广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题 Word版含答案

惠州市 2013 届高三第一次模拟考试

数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 A. 1 ? ?

?,B ?? x| x

2

? 1 ? ,则 A ? B ? (



B. 1 , ? 1 , 5 ? ?

C. ? ? 1 ?

D. 1 , ? 1 , ? 5 ? ? )

2. 已知复数 z ? i (1 ? i ) (为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是( A. y ? 8 x
2

B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D.

y ? 4x
2

4.如图是某简单组合体的三视图, 则该组合体的体积为 ( )

A. 36 3(? ? 2) B. 36 3(? ? 2) C. 108 3?
?

D. 108( 3? ? 2)
? ? ? ?

5.已知向量 a ? (?1,1) , b ? (3, m) , a //(a ? b) ,则 m ? ( A.错误!未找到引用源。 2 D. 3 B . ?2

) C . ?3

6.设随机变量 ? 错误!未找到引用源。 服从正态分布 N (3, 4) 错误!未找到引用源。 ,若
P (? ? 2a ? 3) ? P (? ? a ? 2) 错误!未找到引用源。 ,则 a ? 错误!未找到引用源。 (
5 3



A.错误!未找到引用源。

3

B.

C.

5

D.

7 3

7.已知函数 f ? x ? ? 3 ? x ? 9 的零点为 x0 , 则 x0 所在区间为(
x



A. ? ? , ? ? 2 2
? ?

?

3

1?

B. ? ? , ? ? 2 2?
2

?

1 1?

C. ? , ? 2 2
? ?

?1 3?

D. ? , ? ?2 2?

?3 5?

8.设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为
? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( 0, ? 4? ? ? ? ? 1? ?

)

A. ? ?1, ? ? 2

B. ? ?1, 0?

C. ? 0,1?

D. ? ,1?
?2 ?

?1

?

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.在等差数列 {an } 中,有 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为 10. ( x ? ) 展开式中,常数项是
6

.
开始

2 x

. .

11.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是

S ? 2, k ? 1

12.已知集合 A、B、C, ={直线}, B ={平面}, C ? A? B . A
k ? 2013



若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题: 是
? a // b ?a ? b ? a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ①? ?c // b ?c ? b ?c ? b
S ? 1 1? S

输出 S

结束

④?

?a ? b ?c // b

?a?c

其中所有正确命题的序号是

.

k ? k ?1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 ?x ?1 ? 0 ?

z ? 3 x ? 2 y 的最小值为

.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. ? 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 3 2 ,曲线 C :
4

? ? 1 上的点到直线的距离为 d ,则 d 的最大值为

.

15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,连接 AC ,若
?CPA ? 30? ,则 PC ?

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 )
?
2

已 知 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1

,( x ? R , 其 中
2? 3

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

)的周期为 ? ,且图像上一个最低点为 M (

,

?1)

(1)求 f ( x) 的解析式;
?
12

(2)当 x ? [0,

] 时,求 f ( x ) 的值域.

17.(本小题满分 12 分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选 一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 第一小组 第二小组 总计 1 2 3 科目乙 5 4 9 总计 6 6 12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ? 的分 布列和数学期望.
18 .(本小题满分 14 分)如图, ABC ? A1B1C 1 中,侧棱与底

A1 N B1 M A B

C1

C

面垂直, AB ? AC , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 M , N 分别为 A1B 和 B1C 1 的中点. (1)证明: MN // 平面A1 ACC 1 ; (2)求二面角 N ? MC ? A 的正弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
3 2 2 2

y P

的椭圆过点( 2 , (1)求椭圆的方程;

) .

Q

O

x

(2)设不过原点 O 的直线与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满 足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log mx( m 为常数,0 ? m ? 1 ) 且数列 ? f (an )? 是首项为 2 , , 公差为 2 的 等差数列. (1) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 m ?
2 2

时,求数列 ?bn? 的前

n

项和 S ;
n

(2)设 cn ? an ? lg an ,如果 ?cn? 中的每一项恒小于它后面的项,求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x 2 ? bx ? 1 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 5 x ? 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根,求实数 k 的值;
? (3)数列 ?an? 满足 2a1 ? f (2) , an ?1 ? f (an ), n ? N ,

求S ?

