高中数学必修5课件全册(人教A版)


高中数学必修五课件全册 (人教A版)

2016年1月8日

第一章 解三角形 单元复习
第一课时

知识结构

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

正弦定理

基本计算

余弦定理

解三角形

三角变换

面积公式

实际应用

知识梳理

1.正弦定理
a b c = = = 2R sin A sin B sin C

2.余弦定理

c = a + b - 2ab cosC 2 2 2 a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B

2

2

2

4.面积公式
1 abc a sin B sin C S = ab sin C = = aR sin B sin C = =L 2 4R 2 sin A
2

5.解三角形 已知一边两角或两边与对角:正弦定理 已知两边与夹角或三边:余弦定理

6.距离测量 一个不可到达点:测基线长和两个张角 两个不可到达点:测基线长和四个张角 7.高度测量 在地面测仰角;在空中测俯角;在行 进中测方位角.

8.角度测量
测量行进方向;测量相对位置.

例题分析 例1 在△ABC中,已知AB=3,AC=4, BC= 13 ,求三角形的面积.

S = 3 3
例2 在△ABC中,已知 A B = 4 3 , A C = 2 3 , D为BC的中点,且 ∠BAD=30°,求BC边的长.

BC = 2 21

2a = (1 +

3)c

例3 在△ABC中,已知A=2C,BC=AC+1, AB=AC-1,求三角形的三边长.
AB=4,AC=5,BC=6. 例4 在△ABC中,已知sin2A+sin2C= sin2B+sinAsinC,且 2a = (1 + 3)c , 求角A、B、C的值.

B=60°,C=45°,A=75°.

例5 (2006年湖南卷)如图,D是直 角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记 ∠CAD=α ,∠ABC=β . (Ⅰ)证明sinα +cos2β =0; (Ⅱ)若AC=DC,求β 的值.
A

β =60°
B

α β D C

作业:

P19习题1.2A组:3,4,5.

第一章 解三角形 单元复习
第二课时

例题分析

例1 在△ABC中,已知A=60°,且 4sinBsinC=1,求角B、C的值. B=105°,C=15°.
例2 在△ABC中,已知 b-c=2acos(60°+C),求角A的值. A=120°.

例3 在△ABC中,已知ac=b2,求 cos(A-C)+cosB+cos2B的值.
1 例4 在△ABC中,已知a+c=2b,求
1 ? cosA 1 ? cosC ? sinA sinC

的值. 3

例5 在△ABC中,已知a=3,A=60°, 求△ABC的周长的最大值. 9 例6 在△ABC中,已知△ABC的面积
S= r uuu r 3 uuu AB ?BC 2

,且存在实数λ 使得

a+c=λ b,求λ 的取值范围.
(1,2]

作业: P20习题1.2A组:12,13,14.

第一章 解三角形 单元复习
第三课时

例题分析 例1 如图,在高出地面30m的小山顶 上建有一座电视塔AB,在地面上取一点C, 测得点A的仰角的正切值为0.5,且∠ACB =45°,求该电视塔的高度.
B

150m
C

A

例2 如图,有大小两座塔AB和CD, 小塔的高为h,在小塔的底部A和顶部B测 得另一塔顶D的仰角分别为α 、β ,求塔 CD的高度. D
h cos b sin a CD = A D sin a = sin(a - b )
B

A

C

例3 (2007年山东卷)如图,甲船以每 小时30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按 固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时, 乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此 时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2 北 处时,乙船航行到甲 船的北 东 120° A 偏西120°方向的B2处, 2 此时两船相距 10 2海里, B 2 问乙船每小时航行 105° A1 多少海里? B1

30 2




例4 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救 信号.某海军舰艇在A处获悉后,立即测出该 渔船在方位角(从指北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为45°,距离为10海里的B 处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向, 以9海里/小时的速度前行. 该海军舰艇立即 以21海里/小时的速度前去营救,求舰艇靠近 北 渔船所需的最短时间.
B
105° C 东

40分钟
A

45°

例5(2008年湖南卷)在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水 域.在点E正北55海里处有一个雷达观测站A, 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船,位于点A 北偏东45°方向,且与点A相距 海里的 40 2 位置B.经过40分钟又测得该船已行驶到 点A北偏东45°+θ 方向,且与点A相距 10 13 海里的位置C. (1)求该船的行驶速度; (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由.
26 o sin q = , 0 < q < 90o (其中 ) 26

北 45° A D F E C

B



作业:

P24复习参考题A组:2,3,5.

