】二次函数的图象;二次函数的性质. 【分析】先从条件“对任意实数 t 都有 f (2+t)=f (2﹣t)”得到对称轴,然后结合图象判 定函数值的大小关系即可. 【解答】解:∵对任意实数 t 都有 f (2+t)=f (2﹣t) ∴f(x)的对称轴为 x=2,而 f(x)是开口向上的二次函数故可画图观察 可得 f(2)<f(1)<f(4) , 故选 A.

6.当 a>1 时,函数

和 y=(1﹣a)x 的图象只可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】通过函数的特征,判断对数函数的图象与直线的图象,即可得到选项. 【解答】解:因为 a>1 时,函数 是增函数,C,D 不正确; 第 4 页 共 11 页

直线 y=(1﹣a)x 的斜率小于 0,所以 A 不正确,B 正确. 故选 B.

7.函数 f(x)= A. (﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞]

的单调减区间为(



C. (﹣5,﹣2) D.[﹣2,1]

【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】由题意先求函数的定义域,根据复合函数的单调性的判断方法,求出函数的单调减 区间. 【解答】解:函数 f(x)= 的定义域为:{x|﹣5<x<1},

设 g(x)=5﹣4x﹣x2,它的对称轴为:x=﹣2,在 x∈(﹣5,﹣2)上是增函数, 函数 y= ﹣2) 故选 C 是减函数,所以函数 f(x)= 的单调减区间为: (﹣5,

8.函数 y= A. B.

的定义域是(

) C. ( ,+∞) D. ( ,+∞)

【考点】对数函数的定义. 【分析】观察对数的代数式,首先底数要大于零且不等于 1,真数要大于零,而真数是一个 开偶次方形式,被开方数需要大于零,得到三个不等式,组成不等式组,求这几个不等式的 解集的交集,得到结果. 【解答】解:由题意知,2x﹣1>0 ① 2x﹣1≠1 ② 3x﹣2>0 ③ 综合上面三个不等式得到 x> 且 x≠1 且 x> , ∴函数的定义域是 故选 A. 9.函数 y=ax﹣2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D. (2,2) )

【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【分析】根据 a0=1(a≠0)时恒成立,我们令函数 y=ax﹣2+1 解析式中的指数部分为 0,即 可得到函数 y=ax﹣2+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过点的坐标. 【解答】解:∵当 X=2 时 y=ax﹣2+1=2 恒成立 第 5 页 共 11 页

故函数 y=ax﹣2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点(2,2) 故选 D 10.若 x0 是方程 2x= 的解,则 x0∈( A. (0.1,0.2) B. (0.3,0.4)

) D. (0.9,1)

C. (0.5,0.7)

【考点】函数零点的判定定理;函数的零点与方程根的关系. 【分析】令 f(x)=2x﹣ ,由 f(0.5)f(0.7)<0,可得函数 f(x)在(0.5,0.7)内存在 零点,又函数 f(x)单调递增,即可得出 x0∈(0.5,0.7) . 【解答】解:令 f(x)=2x﹣ , 由 f(0.5)= <0,f(0.7)=20.7﹣ ,可得 20.6 . >20.6﹣ > ﹣ >0,

∴f(0.5)f(0.7)<0, ∴函数 f(x)在(0.5,0.7)内存在零点, 又函数 f(x)单调递增, ∴x0∈(0.5,0.7) . 故选:C. 11.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是( ) A.f(﹣2)>f(0)>f(1) B.f(﹣2)>f(﹣1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f (﹣2) D.f(1)>f(﹣2)>f(0) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由 f(x)是 R 上的偶函数可得 f(﹣2)=2,且 2>1>0,结合已知在[0,+∞)上 单调递增,可比较大小 【解答】解:∵f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增, ∵f(﹣2)=2,且 2>1>0 ∴f(2)>f(1)>f(0) 即 f(﹣2)>f(1)>f(0) ∵f(﹣1)=f(1) ∴f(﹣2)>f(﹣1)>f(0) 故选 B 12.若函数 y=ax﹣(b+1) (a>0 且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有( A.0<a<1 且 b<0 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b>0 D.a>1 且 b>1 )

