必修一导学案学高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用导学案 新人教A版必修2

第四章 4.2.3 直线与圆的方程的应用
【学习目标】 (1)理解直线与圆的位置关系 的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当 的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 【学习重点】 学习重点:直线与圆的方程的应用. 学习难点:直线与圆的方程的应用时,坐标系的建立、方程的确定。 【知识链接】 1,回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。 2 2 2 2,圆的标准方程是:(x-a) +(y-b) =r 圆心(a,b);半径:r. 3,你能说出直线与圆的位置关系 吗? 【例题讲解】 1. 标准方程问题:圆(x-2) +(y+3) =4 上的点到 x-y+2=0 的最远距离
2 2

最近的距离



最大距离:

7 2 7 2 ? 2 ;最小距离: ?2. 2 2

2.轨迹问题:过点 A(4,0)作直线 L 交圆 O:x +y =4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程

2

2

解 :设中点 P(x,y)由垂径定理知,

y y ? ?1 , x x?4
2 2

整理得: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 即 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 (在 x +y =4 内部分) 。

3.弦长问题: 直线 L 经过点(5,5),且和圆 x +y = 25 相交,截得的弦长为 4 5 , 求直线 L 的方程。
2 2

设 L 的方程为 y-5=k(x-5) 则 (

5 ? 5k 1? k
2

) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25

解得:k=2 或 k=

1 2

所以 L 的方程分别为:2x-y-5=0 x-2y+5=0

4.对称问题:求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2 ? 对称的圆的方程.
2 2

解:圆心(1,-1)关于点(2,2)的对称点为(3,5)则所求的圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( x ? 5) 2 ? 4

5.实际应用问题:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20c m,拱高 OP=4m,建造 P2 P 时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m). 4m (教材 130 页例 4)

A

A1

A2 O A3

A4

B

6.用代数法证明几何问题: 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条 边所对边长的一半. (教材 130 页例 5)

B C O A

D

六、达标检测 2 2 1,求直线 l :2x-y-2= 0 被圆 C:(x-3) +y =9 所截得的弦长

2 145 5
2,圆(x-1) +(y-1) =4 关于直线 L:x-2y-2=0 对称的圆的方程
2 2

(x ?

11 2 2 ) ? ( y ? )2 ? 4 5 5

3,赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约 7.2m,求拱圆的方程 x +(y+20.7) =27.9
2 2 2

4,某圆拱桥的水面跨度 20m,拱高 4m。现有一船, 宽 10m,水面以上高 3m,这条船能否从桥下通过?

以表示水面跨度的 AB所在直线作为 x轴,以表示拱高的 OP所在的直线 作为y轴建立直角坐标系,其 中B, P, P 10,0) , (0,4), 1, P 2 , 的坐标分别为( (?5, y0 ), (5, y0 ), 则船能否通过拱桥,只 需比较y0与3的大小关系。 2 2 2 设圆弧所在的圆的方程 为:x ? ( y ? b) ? r 把B(10,0), P(0,4)代入方程可得
2 2 2 ? ?10 ? b ? r .......... ...解得b ? ?10.5, r 2 ? 14.5 2 ? 2 2 2 ? ?0 ? (4 ? b) ? r

所以,圆的方程是: x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.5 2
2 把( 5,y 0)代入方程得: 52 ? (y 0 ? 10.5) ? 14.5 2

因为 0 ? y 0 ? 4....所以y 0 ? 3.1..... 因为 3 ? 3.1 答 : 该船可以通过拱桥。
【问题与收获】


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