4.6 正弦定理和余弦定理

2014 年高考一轮复习“自主·互动”探究学案
内容: 正弦定理和余弦定理 课时: 1 编号: S3122 编写: 孟凡志 王安拓 使用日期: 2013-10-23

【知识梳理】
1、在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c=_________. 2、已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 3,则此三角形的最大内角的度数是________. 3、 (2013 湖南)在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a, b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于 _______. 4、 (2013 上海)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,则角 C
2 2 2

二、判断三角形的形状
1、 (2013 陕西) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC

的形状为( ) A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形
2

D. 不确定
2

的大小是_______________(结果用反三角函数值表示) π 1 5、在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3

2、 (2013 省实验二模)已知函数 f ( x) ? cos x ? 2 3 sin x cos x ? sin x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 f ( ) ? 2 且 a ? bc ,试判断 ?ABC 的
2

【典例剖析】
一、利用正弦定理、余弦定理解三角形
0 1、 (2013 浙江) ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

A 2

形状。

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

2、 (2013 福建) 如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC, sin ?BAC ? 的长为_______________ .

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 3

3 、( 2013 山 东 ) 设 △ ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ?

7 .(1)求 a, c 的值; 9

(2)求 sin( A ? B) 的值.

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正弦定理和余弦定理

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三、与三角形的面积有关的问题 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 c ? 2, C ?

四、综合问题

?
3

.

(2013 四川)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 cos

2

A? B cos B ? sin(A ? B) ? 2

(1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

3 sin B ? cos(A ? C ) ? ? . 5 (1)求 cos A 的值;

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

2、 (2013 新课标Ⅱ)△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (1)求 B ; (2)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

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【针对训练】
1. (2013 辽宁) 在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? 且 a ? b ,则 ?B ? ( A. ) C.

10. (2013 北京)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A.

1 b, 2

(1)求 cosA 的值;

(2)求 c 的值.

? 6

B.

? 3

2? 3
?
4

D.

5? 6
)

2. (2013 天津)在△ABC 中, ?ABC ? (A)

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC = (

5 10 10 3 10 (B) (C) (D) 5 10 5 10 3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+

cos2 B=( 1 A.- 2

) 1 B. 2 C.-1 D.1 ) cos A-2cos C 2c-a 11.(2011· 山东高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b (1)求 sin C 1 的值;(2)若 cosB= ,b=2,求△ABC 的面积 S. sin A 4

4.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 A. 3 B.8-4 3 C.1 2 D. 3

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A= ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° )

6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30° ,则 AD 的长度为 ( A. 3 B. 3 2 C. 5 D.2

7. (2013 安徽) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____. 8.在△ ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,S是△ ABC的面积,且4S=a2+b2-c2,则角C =________. 9.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为 __________.

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正弦定理和余弦定理

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1 12.已知向量 m=(sin A, )与 n=(3,sin A+ 3cos A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

14、 (2013 年重庆)在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c 。
2 2 2

(1)求 C ; (2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 , ? ,求 tan ? 的值。 2 5 cos ? 5

13、 (2013 临沂二模)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 A ?

?

? c sin( ? B) ? a . 4
(1)求 B 和 C ; (2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积。

?

, b sin( ? C ) 4 4

?

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