数学必修⑤《数列》

单元总结复 习

一、知识回顾 等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质

等比数列
an?1 ? an ? q

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ?1)d an ? am ? (n ? m)d

an ? a1q n?1 an ? amq n?m

2 G ? ab 2 an ? am ? a p ? aq an ? am ? a p ? aq 2 an ? am ? 2a p an ? am ? a p Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等差 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等比

A ? (a ? b)

求和 公式

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? 2 2

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? ?na1

q ?1 q ?1

关系式

an、Sn

?Sn ? Sn?1 n ? 2 an ? ? n ?1 ? S1

适用所有数列

二、知识应用 Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为 a, a ? d , a ? 2d ; a ? d , a, a ? d

a 2. 三个数成等比数列,则这三个数可设为 , a, aq,也可以设为 q 2 a, aq, aq .
例1(1). 已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83, 求此三个数.

x? y 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。 , y, 或者 x, 2

析:设这三个数为 x ? d , x, x ? d
? ( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 15 解得x=5,d= ±2. 则 ? 2 2 2 ?( x ? d ) ? x ? ( x ? d ) ? 83

∴所求三个数分别为3,5,7 或7,5,3.

例1(2):互不相等的三个数之积为 ? 8 ,这三个数适当排列后可 成为等比数列也可排成等差数列,求这三数排成的等差数列. a a 设这三个数为, , a, aq 则 ? a ? aq ? ?8 即: a 3 ? ?8 ? a ? ?2 q q 2 2 q 2 ? 2q ? 1 ? 0 (1)若? 2是 ? ,?2q 的等差中项,则 ? 2q ? 4 即: q q

? q ? 1 与已知三数不等矛盾
1 2 2q 2 ? q ? 1 ? 0 (2)若? 2q为 ? 2,? 的等差中项,则 ? 1 ? 2q 即: q q

2 2 (3)若 ? 为 ? 2q,?2 的等差中项,则 q ? 1 ? q q ? q ? ?2 三个数为 4,1,?2 或 ? 2,1,4

1 ? q?? 2

三个数为 4,1,?2 或 ? 2,1,4

q2 ? q ? 2 ? 0 即:

综上:这三数排成的等差数列为: 4 , 1, ? 2 或 ? 2, 1, 4

Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2(1)已知等差数列{an } 满足 a1 ? a2 ? ? ? ? ? a101 ? 0 ,则 ( C )

A. a1 ? a101 ? 0 B. a2 ? a100 ? 0 C. a3 ? a99 ? 0

D. a51 ? 51

(2)已知等差数列 {an } 前 m 项和为30,前 2 m 项和为100, 3m 则前 项和为 ( C )

A. 130

B. 170

C. 210

D. 260

(3)已知在等差数列{an}的前n项中,前四项之和为21,后 四项之和为67,前n项之和为286,试求数列的项数n.

析: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 21
an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 67
Sn ? n(a1 ? an ) ? 286 2

21 ? 67 a1 ? an ? ? 22 4

Ⅲ、等差数列的最值问题
例3.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?