【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】根据指数函数的图象和性质,即可确定 a,b 的取值范围. 【解答】解:根据指数函数的图象和性质可知,要使函数 y=ax﹣(b+1) (a>0 且 a≠1)的 图象经过第一、三、四象限, 则函数为增函数,∴a>1, 且 f(0)<0,即 f(0)=1﹣(b+1)=﹣b<0, 第 6 页 共 11 页

解得 b>0, 故选:B.

二、填空题: 13.若函数 g(x)为 R 上的奇函数,那么 g(a)+g(﹣a)= 0 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】直接利用函数的奇偶性的定义求解即可. 【解答】解:函数 g(x)为 R 上的奇函数,那么 g(a)+g(﹣a)=g(a)﹣g(a)=0. 故答案为:0. 14.函数 y=3x2+2x+1(x≥0)的最小值为 1 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】求出函数的对称轴,判断开口方向以及函数的单调性,求解即可. 【解答】解:函数 y=3x2+2x+1 的开口向上,对称轴为:x=﹣ ,x≥0 时函数是增函数, 函数 y=3x2+2x+1(x≥0)的最小值为:3×02+2×0+1=1. 故答案为:1.

15.已知函数

是奇函数,则常数 a=



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】由已知中函数 是奇函数,我们根据定义域为 R 的奇函数图象必要

原点,构造出一个关于 a 的方程,解方程即可求出常数 a 的值. 【解答】解:若函数 由于函数的定义域为 R 则 即 a+ =0 解得 a=﹣ 故答案为:﹣ =0 是奇函数

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16.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[﹣2,2])的图象过原点,且在 x=±1 处的切线的 倾斜角均为 ,现有以下三个命题:

①f(x)=x3﹣4x(x∈[﹣2,2]) ; ②f(x)的极值点有且只有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和为零. 其中真命题的序号是 ①③ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】先根据已知条件,列出关于 a、b、c 的方程组并解之得 a=0,b=﹣4,c=0,由此得 到①是真命题;对函数进行求导数运算,可得在区间[﹣2,2]上导数有两个零点,函数也 就有两个极值点,故②为假命题;根据函数为奇函数,结合奇函数的图象与性质可得 f(x) 的最大值与最小值之和为零,故③为真命题.由此可得正确答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[﹣2,2])的图象过原点, ∴f(0)=c=0,得 f(x)=x3+ax2+bx 对函数求导数,得 f'(x)=3x2+2ax+b,结合题意知 f'(1)=f'(﹣1)=tan ∴3+2a+b=3﹣2a+b=﹣1,解之得 a=0,b=﹣4, 对于①,函数解析式为 f(x)=x3﹣4x(x∈[﹣2,2]) ,故①是真命题; 对于②,因为 f'(x)=3x2﹣4=3(x+ ) (x﹣ ) ,f'(x)在区间[﹣2,2]上有两个 =﹣1

零点, 故 f(x)的极值点有两个,得②为假命题; 对于③,因为函数 f(x)=x3﹣4x 是奇函数,所以若它在[﹣2,2]上的最大值为 f(m)=M, 则它在[﹣2,2]上的最小值必为 f(﹣m)=﹣M, 所以 f(x)的最大值与最小值之和为零,③是真命题. 故答案为:①③ 三、解答题 17.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2﹣1,求 f(x)在 R 上的表达 式. 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】根据函数奇偶性的性质,分别求出当 x=0 和 x<0 时的解析式即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(0)=0, 若 x<0,则﹣x>0, ∵当 x>0 时,f(x)=x3+2x2﹣1, ∴当 x<0 时,f(﹣x)=﹣x3+2x2﹣1=﹣f(x) , 3 2 则当 x<0 时,f(x)=x ﹣2x +1,

即 f(x)=



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18.已知 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0.若 p 是 q 的充分而不必要条件,求正实 数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 【分析】先求出 p:x<﹣2 或>10,q:x<1﹣a 或 x>1+a,再由 p 是 q 的充分而不必要条 件,列出方程组 ,从而求出正实数 a 的取值范围.

