极限思想在高中数学中的应用

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 极限思想在高中数学中的应用 作者:谈家国 来源:《中学生数理化· 教与学》2014 年第 08 期 极限思想是古人很早提出的一种设想.中国的古人曾经提出如果知识是无穷尽的,而人们 所知是有穷尽的,假设人不受生、老、病、死的限制,那么人是否能够获得无限的知识?人们 意识到无限的思想以后,就意识到如果不确定某个值,就选取一个最接近于它的值,并用这种 值描述它的趋势,这种思想构建了现代微积分知识的基础. 古时候,人们有时会无意识地应用这种知识. 例如,中国古代有本书,讲述这样一则故事.有一个牧羊人,他有 17 只羊,又有 3 个儿 子,他依照村规把一半的财产分给大儿子,又将剩下三分之一的财产分给二儿子,剩下九分之 一财产分给三儿子.可是人们发现 17 只羊没有办法完整的分配.这时有位智者,他将自己的 1 只 羊放进 17 只羊中,即为 18 只羊,那么老大得到 9 只羊,老二得到 6 只羊,老三得到 2 只羊, 剩下 1 只羊智者自己带回家.古时人们夸赞这种分配方法非常公平,然而现在人们可以看到, 它是利用了极限的方法,让分配的方法尽可能地合乎当初预定的结果.这种分配方法与现代微 积分的知识是不谋而合的. 极限的思想,即为一种无限接近于精准答案的思想,这种在精准答案不确定的的情形下, 应用最接近于精准答案的思路,能够解决人们的很多数学问题.高中教师要引导学生理解到极 限思想的最大应用价值. 一、应用极限思想解决无限的问题 所谓无限的问题是指人们需要求取一个数值,而这个数值求取的过程非常烦琐,人们如果 穷举这个范围内所有的数值将会非常困难.但是如果人们有无限的思想,则可以就用无限接近 的思想给出这个范围内最大的一个极限和一个最小的极限,则人们不需要穷举范围内所有的数 值,直接可以判断该范围. 例如,在讲“解析几何初步”时,教师引导学生思考:已知一个锐角三角形,它的边 AC 已 固定,BC=1,现 B 点在以 C 为圆心,半径为 1 的圆周上做运动(图略),求取 AB 的极限范 围. 分析:如果这一题用普遍的方法计算,学生会把计算过程变得非常烦琐.然而如果学生能 用数形结合的思想思考圆周运动的定义,则可迅速通过计算 AB 的取值范围直接得到答案为 (3,5). 二、应用极限思想解决逼近的问题 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 所谓逼近的问题是指人们遇到某种问题时,需要了解它的取值,然而这种取值是没有精确 答案的,人们于是使用极限的思想,尽可能取出与该精准值最接近的一个答案,它即为该问题 的最终答案.这种逼近的问题能帮助人们尽可能的解决不可能解决的问题. 三、应用极限思想解决决策的问题 所谓的概述问题是指人们在统计或计算中,需要了解某种数值.这种数值人们如果要精准 的计算,常常会得出不必要的循环小数,而在实践生活中人们不需要特别精准的答案,只需要 一个大概的数值帮助自己决策,因此可以用极限的思想把一此过于复杂的计算与统计全部省 略,得到人们需要的大概数字. 例如,在讲“算法初步”时,教师可以引导学生思考:现在某凉茶公司出售一瓶饮料,它的 售价为 2 元,顾客可以拿五只空瓶换一瓶饮料,如果该饮料成本为 1 元,使用该种销售方法, 每瓶厂家可得到的毛利为多少? 分析:学生如果能理解极限的思想,就可理解到 x 空瓶能换 x5 瓶凉茶,以此类推,它能 再次换回 x52 瓶,如果以极限的思想计算,则可将它的公式列为:x+x5+x52+…=limn→∞x(1x5n)1-15=5x4,则每瓶凉茶的价格为 2x5x4=85=1.6,最终可得利润为 6 角钱.极限思想能帮人 们化繁为简,解决实践生活中的一些问题,实际上那位古老的卖羊故事即利用极限思想完成该 类问题. 从以上的极限思想应用中可以看到,实际上极限思想拥有以下几种思想:无穷大的思想, 它是指用一种数学方式描述出一种事物的趋势,人们可能不了解这件事情的极限,但是人们可 以掌握该事物的趋势,并在该趋势范围内选取人们需要的一个范围,它能避免人们无穷列举的 问题;无穷小的思想,它是指人们需要精准的掌握一件事物,然而这件事物几乎不可能让人们 精准的了解或描述,因此人们用无限小的思想尽可能地选取最接近于精准答案的那个答案,它 能避免人们无法精神描述的问题;辅助决策的思想,这是指人们在决策一件事物时,人们有时 无法作准最精密无误的决策,然而人们却又必须解决决策的问题,所以人们寻找一个能帮助自 己决策的答案,这个答案能接近于人们需要的这个目标. 微积分是目前高中学生需要学习的数学知识,学生在学习微积分时,常常会感觉到微积分 知识复杂,他们觉得学习那么复杂的事物不知道能解决什么问题,教师要引导学生理解到无限 思想应用的方法,当学生理解到无限思想的巨大用处时,就会对学生微积分知识产生兴趣.

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