1 a1

?

1 a2

?

1 a3

? ???? ?

1 a2013

的整数部分.

惠州市 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理科)答案 一、选择题.本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 l C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A

二、填空题;本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 52 10. 60
11. 1 2

12. ④

13.-4

14. 3 2 ? 1

15. 3 3

1. 解析】 【 因为 A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 故选 C .

? =?

?1 , 5

? ;B ? ? 1 ,

? 1 ? ,A ? B ?

?

?1 ?

2.【解析】因为 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,所以 z ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i 对应的点在复平面的第二象限. 故选 B . 3. 【解析】抛物线的准线方程为 x ? -2, ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0)? 则其准线方程为 x ? ?
2

p 2

? ∴?

p 2

? ?2? 解得 p ? 4, ∴抛物线的标准方

程为 y ? 8x .故选 A .
2

4.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底 面 半 径 为 6 , 椎 体 底 面 边 长 为 12 , 高 为
6 3 .V ?

1 3

?

1 2

? ? ? 36 ? 6 3 ?
?

1 3

?

1 2
?

? 12 ? 6 ? 6 3 ? 36 3(? ? 2) 故选 B .
? ? ? ?

5. 【解析】 向量 a ? (?1,1) , ? (3, m) , a ? b) ? (2, m ? 1) , 因为 a //(a ? b) ∴ ?(m ? 1) ? 2 , b (
m ? ?3 故选 C .

?

6.【解析】因为 ? 错误!未找到引用源。服从正态分布 N (3, 4) 错误!未找到引用源。,
7 3
5 2

P (? ? 2a ? 3) ? P (? ? a ? 2) ,? 2a ? 3 ? a ? 2 ? 6, a ?

. 故选 D .

7.【解析】因为 f ? x ? 为增函数, 又f ( ) ?
2

3

27 ?

?5? ? 9 ? 0, f ? ? ? 2 ?2? 3

243 ?

? 9 ? 0 .故

选D.

8. 解析】 P ( x0 , y0 ) , 【 设 倾斜角为 ? ,0 ? tan ? ? 1 , f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , f'(x)=2x+2 ,
2

0 ? 2 x0 ? 2 ? 1 , ?1 ? x0 ? ?

1 2

,故选 A .

9. 【解析】等差数列 ?an? 中,有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 3a 7 ,? a 7 ? 4,? S 13 ? 13a 7 ? 52 , 故此数列的前 13 项之和为 52 .
6?r

10 .【 解 析 】

T

( r ? 1)

?C

r

6

x

(? ) x

2

r

? C ( ?2)
r 6

r

x

3 3? r 2

,故

r ?2

时,

C

2 6

( ?2) ? 60 .

2

11.【解析】由框图可知: S ? 2, ?1, , 2, ?1, ?? ,
2 2

1

1

周期为 T ? 3, , 2013 ? 3 ? 671 ,故输出 S 的值是

1 2

.

12. 【解析】由题意知: C 可以是直线,也可以是平面, 当 C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确. 13.【解析】做出不等式对应的可行域如图, 由 z ? 3x ? 2 y 得 y ?
3 2 3 2 z 2
2 2

x?

z 2

,由图象可知当直线 y ?

3 2

x?

z 2

经过点 C (0, 2) 时,直线

y?

x?

的截距最大,而此时 z ? 3 x ? 2 y 最小为 z ? 3 x ? 2 y ? ?4 .

14.【解析】直线的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 ,为圆;d 的 最大值为圆心到直线的距离加半径,即为 d max ?
0?0?6 2 ?1 ? 3 2 ?1

15.【解析】连接 BC ,设 ?PCB ? ? ,则 ?CAP ? ? ,三角形 CAP 中,
? ? (? ? 90?) ? 30? ? 180? , 所 以 ? ? 30? , 所 以 BP ? CB ?
CP ? BP?AP ? 3 ? 9 ? 27 ,故 CP ? 3 3
2

1 2

AB ? 3 , 而

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? ,知 T ? 所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1
2? ? ? ,则有 ? ? 2 ;…….1 分

?