分析:

如果等差数列{an}由负数递增到正数,或者由 正数递减到负数,那么前n项和Sn有如下性质:

1.当a1<0,d>0时, 2.当a1>0,d<0时,

思路1:寻求通项 1 1 9a1 ? ? 9 ? (9 ? 1) ? d ? 12a1 ? ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2 a1 11 ? n 1 3a1 ? ?30d ? d ? ? a1 ? an ? a1 ? (n ? 1)( ? ) ? a1 ? 即: 10 10 10 由于 a1 ? 0 易知 a10 ? 0 a11 ? 0 a12 ? 0 ∴n取10或11时Sn取最小值

? an ? 0 ? Sn是最小值 ? ?an ?1 ? 0 ? an ? 0 ? Sn是最大值 ? ?an ?1 ? 0

例3.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列{an}的通项an是关于n的一次式,前项和Sn 是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2:从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列{an}的公差为d,则由题意得: 1 1 9a1 ? ? 9 ? (9 ? 1) ? d ? 12a1 ? ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2 即: 3a1 ? ?30d ? a1 ? ?10d ∵a1<0, ∴ d>0,

1 1 ? Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ? ?10dn ? n(n ? 1)d 2 2
1 21 ? dn 2 ? dn 2 2
d 21 2 212 ? (n ? ) ? d 2 2 8

∵d>0, ∴Sn有最小值.
又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值

例3.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?

分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.

思路3:函数图像、数形结合
令 Sn ? An2 ? Bn 过原点抛物线 又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12,

Sn

10.5

o
b 2a

n

所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列{an}的前10项或前11项和最小
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象 的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2

n=

?

Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用
例4 已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,又a1=b1

7 =1 ,a2b2=2,a3 b3 = . 4 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式;
(2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn

解析:

设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 q ,则由题意得

(1 ? d )q ? 2 (1) ? 1 ? ? d ? 3, q ? 7 ?(1 ? 2d )q 2 ? (2) 2 ? 4 ? 1 1 cn ? an ? bn ? (3n ? 2) ? n ?1 ?an ? 3n ? 2 bn ? n ?1 2 2 通项特征: 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法: 错位相减法——错项法

解析:

1 cn ? an ? bn ? (3n ? 2) ? n ?1 2

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ? ? cn

1 1 1 1 1 S n ? 1? 0 ? 4 ? 1 ? 7 ? 2 ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? n ? 2 ? (3n ? 2) ? n?1 错位相 2 2 2 2 2 减法 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? ? ? (3n ? 5) ? n ?1 ? (3n ? 2) ? n 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n?1 ) 1 1 1 1 1 3n ? 2 2 2 S n ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? n?1 ? (3n ? 2) ? n ? 1 ? 3 ? n 1 2 2 2 2 2 2 1? 2

两式相减:

3 3n ? 2 6 6n ? 4 ? Sn ? 2(4 ? n ?1 ? ) ? 8 ? n ?1 ? n n 2 2 2 2

三、基础练习
1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,( ),38的特点,在 31 括号内适当的一个数是______
9 2.在等比数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____ 3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为 (C ) A.20 B.22 C.24 D.28 4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= ( B) A.100 B.101 C.102 D.103 5.若{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那 么a3+a5的值等于 ( A) A.5 B.1 C.15 D.10

三、基础练习
6.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 a17+a18+a19+a20的值等于 ( C )

A.7

B.8

C.9

D.10

7.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为 d的取值范围 8.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通 项公式 1 21 9.数列{bn}中,b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,若{an}是等差数 8 8

1 an 列,且bn= ( ) ,求{an}的通项公式 2

第五单元

不等式

第五单元 │ 知识框架

知识框架

第五单元 │ 考纲要求 考纲要求
1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系, 了解不等式( 组) 的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2) 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会 设计求解的程序框图.

第五单元 │ 考纲要求
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义, 能用平面区域表示二 元一次不等式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决. a+ b 4.基本不等式: ≥ ab(a,b>0) 2 (1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

第五单元 │ 命题趋势 命题趋势
不等式既是高考数学的重要基础知识, 也是高中数学重要 的工具知识之一, 高考对不等式的考查既有单独的面对不等式 部分主要知识点的考查,也有综合函数、数列、导数、解析几 何等进行的考查,不等式在高考中占有极为重要的位置. (1)以选择题或者填空题的形式考查不等式的性质、一元 二次不等式的解法、 基本不等式的应用、 二元一次不等式所表 示的平面区域、简单的线性规划问题等,试题的难度中等偏 上.这类考查在试卷中一般是 2 个题目.

