概率论题目总结


P.S. 第六七章的某些题目的解题过程真的是太难打了 只打了最终答案 = = 不过我在题目前表明了题目来源,同学们可以自己查看详细答案,sorry 了各位。 And 第八章的题目等到学完之后我再补充,sorry again.

第一章

预备知识

(作业内容)
1. 设当事件 A 与 B 同时发生时 C 也发生,则( ) A.A∪B 是 C 的子事件 B. C 是 A∪B 的子事件 C.AB 是 C 的子事件 D. C 是 AB 的子事件 答案:C 2.电话号码有 8 个数字组成,问电话局共能容纳多少个用户?(每个用户只用一个号码) 数字均不同的电话号码有多少种? 答案: (1) :10
8

8 (2)A 10

3. 设Ω ={x|0≤x≤2},A={x|

1 1 3 <x≤1},B={x| ≤x≤ }具体写出下列事件: 2 4 2

(1) A B(2) A ∪B(3) A B (4) AB

1 ]∪(1,2] 2 1 1 3 (1) A B=[ , ]∪(1, ] 4 2 2
答案:A=[0, (2) A ∪B=[0,2] (3) A B =[0,4) ∪( (4) AB =[0,

3 ,2) 2

1 )∪(1,2] 2

第二章

随机事件

(作业内容)
4.一个袋子装有 10 个大小相同的球,其中 3 个黑球,7 个白球,求 (1)从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率 (2)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率以及全是黑球的概率 答案:

(1)

3 10 7 15
P(两黑)=

(2)P(一黑一白)=

1 15

5.将 3 个球放入 4 个杯子中,问杯子中球的最大数为 1,2,3 的改路各是多少? 答案:设最多 i 个球的概率为 Pi P1=

3 8

P2=

9 16

P3=

1 16

6.(习题二第 4 题)从区间(0,1)中随机取两个数 x,y:试求下列概率: (1)A 两数之和小于 1.2 (2)B 两数之和小于 1 且其积小于 (3)C 满足条件 y >x 答案: (1)P(A)=0.68
2

3 16

1 3 + ln3 4 16 1 (3)P(C)= 3
(2)P(B)=

(PPT 内容)
7.指出下列各题中哪些成立,那些不成立?

(1) A ? B ? AB ;

(2) A ? B ? ( AB ) ? B;

(3) A B ? A ? B;

(4) A ? B C ? A B C ;
(6) 若 A ? B,则 A ? A ? B;

(5) ( AB)( AB ) ? ? ;
(7) 若 A ? B,则 A ? AB;
答案: (1)对; (2)对; (3)错; (4)错; (5)对; (6)错; (7)对; (8)对. 8.

(8) 若 A ? B,则 B ? A .

? ? {1,2,3,?,10}, A ? {2,3,4}, B ? {3,4,5}, C ? {5,6,7}
(1) A B; (2) A ? B; (3) A ? B; (4) A B ; (5) A BC

具体写出下列关系式:

答案:

2. (1) A B ? {5}; ( 2) A ? B ? {1,3,4,5?10}; ( 3) A ? B ? {2}; (4) A B ? A ? B ? {2,3,4,5}; (5) A BC ? {1,5,6?10}

第三章

随机事件的概率

(作业内容)
9.已知 P( A )=0.5,P(A B )=0.2,P(B)=0.4,求 (1)P(AB) (2)P(A-B ) (3)P(A∪B) (4)P( A B ) 答案:P(A)=0.5 P(A B )=P(A-B)=P(A)-P(AB) (1) P(AB)=P(A)-P(A B )=0.5-0.2=0.3 (2) P(A-B)=P(A)-P(AB)= P(A B )=0.2 (3) P(A-B )= P(A)+P(B)-P(AB)=0.6 (4) P( A B )=P( A ? B )=1-0.6=0.4 10.某城市中发行 AB 两种报纸,经调查,在这两种报纸的订户中,订阅 A 报纸的有 45%, B 有 35%,同时订阅两种报纸的有 10%,求只订一种报纸的概率 a。 答案:P(A B )+ P(B A )= P(A) -P(AB) +P(B) - P(AB) =0.45-0.1-0.35-0.1 =0.6 P(AB)=P(A)-P(A B )=0.5-0.2=0.3

11.观察某地未来 5 天的天气情况,记 Ai 为事件: “有 i 天不下雨” ,已知 P(Ai)=iP(A 0 ) , i=1,2,3,4,5,求下列各事件的概率: (1)A-5 天均下雨 (2)B-至少一天不下雨 (3)C-至多三天不下雨 答案:P(