因为函数图像有一个最低点 M (

2? 3

,

?1) , A ? 0 ,

所以 A ? 2



sin(2 ?

2? 3

? ? ) ? ?1 ,

…………………………

3分

则有 2 ?

2? 3

?? ?

3? 2

? 2 k?

(k ? Z )

……………………………
?
2

4分

解得 ? ?

?
6

? 2 k?

(k ? Z ) ,

因为 0 ? ? ?

,所以 ? ?

?
6

……….6 分

所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ?1

x?R

……………………………
?
3

7分

(2)当 x ? [0,

?
12

] 时, 2 x ?

?
6

?[

?
6

,

],

…………………………… 8 分

则有 sin(2 x ?

?

1 ) ?[ , 6 2

3 2

] ,所以 f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ? [2,

1?

3] ……11 分

即 f ( x) 的值域为 [2, 1 ? 3] 。 ……………………… 12 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A , “从第二小组选出的 2 人选科目乙””为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立, 且 P ( A) ?
C5 C
2 2 6

?

2 3

,

P( B) ?

C4 C
2 6

2

?

2 5

.………………………………4 分

所以选出的 4 人均选科目乙的概率为
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 2 3 4 15 ? 2 5 ? 4 15
1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 C , P (? ? 3) ? 5 ? 2 ? , ? ? 2? 2 ? 2 2 2 45 45 C6 C6 C6 C6 C6 C6
2 1 1 1 2 1

…………………………… 6 分

(2)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得
P (? ? 0) ?

,

P (? ? 1) ?

P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ?

2 9

…9分

? 的分布列为 ?
P
0

2
22 45 2 9

3

4 15

1 45

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 15

? 1?

22 45

? 2?

2 9

? 3?

1 45

?1

…………12 分

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) A1 解 : N P (1)证法一: 连接 AB1, AC1 …………1 分 B1 由题意知,点 M , N 分别为 AB1 和 B1C 1 的中点,
? MN // AC 1 .
M

C1

…………3 分 又 MN ? 平面 A1 ACC 1 , AC 1 ? 平面 A1 ACC 1 , …………5 分 …………6 分 ? MN // 平面 A1 ACC 1 .

A B

C

证法二:取 A1B1 中点 P ,连 MP, NP ,而 M , N 分别为 AB1 与 B1C 1 的中点,
? MP // A1 A ,…………2 分 MP ? 平面A1 ACC 1 , AA1 ? 平面A1 ACC 1 , ? MP // 平面A1 ACC 1 ,

同理可证 NP // 平面A1 ACC 1 …………4 分 又 MP ? NP ? P ? 平面 MNP //平面 A1 ACC 1 . …………5 分
? MN ? 平面 MNP ,? MN // 平面 A1 ACC 1 .

z
…………6
P B1 A1 N C1

分 证法三(向量法): 以点 A 为坐标原点,分别以直线
AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

M

如图所示.于是 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), M (1, 0,1), N (1,1, 2)
A C

y

? AB ? AC , AB ? AA1 , AC ? AA1 ? A ,

B

x
? AB ? 平面A1 ACC 1 ??? ? ? 向量 AB (2, 0, 0) 是平面 A1 ACC 1 的一个法向量

…………2 分 …………4 分

??? ???? ? ? ???? ? MN (0,1,1) , AB ? MN ? 2 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? AB ? MN

又 MN ? 平面A1 ACC 1 …………5 分 ………6 分 ? MN // 平面 A1 ACC 1 . (2)解法一: 以点 A 为坐标原点,分别以直线
AB, AC , AA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示.


A( 0 B , 0 ,C 0


) , A,(0, 0, 2), B2(2, 0, 2),0 1(0, 2, 2) , M (1, 0,1), N ( 1 ( 1 , C , 0 ) , (1,1,0 …… 2 2) , , 0 )

……8 分

由(1)知 MA1 是平面 MCA 的一个法向量, MA1 ? (?1, 0,1) .
? ???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

…………10 分

设平面 NMC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , MN ? (0,1,1) , MC ? (?1, 2, ?1) ,
? ???? ? ? n ? MN ? 0 ?y ? z ? 0 ? y ? ?z ? , ?? ?? ? ? ? ???? ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? x ? ?3 z ? n ? MC ? 0 ?
? ? n ? (3,1, ?1)

…………12 分
?

