河南省方城县第一高级中学高三12月月考数学(理)试题

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河南省方城县第一高级中学 2015 届高三 12 月月考数学 (理)试题
一 、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.集合 A={1,2},B={1,2,3},P={ x | x ? a ? b , a ?A, b ?B},则集合 P 的元素的个

数为( )

A.3

B. 4

C. 5

D. 6

2. 已知复数 z ? ? 1 ? 2

3 2

i

,则

z

?

|

z

|?





A. ? 1 ? 3 i 22

B. ? 1 ? 3 i 22

C. 1 ? 3 i 22

D. 1 ? 3 i 22

3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c) = P(? ? c ? 2) ,则 c 的值是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 函数 f (x) ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是( )

A. ab ? 0

B. a ? b ? 0

C. a2 ? b2 ? 0

Da ?b

? 5.

设双曲线 x 2 a2

?

y2 9

? 1?a ? 0?的渐近线方程为 3x ? 2y ? 0 ,则

a ( 1 ) dx 的值为( 1x



A.ln2

B. 0

C. ln3

D. 1

6. 某同学有相同的名信片 2 张,同样的小饰品 3 件,从中取出 4 样送给 4 位朋友,每位朋友

1 样,则不同的赠送方法共有( )

A.4 种

B. 10 种

C. 18 种

D. 20 种

7. 执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数

① f ?x? ? sin x ② f ?x? ? cos x ③ f ?x? ? e|x| ④ f ?x? ?| ln x |

则输出的函数的个数为( )

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

8 若 G 是 ?ABC 的重心, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,若

aGA ? bGB ? 3 cGC ? 0 ,则角 A ? ( ) 3

A. 90

B. 60 C. 45

D. 30

9. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 1 ,则该几何体的俯视图可 2
以是( )

10. 对于函数 f (x) ? eax ? ln x ,( a 是实常数),下列结论正确的一个是( )

A.

a ?1 时,

f

(

x

)

有极大值,且极大值点

x0

?

(

1 2

,1)

B. a ? 2 时,

f

(

x)

有极小值,且极小值点

x0

?

(0,

1 4

)

C. a ? 1 2

时,

f (x) 有极小值,且极小值点 x0 ? (1,2)

D. a ? 0 时, f (x) 有极大值,且极大值点 x0 ? (??,0)

11. 已知函数 f ?x? ?| 1? 1 | ?x ? 0?,当 0 ? a ? b ,若 f ?a? ? f ?b?时,则有( )
x

A. ab ? 1

B. ab ? 1

C. ab ? 1 2

D. ab ? 1 2

12. 在平面斜坐标系 xoy 中,x 轴方向水平向右, y 轴指向左上方,且∠xoy=23 . 平面上任一

点 P 关于斜坐标是这样定义的:若O→P= xe1 ? ye2 (其中向量 e1, e2 分别为 x 轴、 y 轴同方向的

单位向量),则 P 点的斜坐标为 (x, y) .那么以 O 为顶点,F(1,0)为焦点,x 轴为对称轴的抛物线

方程为( )

A. 3y2 ?16x ? 8y ? 0

B. 3y2 ?16x ? 8y ? 0

C. 3y2 ? 1 6x ? 8y ? 0

D. 3y2 ?16x ? 8y ? 0

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13.已知△ ABC的角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,cos A ? 3 ,b ? 5 3 ,B ? ? ,

5

3

则 a ? __________.

14. 在区间[0,2]和[0,1] 分别取一个数,记为 x、y,则 y ? ?x2 ? 2x 的概率为



15.设 g?(x) 是函数 g(x) 的导函数,且 f (x) ? g?(x) .现给出以下四个命题:

①若 f (x) 是奇函数,则 g(x) 必是偶函数; ②若 f (x) 是偶函数,则 g(x) 必是奇函数; ③若 f (x) 是周期函数,则 g(x) 必是周期函数;④若 f (x) 是单调函数,则 g(x) 必是单
调函数.

其中正确的命题是

.(写出所有正确命题的序号)

16. 已知 f ?x? ?|cos x | ?x ? 0?, y ? g (x) 是经过原点且与 f ?x? 图像恰有两个交点的直线,

这两个交点的横坐标分别为? , ? (0<? < ? ),那么下列结论中正.确.的有______.

① f ?x? ? g?x? ? 0 的解集为[? , ? ?)

② y ? f ?x? ? g?x?在(0,? )上单调递减

③? cos? ? ? cos? ? 0

④当 x ? ? 时, y ? f ?x? ? g?x?取得最小值
三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分)
已知正项数列{an}, 若对于任意正整数 p、q 均有 ap ? aq ? 2p?q 成立.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
(Ⅱ)若 bn ? nan , 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,
每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站共卖出 了 100 份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分 成以下几组:第一组,得到的频率分布直方图如图所示。

(Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买,设第 4 组中有 X 个产品被购买,求 X 的 分布列和数学期望。

19.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 4 正三角形,AA1⊥平面 ABC,AA1= 2 6 ,M
为 A1B1 的中点.
(I)求证:MC⊥AB;
(II)在棱 CC1 上是否存在点 P ,使得 MC ? 平面 ABP ?若存在, 确定点 P 的位置;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若点 P 为 CC1 的中点,求二面角 B ? AP ?C 的余弦值.
20.(本大题满分 12 分)

已知椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) ,过点 A(- a ,0),B(0,b )的直线的倾斜角为 ? 6



原点到该直线的距离为 2 , 2
(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 Q,P 两点,以 PQ 为直径的圆过点

D(-1,0),若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
21.(本大题满分 12 分)
设函数 f ?x? ? x ? ekx ?k ? 0? (1)求曲线 y ? f ?x?在点(0, f ?0?)处的切线方程; (2)求函数 f ?x? 的单调区间; (3)若函数 f ?x? 在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC
的延长线交 PQ 于点 Q。
(Ⅰ)求证:AC2=CQ·AB;
(Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。

23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4 坐标系与参数方程

在极坐标系下,已知圆

O

?

?

cos?

? sin?

和直线 l

?

sin(?

?

? 4

)

?

2 2.

(I)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;

(II)求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 (? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) .

24. (本小题满分 10 分) 选修 4―5 不等式选讲
已知函数 f (x) ?| 2x ? a | ?5x . (Ⅰ)求不等式 f (x) ? 5x ?1的解集; (Ⅱ)若不等式 f (x) ≤0 的解集为{x | x ? ?1} ,求 a 的值.


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