? Ai )= ? P( Ai) =(1+1+2+3+4+5)P(A 0 )=16 P(A 0 )=1
i ?0 i ?0

5

5

P(A 0 )=

1 16

(1)P(A)= P(A 0 )=
5

1 16
0 )=

(2)P(B)=

? P( Ai) =15 P(A
i ?1 3

15 16

(3)P(C)=

? P( Ai) =7 P(A
i ?0

0 )=

7 16

(PPT 内容)
12.(约会问题)设两船到达同一码头的时间是随机的且各不相干.两船到达后需在码头停留 的时间分别是 1 小时与 2 小时, 试求一昼夜内, 任一船到达时, 需要等待空出码头的概率。 、答案:令事件 A 表示“任一船到达时需要等待空出码头”. 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时分别为 x 与 y ,则:0 ? x < 24 , 0 ? y < 24

? ? {( x, y) 0 ? x ? 24,0 ? y ? 24} A ? {( x, y) ( x, y) ??,0 ? y ? x ? 1, 0 ? x ? y ? 2} 1 2 2 S? ? 242 S A ? 2 ? 23 ? 22 ?
P( A) ? 1 ? SA ? 0.1207 S?

y 24 y=x+1 y=x-2
A

24
答案:令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同}

x

13. 有 r 个人,设每个人的生日是 365 天的任何一天是等可能的,试求事件“至少有两人同 生日”的概率.

为求 P(A),

先求 P( A )

r P365 P( A) ? (365)r

?

r P365 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (365)r

第四章

条件概率 相互独立性

(作业内容)
14.设 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求 P(A∪B)与 P(B-A) 答案: P(AB)= P(B|A)P(A)=0.4 P(A∪B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.7 P(B-A)= P(B)- P(AB)=0.2 15.一袋中装有 10 个球,其中 3 个黑球,7 个白球,先后两次从带中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)求两次取到的均为黑球的概率 (3)求第二次取到的是黑球的概率 (4)已知第二次取到的是黑球,求第一次取到的也是黑球的概率 答案:设 Ai 为“第 i 次取到黑球” (i=1,2) 所以 P(A1)=

3 7 P( A1 )= 10 10

(1)P(A2|A1)=

p( A1A2) 2 = 9 P( A1)
1 15 3 10

(2)P(A1 A2)= P(A2|A1)P(A1)=

(3)P(A2)= P(A2|A1)P(A1)+ P(A2| A1 )P( A1 )= (4)P(A1|A2)=

p( A1A2) 2 = P( A2) 9

16.设某批次产品中,甲乙丙三厂生产的产品分别占 45% 35% 20%,各厂的产品次品率分别 是 4% 2% 5%,现从中任取一件 (1)求取到次品的概率 (2)经检验发现取到的产品是次品,求该产品是甲生产的概率 答案: 设:A1 A2 A3 分别为取到甲 乙 丙的产品 B 为取到次品 (1) P(B)= P(B|A1)P(A1)+ P(B|A2)P(A2)+ P(B|A3)P(A3)=3.5% (2) P(A1|B)=

p ( A1B) p( B | A1) P( A1) = =51.4% P( B) P( B)

(PPT 内容)
17. 甲、乙、丙同时向一架飞机射击,他们击中目标的概率分别为 0.4,0.5,0.7,假定飞 机只有一个人击中时,坠毁的概率是 0.2,若有二个人击中,飞机坠毁的概率是 0.6,飞机 被三人击中一定坠毁. 现飞机坠毁了,计算是由三人同时击中的概率. 答案:

解:设 B ? “飞机坠毁”

Ai ? “i 个人击中飞机” i ? 0,1,2,3
P( B A0 ) ? 0,
P( B A1 ) ? 0.2,
P(B A2 ) ? 0.6,

P( B A3 ) ? 1

C1 , C2 , C3 分别表示甲、乙、丙击中飞机 P ( A ) ? P (C C C ) ? P(C )P(C )P(C ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.09
0 1 2 3
1 2 3

P ( A1 ) ? P (C1C2C3 ? C1C2C3 ? C1C2C3 ) ? 0.36
P ( A3 ) ? P (C1C2C3 ) ? 0.14,
P( A3 B) ? P( A3 ) P( B A3 )
i 3

P( A2 ) ? 0.41,

? P( A ) P( B A ) ? 0.306
i ?0 i

可放宽到

? A ? B,
i ?1 i

n

P( A3 B) ?