设向量 MA1 和向量 n 的夹角为 ? ,则
???? ? ? MA1 ? n cos ? ? ???? ? ? ? MA1 n ( ?1) ? 3 ? 0 ? 1 ? 1? ( ?1) ( ?1) ? 0 ? 1 ? 3 ? 1 ? ( ?1)
2 2 2 2 2 2

???? ?

?

4 22

…………13 分

? 二面角 N ? MC ? A 的的正弦值为 1 ? cos ? ?
2

1?

8 11

?

33 11

…………14 分

解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连 DC 1、CD1 交于点 O ,连 B1 A、B1O ,显 然, A、M 、C、B1、D1、O ,都在同一平面 ACB1D1 上. …………7 分 易证 B1O // MC , C 1O ? CD1 ,
? B1D1 ? 平面 C 1CDD1 , C 1O ? 平面 C 1CDD1 ,
? C 1O ? B1D1 ,又 B1D1 ? CD1 ? D1 ? C 1O ? 平面 ACB1D1 .
B1 H M O
Q
P

A1

N D1

C1

取 B1O 中点 H ,连 NH ,
? N、H 分别是 B1O, B1C 1 的中点 ? NH // C 1O , ? NH ? 平面 ACB1D1 ,
A

C D

…………9 分 B 且 H 为垂足,即 NH ? 平面 AMC ,过点 O 作 OP ? MC 于 P , 过 H 作 HQ // OP 交 MC 于 Q ,连 NQ , 则 ?NQH 即是所求二面角 N ? MC ? A 的补角. …………11 分 在 Rt ?MAC 中, CM ?
sin ?MCA ? AM MC ? 2 6

B1

D1 H

M
Q

O

AM ? AC ?
2 2

2 ?
2

2 ?

2

6,

P

A

C

?

1 3
1 3 6 3
2 3 3

,

sin ?OCP ? sin(

?
2

? ?MCA) ? cos ?MCA ?

1?

?

,

在 Rt ?OPC 中, sin ?OCP ?

OP 2

,? OP ?

2?

6 3

?

? HQ ? OP ?

2 3 3

又 MH ?

1 2

C 1O ?

2 2

? 在 Rt ?NQH 中, NQ ?

NH ? HQ ?
2 2

1 2

?

4 3

?

11 6

, …………12 分

2 ? sin ?NQH ? NH NQ ? 2 11 6
33 11

?

33 11

. …………13 分

? 所求二面角 N ? MC ? A 的正弦值为

………14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可设椭圆方程为
?c ? ? ? 则 ?a ? 2 ? ? a2 ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) ,……………1 分

3 2 1 2b
2

,……………3 分
?1

, 解的 ?

?a ? 2 ?b ? 1

,……………5 分

所以,椭圆方程为

x

2

? y ? 1.
2

……………6 分

4

(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为 0, 故可设直线的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P ( x1, y1), Q ( x 2, y 2) ,……………7 分
? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ,……………8 分 2 ? y ?1 ? ? 4

则 ? ? 64k b ? 16(1 ? 4k b )(b ? 1) ? 16(4k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2

且 x1 ? x 2 ?

?8km 1 ? 4k
2

, x1 x 2 ?

4m ? 1
2

1 ? 4k
2

2

.……………9 分

故 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m .
2

因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,
y 2 y1 k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m ?8k m 2 2 ? ? ? k ,即 ? m ? 0 ,……………10 分 2 x 2 x1 x1 x 2 1 ? 4k
2 2 2 2

所以,

又 m ? 0 ,所以 k ?
2

1 4

,即 k ? ?

1 2

.……………11 分

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△ >0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 .
2 2



d


d ? PQ ?


1 2

O


2


2

线











S ?OPQ ?