第五单元 │ 命题趋势
(2)在解答题中综合其他知识进行综合考查. 在数列的解答 题中,综合数列的通项和求和,考查使用基本不等式求最值、 解不等式、不等式的证明等;在函数导数的解答题中考查求函 数的定义域、讨论函数的单调性、证明不等式等;在解析几何 的解答题中考查利用不等式判断直线与圆锥曲线的位置关系、 求参数范围、求最值等.在这类试题中不等式是解决问题的主 要工具,高考非常重视不等式的工具作用. 根据高考的这个特点,预计 2012 年的高考仍然会是这种 考查方式,在试卷中设置两道左右的选择题、填空题考查不等 式的重要知识点,在解答题中对不等式进行综合考查.

第五单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 根据不等式在高中数学中的地位(知识性、工具性),高 考对不等式的考查特点和考试大纲的要求,在编写本单元时, 注意到如下的问题. (1)重视不等式本身的知识和方法的讲解和练习力度,在 第 29 讲、第 30 讲、第 32 讲中对不等式的性质、一元二次不 等式的解法、基本不等式所涉及的知识和方法进行复习,以 基本的选题和细致全面的讲解进行组织,以期通过这三讲的 复习使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式 的应用打下良好的基础.

第五单元 │ 使用建议

(2)强化了简单的线性规划问题,从高考的客观情况看, 这是高考必考的两个知识点,我们重点解决两方面问题:一 是二元一次不等式组所表示的平面区域问题,其中重点解决 了平面区域中的参数问题、根据平面区域和问题的几何意义 求解一些最值问题(非线性规划问题);二是性规划问题,其 中以含有实际背景的线性规划问题为重点,从建模到求解给 予了细致的讲解,并配备了适当的习题,以图通过该讲进一 步培养学生解决实际问题的能力.

第五单元 │ 使用建议
2.教学指导 不等式是知识和应用的结合体,在复习中既要照顾到其基 础性、也要照顾到其应用性,具体说在教学中要注意如下几点: (1)在各讲的复习中首先要注意基础性, 这是第一位的复习 目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式学生都可 以独立完成, 在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用, 引导学生独立思考完成这些探究点,教师给予适度的指导和点 评. (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题 的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究 点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置数量、变量把 实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程.

第五单元 │ 使用建议

(3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解 决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基 础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用 是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不 要拔高. 3.课时安排 本单元共 4 讲,每课时 1 讲,1 个单元能力训练卷,1 个 课时,建议 5 课时完成复习任务.

第29讲 │ 不等关系与不等式

第29讲

不等关系与不等式

第29讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理:设 a、b∈R,则 a>b?a-b>0, a=b?a-b=0,a<b?________. a-b<0 a a (2)商值比较原理: 设 a、 b∈R+, 则b>1?a>b, b=1? a a=b,b<1?______. a<b

第29讲 │ 知识梳理
2.不等式的性质 性质 1: a> b?______( b<a 对称性 ). 性质 2: a> b,b> c? ______( a>c 传递性). 性质 3: a> b?________________. a+c>b+c ac<bc 性质 4:a> b,c> 0? ________ ac>bc ;a> b,c< 0? ________. 以上是不等式的基本性质,以下是不等式的运算性质. a+c>b+d 加法法则 ). 性质 5: a> b,c> d? ____________( 性质 6: a> b>0, c> d>0? ________( ac>bd 乘法法则).
an>bn 乘方法则). 性质 7: a> b>0, n∈ N*? __________(
n a > b 性质 8: a> b>0, n∈ N ? ____________( 开方法则 ).
*

n

1 1 < 性质 9: ab>0, a>b? ________________( 倒数法则 ). a b

第29讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 不等关系

例 1 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深 入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子 1 长度是后一次为前一次的k(k∈N*). 已知一个铁钉受击 3 次后 全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是 4 钉长的 ,请从这个实例中提炼出一个不等式组是________. 7