P( A3 ) P( B A3 )

? P( A ) P( B A )
i ?1 i i

3

P( A0 B) ? 0,

P( A1 B) ? 0.157,

P( A2 B) ? 0.537,

18. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概率。 答案:

解 : 将每次射击看成一次试验,设400次射击中 击中的次数为k , 则

k P400 (k ) ? C400 (0.02) k (0.98) 400? k , k ? 0, 1, ..., 400。

则至少击中两次的概率为: P ? 1- P400 (0) - P400 (1) ? 1- (0.98)400 - 400 ? (0.02) ? (0.98)399 。

第五章

一维随机变量

(作业内容)
19.某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布 答案: Z Pi 0 0.01 1 0.18 2 0.81

20.某射手有 5 发子弹,向靶子连续射击,直至击中靶子或者子弹用完为止,设他每次击中 靶子的概率为 0.9, 求耗用子弹的数 x 的分布律, 又问此人最多使用 3 发子弹的概率是多少? 答案: (1)x 的概率分布为 x Px 1 0.9 2 0.09 3 0.009 4 0.0009 5 0.0001

(2) P{x≤3}=1-P{x>3} =1-P{x=4}- P{x=5} =1-0.0009-0.0001=0.999

?kx 0≤x<3 ? 3≤x? ≤4 x 21.(习题七 第 2 题)设随机变量 X 具有概率密度 f(x)= ?2 ?
其他? ?0 求(1)常数 k

?

2

(2)求 X 的分布函数 F(X) (3)求 P{1<X≤7/2}

答案:(1 ) 概率密度的正则性 k=

1 6

?0 ? 2 ?x ? 12 ? (2)F(X)= ? x2 2x ? ?3 ? 4 ? ?1

x<0 0≤x≤3 3≤x≤4 x>4

(3)P{1<X≤7/2}=F(7/2)-F(1)=41/48

22 设 x~N(10,4)求下列事件的概率 (1) P{x<9} (2)P{7<x<12} (3) P{x>13}

9 ? 10 ) =1- ?(0.5) =0.3085 2 12 ? 10 7 ? 10 12 ? 10 3 ) - ?( ) = ?( ) -(1- ?( ) )= ?(1.5) + ?(1) -1 (2) P{7<x<12}= ? ( 2 2 2 2
答案: (1)P{x<9}= ? ( =0.7745 (3) P{x>13}=1- P{≤13}=1- ? (

13 ? 10 ) =1- ?(1.5) =0.0668 2
2

23 设随机变量 X 在(1,6)上服从均匀分布,求方程 x ? Xx ? 1 ? 0 有实根的概率。 答案:x ? Xx ? 1 ? 0 有实根,所以 X≥2 或 X≤-2
2

?1 1? x ? 6 ? , 又因为 X 在(1,6)上服从均匀分布,所以 Z~f(x)= ? 5 ? ?0,其他
所以 P{ X≥2 或 X≤-2}= P{ X≥2}+P{ X≤-2}=4/5

(PPT 内容)
24.一个靶子是半径为 2 米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积 成正比,并设射击都能中靶,以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函 数. 答案: (1) 若 x < 0, 则 {X<x } 是不可能事件,于是 F ( x) ? P{X ? x} ? P(?) ? 0. (2)若 0≤x≤2

由题意有:P{0 ? X ? x} ? k x2
? P{0 ? x ? 2} ? 1

取x ? 2 1 ? k? 4

即:

P{0 ? X ? x} ?

x2 . 4

25 从 1~10 这 10 个数字中随机取出 5 个数字, 令 X 为取出的 5 个数字中的最大值. 试求 X 的分布律. 答案:X 的取值为 5,6,7,8,9,10 则 X 的分布律为:

X P

5
1 252

6
5 252

7
15 252

8
35 252

9
70 252

10
126 252

Ck4?1 即: P?X ? k? ? 5 C10
26. (ch5.4~5.5 Page12 例 1)

?k ? 5, 6, ?, 10?
?ke?3 x , x ? 0 f ( x) ? ? x?0 ?0

设随机变量X的概率密度 试确定常数 k
答案:
k

并求
??

F ( x)



P{ X ? 0}

? ?? f ( x )dx ? ? 0


??

ke

?3 x

k ? dx 3

?1

所以

27

x?0 ?0 F ( x) ? ? f ( x)dx ? ? ?3 x ?? 1 ? e ,x ?0 ?
x

k?3

设r.vX的分布函数为

? 0, x ? 0 ? F ( x) ? ? x 2 , 0 ? x ? 1 ? 1, x ?1 ?
答案:(1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.72-0.32=0.4 (2) f(x)=

(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率; (2) 求X的概率密度.