【解答】解:p:x<﹣2 或>10, q:x<1﹣a 或 x>1+a ∵由 p 是 q 的充分而不必要条件, ∴ 即 0<a≤3. 19.二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)先设 f(x)=ax2+bx+c,在利用 f(0)=1 求 c,再利用两方程相等对应项系数 相等求 a,b 即可. (2)转化为 x2﹣3x+1﹣m>0 在[﹣1,1]上恒成立问题,找其在[﹣1,1]上的最小值让其 大于 0 即可. 【解答】解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. 因为 f(x+1)﹣f(x)=2x,所以 a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ,∴ ,

所以 f(x)=x2﹣x+1 (2)由题意得 x2﹣x+1>2x+m 在[﹣1,1]上恒成立.即 x2﹣3x+1﹣m>0 在[﹣1,1]上恒 成立. 设 g(x)=x2﹣3x+1﹣m,其图象的对称轴为直线 故只需最小值 g(1)>0,即 12﹣3×1+1﹣m>0, 解得 m<﹣1. 20.已知方程|3x﹣1|=k. (1)画出函数 y=|3x﹣1|的图象并求它的单调区间; (2)讨论方程解的个数. 【考点】函数的图象;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (1)画出图象,由图象可得, (2)结合图象,分类讨论即可. 【解答】解: (1)y=|3x﹣1|的图象如图所示, 由图象可知,函数在(﹣∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, (2)由图象可知,当 k<0 时,方程无解, 当 k=0,或 k≥1 时方程有唯一的解, 当 0<k<1 时,方程有 2 个解. 第 9 页 共 11 页 ,所以 g(x)在[﹣1,1]上递减.

21.某工厂生产某种产品,已知该产品的产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的 关系为 ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元.问该厂每月生产多少吨

产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入﹣成本) 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】将实际问题转化成数学最值问题,利用导数求最值 【解答】解:设生产 x 吨产品,利润为 y 元, 则 y=px﹣R= = +24000x﹣50000(x>0) +24000, 由 y'=0,得 x=200 ∵0<x<200 时 y'>0,当 x≥200 时 y'<0 ∴当 x=200 时,ymax=3150000(元) 答:该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大,最大利润是 3150000(元) 22.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) )处的 切线方程为 6x﹣y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (1)根据导数的几何意义,结合切线方程建立方程关系,求出 b,c,d,即可求函 数 f(x)的解析式; (2)求函数的导数,即可求函数 f(x)在定义域上的单调性. 【解答】解: (1)由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 3 2 2 所以 f(x)=x +bx +cx+2,则 f'(x)=3x +2bx+c. 由在 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程是 6x﹣y+7=0, 知﹣6﹣f(﹣1)+7=0, 即 f(﹣1)=1,f'(﹣1)=6 第 10 页 共 11 页





即 解得 b=c=﹣3,



故所求的解析式是 f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2. (2)∵f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2. ∴f′(x)=3x2﹣6x﹣3=3(x2﹣2x﹣1) . 由 f′(x)=3(x2﹣2x﹣1)>0, 解得 x>1+ 或 x<1﹣ ,此时函数单调递增, 由 f′(x)=3(x2﹣2x﹣1)<0, 解得 1﹣ <x<1+ ,此时函数单调递减, 即函数的单调递减区间为为(1﹣ ,1+ ) , 函数的单调递增区间为为(﹣∞,1﹣ ) , (1+ ,+∞) .

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