极限思想在高中数学中的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 极限思想在高中数学中的应用 作者:谈家国 来源:《中学生数理化· 教与学》2014 年第 08 期 极限思想是古人很早提出的一种设想.中国的古人曾经提出如果知识是无穷尽的,而人们 所知是有穷尽的,假设人不受生、老、病、死的限制,那么人是否能够获得无限的知识?人们 意识到无限的思想以后,就意识到如果不确定某个值,就选取一个最接近于它的值,并用这种 值描述它的趋势,这种思想构建了现代微积分知识的基础. 古时候,人们有时会无意识地应用这种知识. 例如,中国古代有本书,讲述这样一则故事.有一个牧羊人,他有 17 只羊,又有 3 个儿 子,他依照村规把一半的财产分给大儿子,又将剩下三分之一的财产分给二儿子,剩下九分之 一财产分给三儿子.可是人们发现 17 只羊没有办法完整的分配.这时有位智者,他将自己的 1 只 羊放进 17 只羊中,即为 18 只羊,那么老大得到 9 只羊,老二得到 6 只羊,老三得到 2 只羊, 剩下 1 只羊智者自己带回家.古时人们夸赞这种分配方法非常公平,然而现在人们可以看到, 它是利用了极限的方法,让分配的方法尽可能地合乎当初预定的结果.这种分配方法与现代微 积分的知识是不谋而合的. 极限的思想,即为一种无限接近于精准答案的思想,这种在精准答案不确定的的情形下, 应用最接近于精准答案的思路,能够解决人们的很多数学问题.高中教师要引导学生理解到极 限思想的最大应用价值. 一、应用极限思想解决无限的问题 所谓无限的问题是指人们需要求取一个数值,而这个数值求取的过程非常烦琐,人们如果 穷举这个范围内所有的数值将会非常困难.但是如果人们有无限的思想,则可以就用无限接近 的思想给出这个范围内最大的一个极限和一个最小的极限,则人们不需要穷举范围内所有的数 值,直接可以判断该范围. 例如,在讲“解析几何初步”时,教师引导学生思考:已知一个锐角三角形,它的边 AC 已 固定,BC=1,现 B 点在以 C 为圆心,半径为 1 的圆周上做运动(图略),求取 AB 的极限范 围. 分析:如果这一题用普遍的方法计算,学生会把计算过程变得非常烦琐.然而如果学生能 用数形结合的思想思考圆周运动的定义,则可迅速通过计算 AB 的取值范围直接得到答案为 (3,5). 二、应用极限思想解决逼近的问题 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 所谓逼近的问题是指人们遇到某种问题时,需要了解它的取值,然而这种取值是没有精确 答案的,人们于是使用极限的思想,尽可能取出与该精准值最接近的一个答案,它即为该问题 的最终答案.这种逼近的问题能帮助人们尽可能的解决不可能解决的问题. 三、应用极限思想解决决策的问题 所谓的概述问题是指人们在统计或计算中,需要了解某种数值.这种数值人们如果要精准 的计算,常常会得出不必要的循环小数,而在实践生活中人们不需要特别精准的答案,只需要 一个大概的数值帮助自己决策,因此可以用极限的思想把一此过于复杂的计算与统计全部省 略,得到人们需要的大概数字. 例如,在讲“算法初步”时,教师可以引导学生思考:现在某凉茶公司出售一瓶饮料,它的 售价为 2 元,顾客可以拿五只空瓶换一瓶饮料,如果该饮料成本为 1 元,使用该种销售方法, 每瓶厂家可得到的毛利为多少? 分析:学生如果能理解极限的思想,就可理解到 x 空瓶能换 x5 瓶凉茶,以此类推,它能 再次换回 x52 瓶,如果以极限的思想计算,则可将它的公式列为:x+x5+x52+…=limn→∞x(1x5n)1-15=5

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