F ?( x)

?2 x, 0 ? x ? 1 ?? ? 0, 其它

第六章

二维随机变量

(作业内容)
?1 0 ? x ? 2,2 ? y ? 4 ? (6 ? x ? y ), 28.设随机变量(X,Y)的联合分布律为 f(x,y)= ? 8 ? ?0, 其他
则 P(X<1,Y<3)=( ) A.

3 8

B.

4 8

C.

5 8

D.

6 8

答案:A 29(累屎了不想打了 解题过程自己看答案吧 习题八第 3 题) 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= 求(1)A 的值 (2) (X,Y)的分布函数 (3)P{0≤X≤1,0≤Y≤1} 答案: (1)概率密度的正则性 A= (2)F(X,Y)=

A ( 1? x ) (1 ? y 2 )
2

1 ? ? (arctanx+ )(arctan y + ) 2 2 2 ? 1 (3)P{0≤X≤1,0≤Y≤1}= 16
30(习题八第 4 题) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1 ?2

?cx 2 y, x 2 ? y ? 1 fY ( y ) = ? ?0,其他
(1) 确定常数 c (2) 求边缘概率密度 答案:

(1) 由正则性可得 c=21/4

? 21 2 21 6 ? x ? x ,?1 ? x ? 1 (2) fX(x)= ? 8 8 ? ?0, 其他

?7 5 ? y 2 ,0 ? y ? 1 fY(y)= ? 2 ?0, 其他 ?
31(习题九第 3 题) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?kxy 2 ,0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 fY ( y ) = ? ?0,其他
(1)确定系数 k (2)求边缘概率密度,并判断 x 与 y 是否相互独立 答案: (1)k=6 (2)fX(x)= ?

? 2 x ,0 ? x ? 1 ?0, 其他

fY(y)= ?

?3y 2 ,0 ? y ? 1 ?0, 其他

32(习题九第 5 题) 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为
y ?1 ?2 ? e ,y?0 fY ( y ) = ? 2 ? ?0, y ? 0

(1) 求 X 和 Y 联合概率密度 (2) 设含有 a 的二次方程为 a?+2Xa+Y=0,试求 a 有实根的概率。 答案:
y ?1 ? 2 ? e ,0 ? x ? 1, y ? 0 (1)f(x,y)=f X (x)f Y (y)= ? 2 ?0, 其他 ?

(2)P{4Z -Y≥0} = P{ Y≤4Z }
2

2

1-

?
2

(1 ? e ?1 )

(PPT 内容)
33 把一枚均匀硬币抛掷三次,设 X 为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律. 答案: ( X, Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=0)=1/8

34

设二维随机变量 ? X, Y ?的密度函数为:
?ce? ?3 x ? 4 y ? f ?x, y ? ? ? ? 0 x ? 0,y ? 0 其它

⑴ 求常数c;
⑵ 求 ? X, Y ?的联合分布函数;

⑶ 求 P ? 0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2?.
答案: (1)

35

设(X,Y)的概率密度是

?cy (2 ? x), 0 ? x ? 1,0 ? y ? x f ( x, y ) ? ? 0 , 其它 ?
求 (1) c的值; (2)两个边缘密度。
答案:

36 甲乙两人约定中午 12 时 30 分在某地会面.如果甲来到的时间在 12:15 到 12:45 之间是均 匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在 12:00 到 13:00 之间是均匀分布. 试求先到的人等待 另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率. 又甲先到的概率是多少? 答案: 设 X 为甲到达时刻,Y 为乙到达时刻 以 12 时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60)

?1 ? , 15 ? x ? 45 f X ( x) ? ? 30 ? 其它 ? 0,
由独立性可得

? 1 , 15 ? x ? 45,0 ? y ? 60 ? f ( x, y ) ? ?1800 ? 0, 其它 ?
5) 及 P(X<Y)

?1 ? , 0 ? x ? 60 fY ( y ) ? ? 60 ? 其它 ? 0,

所求为 P( |X-Y |

第七章

随机变量的函数及其分布

(作业内容)
37 设随机变量 x,y 相互独立,且具有如下概率分布 1 P 求 x+y 的概率分布 答案: x+y P 2 0.25 3 0.5 4 0.25 0.5 2 0.5

