2017-2018学年人教A版高中数学选修4-7第1讲优穴三黄金分割法__0.618法一课件_图文

三 黄金分割法——0.618 法(一)
[学习目标] 1.理解用黄金分割法进行试验设计的原理. 2.了解黄金分割常数的推导过程.

[预习导引]

(1)优选问题通过试验方法找到最佳点时,“最快”找到或确定

合适的试点的两个原则为:

①安排试验点时,最好使两个试验点关于区间[a,b]的中心a+2 b _对__称__.

②每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数 相同 .

(2)黄金分割常数用 ω 表示.其值 ω=

-1+ 5 2

,其近似值

是 0.618.黄金分割常数是一元二次方程 x2+x-1=0 的一个根.

(3)设 M 为线段 AB 上的一点,若有 AB∶AM=AM∶MB,则点

M 叫做线段 AB 的黄金分割点,令 AB=1,AM=x,则 x=
5-1 称之为黄金比(或黄金率).
2

要点一 黄金分割常数的意义

例 1 下列说法中,正确的个数为

()

①黄金分割常数,是指事物各部分之间的一种比例关系,它表示

将整体一分为二,较大部分和较小部分之间的比例等于整体和较

大部分之间的比例;

②黄金分割点,是指在已知线段上的一点,它分线段为两部分,

其中一部分是全线段与另一部分的比例中项;

③黄金分割常数,就是方程 t2+t-1=0 的正实根; ④正五边形的两条对角线的一个交点是对角线上的黄金分割点.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ②③④正确.①中黄金分割常数为较大部分和较小部分之间 的比例等于较大部分与整体之间的比,故①错.

答案 C

规律方法 黄金分割常数就是方程 x2+x-1=0 的正根,在自然

界与几何图形中普遍存在.

跟踪演练 1 下列实际问题与黄金分割常数有关的为 ( )

①一名有经验的教师在 45 min 的课堂里至少要留 10.7 min 给学生

自主学习;

②设计师在许多图案选择中,常常采用五角星;

③腿短的女生喜爱穿高跟鞋;

④人们最喜欢春秋气温.

A.②③

B.②④

C.②③④

D.①②③④

解析 以上四种现象均与黄金分割常数有关,所以答案为 D.

答案 D

要点二 几何中的黄金分割数 例 2 若椭圆ax22+by22=1 的左焦点到左准线的距离等于长半轴长,证
明椭圆的离心率为黄金分割数.

证明 由题意可得:ac2-c=a?c2+ac-a2=0

????ac???2+ac-1=0?ac=-12±

5 .

∵ac∈(0,1),∴ac=-1+2

5 .

即 e=-1+2 5=ω.

规律方法 依黄金分割常数确定的几何图形更富美感,这一点在美 术,雕塑中被普遍采用. 跟踪演练 2 如图,△ABC 是正五角形的一个角所在的三角形,AD 是∠CAB 的平分线,求证:DDCB=AACB=ω(其中 ω 是黄金分割常数).
证明 由条件可知△ABC 是等腰三角形,且∠C=36°, 所以∠CAB=∠CBA=72°,则 AC=BC. 由 AD 是∠CAB 的平分线可得∠DAB=36°,

所以∠ADB=∠CBA=72°,则 AD=AB.
所以△ABC∽△BDA,所以AACB=BBDA, 即 AB2=AC·BD. 在△ADC 中,由∠CAD=∠C=36°,知 AD=CD.所以 CD2=BC·BD. 设 BC=1,CD=t(0<t<1),则 BD=1-t,所以 t2=1-t,解得 t =-1+2 5或 t=-1-2 5(舍去),即CBDC=t=-1+2 5=ω, 故DDCB=AACB=ω.

要点三 用 0.618 法确定试点 例 3 为了提高某产品的质量,对影响质量的一个因素进行优选.
已知此因素范围为[1 000,2 000],用 0.618 法安排试验,第一 个和第二个试点安排在何处?如果第一点效果比第二点好,第 三个试点应选在何处?
解 在因素范围[1 000,2 000]内,用 0.618 法安排试验,第一 个试点 x1 满足 x1=1 000+0.618(2 000-1 000)=1 618; 第二个试点 x2 满足 x2=1 000+2 000-1 618=1 382. 试验结果,如果 x1 的效果比 x2 好,舍去 x2=1 382 以下部分,则 第三个试点 x3 满足 x3=2 000+1 382-1 618=1 764. 示意图如下:

规律方法 0.618 法满足的原则是: (1)每次要进行比较的两个试验点,应关于相应试验区间的中点对称; (2)每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数应相同.
跟踪演练 3 例题条件不变,如果第二点效果比第一点好,那么第 三个试点应选在何处?
解 由于 x2 的效果比 x1 的效果好, 消去 x1=1 618 以上部分, 此时的存优范围为[1 000,1 618], ∴x3=1 000+1 618-1 382=1 236, ∴第三个试点应选在 1 236 处.

1.通过缩小存优范围来寻找最优点的方法: (1)在因素范围[a,b]内任选两点各做一次试验,根据试验结果 确定好点与差点.(2)在差点处把区间[a,b]分为两段,截掉不含 好点的一段,留下存优范围[a1,b1],(3)再在[a1,b1]内重复上 述过程,从而达到可使存优范围逐步缩小的目的.
2.利用黄金分割法寻找最优点的原则: (1)使两个试点关于[a,b]的中心a+2 b对称; (2)保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等.


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