第29讲 │ 要点探究

?4 4 ?7+7k<1, ? ?4+ 4 + 4 2≥1 ?7 7k 7k

[解析] 敲击 2 次进入木板的部分为

4 4 1 4 4 4 + ? <1;敲击 3 次全部进入木板,则 + + 2≥1, 7 7 k 7 7k 7k ?4 4 ?7+7k<1, ∴不等式组为? ?4+ 4 + 4 2≥1. ?7 7k 7k

第29讲 │ 要点探究
? 探究点2 比较大小

例 2 (1)若 x<y<0,则(x2+y2)(x-y)__________(x2-y2)(x +y) (填“>”“<”或“=”); (2)已知 a,b,c∈R+,且 a2+b2=c2,当 n∈N,n>2 时, cn_____an+bn(填“>”“<”或“=”).

第29讲 │ 要点探究
(1)> (2)> [解答] (1)解法一: (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 解法二:∵x<y<0, ∴x-y<0,x2>y2,x+y<0,xy>0. ∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0, (x2+y2)(x-y) x2+y2 ∴0< 2 2 = 2 2 <1, (x -y )(x+y) x +y +2xy ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

第29讲 │ 要点探究

(2)∵ a, b, c∈ R+,∴ an, bn, cn>0, an+ bn ?a ?n ?b ?n 而 n =? ? +? ? . c ?c ? ?c ? ?a ? ?b ? a b 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ∵ a + b = c ,则 + = 1,∴ 0< <1,0< <1. c c ?c ? ?c ? ?a ? ?a ? ?b ? ?b ? n 2 ∵ n∈ N, n>2,∴? ? <? ? ,? ?n<? ?2, ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? an+ bn ?a ?n ?b ?n a2+ b2 ∴ n =? ? +? ? < 2 = 1,∴ an+ bn<cn. c c ?c ? ?c ?

第29讲 │ 要点探究
1 设 a∈R,且 a≠0,试比较 a 与a的大小. 1 (a-1)(a+1) [解答] 由 a-a= . a 1 当 a=± 1 时,a=a; 1 当-1<a<0 或 a>1 时,a>a; 1 当 a<-1 或 0<a<1 时,a<a.

第29讲 │ 要点探究
? 探究点3 不等式的性质

例 3 (1)“a>b 且 c>d”是“a+c>b+d”的( ) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 c d (2)已知三个不等式:①ab>0,②a>b,③bc>ad,以其中两 个作条件余下一个作结论,则可以组成的正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0

第29讲 │ 要点探究

(1)A (2)C [解析] (1)根据不等式的性质“a>b 且 c>d” ? “a+c>b+d”,故条件是充分的;当反之不成立,如 a=10, b=3,c=5,d=7,显然有 a+c>b+d,但此时 c<d. (2) 由 不 等 式 性 质 得 c d ? ? > a b ?? bc>ad? ? ab>0? ? c d ?? a>b ? ? ab>0 ? ? bc-ad ? ? bc>ad ; ab >0? ?

ab>0 ? ? c d ?? > ; ? a b bc>ad?

bc-ad ? ? >0 ab ?? ab>0. bc-ad>0? ?

第29讲 │ 要点探究
2 3 x x [2010· 江苏卷 ] 设实数 x, y 满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9, 则 4的 y y

最大值是 ________.

27

2 x3 x + - [解析] 设 4 =(xy2)m( y )n=xm 2ny2m n,由此得 m+2n=3, y

2 ? ?2 x x3 2 -1 2m-n=-4,解得 m=-1,n=2,所以 4 =(xy ) ? y ? .根据不等式的 y ? ? 2 2 ? ? ? ?2 1 x x 1 2 -1 2 2 -1 性质(xy ) ≤ ,? y ? ≤81,再根据不等式的性质 (xy ) ? y ? ≤ × 81=27. 3 ? ? ? ? 3

故所求的最大值是 27.