1 2

m ? x1 ? x 2 ?

m (2 ? m ) ,…………12 分

所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) . ……………… 14 分 20. (本小题满分 14分) (1) 证:由题意 f (an ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log man ? 2n , ……1 分

? an ? m . ……2 分
2n

bn ? an ? f (an ) ? 2n ? m

2n


1
n ?1

当m ?

2 2

时, bn ? an ? f (an ) ? n ? ( )
2

.
1
n ?1

…………3 分 , ①

∴ Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( )
0 1 2

1

1

1

2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 n Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ② ……4 分 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ①-②,得 Sn ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2
1 n 1? (1 ? ( ) ) 1 n 2 ? ? n ? ( ) ……6 分 1 2 1? ( ) 2

∴ Sn ? ?(n ? 2) ? ( )
2

1

n ?1

?4

……7 分
?

(2) 解:由(1)知, cn ? an ? lg an ? 2n ? m 2 n lg m ,要使 cn ? cn ?1 对一切 n ? N 成立, 即 n lg m ? (n ? 1)m lg m 对一切 n ? N 成立.
2

?

……8 分
?

? 0 ? m ? 1,? lg m ? 0 ? n ? ( n ? 1) m ,对一切 n ? N 恒成立,
2

) min ,……10 分 n ?1 n 1 n 1 ? 1? ) min ? . 单调递增,∴当 n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2

只需 m ? (
2

n

……12 分

∴m ?
2

1 2

,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? m ?
2 2

2 2

.

……13 分 ……14 分

综上所述,存在实数 m ? (0, 21. (本小题满分 14 分)

) 满足条件.

解: (1) f'(x)=2ax+b ,……………1 分

依题设,有 ?
?a ? 1 ?b ? ?1
2

? f `(3) ? 5 ? f (3) ? 7

,即 ?

?6 a ? b ? 5 ?9a ? 3b ? 1 ? 7

,……………2 分

解得 ?

……………3 分

? f ( x )=x ? x ? 1 .
x

……………4 分
2 x
2 ?x

(2)方程? f ( x)=ke ,即 x ? x ? 1 ? ke ,得 k ? ( x ? x ? 1)e 记 F(x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x , 则 F'(x)=(2x ? 1)e
?x



………5 分

? ( x ? x ? 1)e
2

?x

? ?( x ? 3 x ? 2)e
2

?x

? ?( x ? 1)( x ? 2)e

?x

. ……6 分

令 F'(x)=0 ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 ………7 分 当 x 变化时, F'(x) 、 F(x) 的变化情况如下表:

∴当 x ? 1 时,F(x)取极小值

1 e

;当 x ? 2 时,F(x)取极大值

3 e
2

…………8 分

作出直线 y ? x 和函数 F(x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x 的大致图象,可知当 k ?

1 e

或k ?

3 e
2

时,

它们有两个不同的交点,因此方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根, ………9 分 (3) 2a1 ? f (2) ? 3 ,得 a1 ?
3 2
? an ? 1 ? an ? an ? 2an ? 1 ? ( an ? 1) ? 0 ,
2 2

? 1 ,又 an ? 1 ? f (an ) ? an ? an ? 1 。
2

? an ? 1 ? an ? 1 .

…………………10 分

由 an ? 1
? 1

?

an ? an ? 1 ,得 an ? 1 ? 1=an (an ? 1) ,………11 分
2

a

? ?1

1

n ? 1

a (a
n

? ? 1)

1

n

a

?

1

n

?1

a

,即
n

1

a

?

1

n

a
1

?

1

n

?1

a
1

n ? 1

?1

………12 分

?

S

?

1

a

?
1

1

a

???
2

1

a

?(

1

2013

a

?

1

1

?1

a

)?(

2

?1

a

?

2

?1

a

) ??? (

1

3

?1

a

? ?1

1

2013

a

)
2014

?1

?

1

a

?

1

1

?1

a
?
1

? ?1

2?

1

2014

a

? ?1

2

2014

又S

?

1

1

a

a

?
2

2 3

?

4 7

?

26 21

? 1 ………13 分

即 1 ? S ? 2 ,故 S 的整数部分为.

…………l4 分


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