38

?x 0? x?4 ? , 设 X~ f X ( x) = ? 8 ? ?0, 其它

,求 Y=2X+8 的概率密度

答案: 设 Y 的分布函数为 FY(y), FY(y)=P{ Y < y } = P (2X+8 < y ) = P{ X <

y ?8 y ?8 } = FX( ) 2 2

于是 Y 的密度函数

fY ( y ) ?

dFY ( y ) dy

? fX (

y ? 8 dX )? 2 dy

fY ( y ) ?

dFY ( y ) y ?8 1 ? fX ( )? dy 2 2

? y ?8 ? , 8 ? y ? 16 fY ( y ) ? ? 32 ? 0, 其它 ?
39(习题十第 5 题) 设 X~N(0,1) (1) 求 Y=

e

X

的概率密度

(2) 求 Y=|X|的概率密度

答案:
ln y ? 1 ? e 2 ,y ? 0 ? (1)f(y)= ? 2? y ? ?0, y ? 0
2

? 2 -y ? e 2 ,y ? 0 (2)f(y)= ? ? ?0, y ? 0 ?
2

40(习题十一第 1 题) 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为

0 ? x ?1 ?1, f X ( x) = ? ?0, 其它
求 Z=X+Y 的概率密度

?y ? ? ,y?0 fY ( y) = ?e ? ?0, 其它

?0,z ? 0 dF ? ?z 0 ? z ?1 答案:f(z)= = ?1 ? e , dz ? ? z 1? z ?? e ? e , z ? 1

41(习题十一第 2 题) 若 X 和 Y 独立,具有共同的概率密度 f(x)= ? 求 Z=X+Y 的概率密度 答案:

0 ? x ?1 ?1, ?0, 其它

?0,z ? 0 ? 0 ? z ?1 f(z) = ? z, ?1, z ? 1 ?

(PPT 内容)
42

例2 例3X P

设随机变量X的分布律,

求 3

0 0.1

1 0.3

2 0.4

的分布律

? Y ? sin( X ) ? 1 2

0.2 的分布律。

答案:用表格表示

X Y P

0 1 0.1

1 2 0.3

2 1 0.4

3 0 0.2

P{Y ? 1} ? P{X ? 0} ? P{X ? 2} ? 0.5

Y P
43

0 0.2

1 0.5

2 0.3

设 X~ 求 Y=2X+8 的概率密度.
答案: 设 Y 的分布函数为 FY(y),

? x / 8, 0 ? x ? 4 f X ( x) ? ? ? 0, 其它
y ?8 2 y ?8 ) 2

FY(y)=P{ Y < y } = P (2X+8 < y ) =P{ X 所以 Y 的概率密度为

<

} = FX(

dFY ( y ) y ? 8 dX fY ( y ) ? ? f ( dF ( y ) y ? 8 1) ? X fY ( y ) ? Y dy ? f X ( )? 2 dy
dy 2 2

? y ?8 ? , 8 ? y ? 16 fY ( y ) ? ? 32 ? 0, 其它 ?
44

? X, Y ?的联合分布律为 设二维离散型随机变量

Y X 1 2 3 4

1
1 4 1 8 1 12 1 16

2 0
1 8 1 12 1 16

3 0 0
1 12 1 16

4 0 0 0
1 16

令:Z ? X ? Y,试求随机变量Z 的分布律.
答案:

Z P

2
1 4

3
1 8

4
5 24

5
7 48

6
7 48

7
1 16

8
1 16

45 (供电问题)某车间有 200 台车床,在生产 期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为 0.6, 并设 每台车床的工作是独立的,且在开工时需电力 1 千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 答案: 对每台车床的观察作为一次试验, 每次试验观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率为 0.6,共进行 200 次试验. 用 X 表示在某时刻工作着的车床数, X~B(200,0.6), 设需 N 台车床工作, 现在的问题是:求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的 N.

由中心极限定理,

X ? np np(1 ? p)

近似N(0,1),

于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)

? ?120 X ? 120 N ? 120 ? ? P? ? ? ? 48 48 ? ? 48
? ?( N ? 120 ? 120 ) ? ?( ) 48 48

? ?(
≥0.999

N ? 120 ) 48
?(3.1) ? 0.999

查正态分布函数表得



N ? 120 48

≥ 3.1,

从中解得 N≥141.5, 即所求 N=142. 也就是说, 应供应 142 千瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生 产. 第八章 随机变量的数字特征 (作业内容) (PPT 内容)


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