第29讲 │ 要点探究
? 题 探究点4 与不等式性质有关的函数值范围问

例 4 设 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2) 的取值范围.

第29讲 │ 要点探究

[解答 ] 解法一:设 f(- 2)= mf(- 1)+ nf(1)(m、 n 为待定系 数 ),则 4a- 2b= m(a- b)+ n(a+ b), 即 4a- 2b= (m+ n)a+(n- m)b,
? ?m+ n= 4, 于是得? ? ?n- m=- 2, ? ?m= 3, 解得? ? ?n= 1.

∴ f(- 2)= 3f(- 1)+f(1). 又∵ 1≤f(- 1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴ 5≤3f(- 1)+ f(1)≤10,故 5≤f(- 2)≤10.

第29讲 │ 规律总结 规律总结

1.建立实际问题中的不等关系的关键是抓住其中制约目 标的变量,只要变量找出来了,就可以根据要求列不等式.

第29讲 │ 规律总结

2.比较两个数或者式子大小的依据是两个实数之间的顺 序关系,即通过差的符号判断两个数或者式子的大小;根据不 a a 等式的性质,当 b>0 时, >1?a>b, <1?a<b,这样在一些 b b 是由乘积式或者指数式组成的数式大小比较时也可以使用作 商比较法. 3.不等式的性质是不等式问题的基础,在使用不等式的 性质解决问题时要注意不等式性质成立的条件.

第30讲 │ 一元二次不等式的解法

第30讲

一元二次不等式 的解法

第30讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax> b(a≠0)的解集为: ①当 a> 0 时,解集为____________. ②当 a< 0 时,解集为____________. 2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为 0,左端化为二次项系数大于零 的不等式 ax2+ bx+ c>0(a>0)或 ax2+bx+ c<0(a> 0). (2)求出相应一元二次方程的根. x 轴的交点情况 确定一元二次不 (3)利用二次函数的图象与____________ 等式的解集.
? ? b? ? ?x| x< ? ? ? a? ?
? ? b? ? ?x| x> ? ? a? ? ?

第30讲 │ 知识梳理

第30讲 │ 知识梳理

{x|x<x1 或 x>x2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

{x|x1<x<x2}

?

?

第30讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 解一元二次不等式
例 1 (1)[2010· 广州模拟] 不等式 x2-3x+2<0 的解集为 ( ) A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2) 1 (2)[2010· 合肥二检] 不等式 1- >0 的 解 集 是 x-1 __________. (3)不等式 x2+x-1<0 的解集是__________.

第30讲 │ 要点探究
-1+ 5? ? (1)D (2)(-∞,1)∪(2,+∞) , ? 2 ? [解析] (1)方程 x2-3x+2=0 的解是 x1=1, x2=2.又函数 y =x2-3x+2 的图象开口向上,所以不等式 x2-3x+2<0 的解 集为{x|1<x<2}. 5 x-2 x-2 1 (2)由 1- = ,得 >0,这个不等式等价于(x- x-1 x-1 x-1 1)(x-2)>0,故其解集是(-∞,1)∪(2,+∞). -1- 5 -1+ 5 2 (3)方程 x +x-1=0 的根是 x1= ,x2= , 2 2 ?-1- 5 -1+ 5? ? 2 故不等式 x +x-1<0 的解集是? . , ? ? 2 2 ? ?
?-1- (3)? ? 2 ?

第30讲 │ 要点探究

1 2 [2010· 湖南卷] 若关于 x 的不等式- x +2x>mx 的 2 解集是{x|0<x<2},则实数 m 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第30讲 │ 要点探究

1 2 A [解析] 因为- x +2x>mx 的解集是{x|0<x<2},即 2 1 2 1 2 - x +(2-m)x>0 的解集为(0,2),则关于 x 的方程- x + 2 2 1 2 (2-m)x=0 的两根为 x=0 或 x=2,当 x=0 时,- x +(2- 2 m)x=0,等式恒成立;当 x=2 时,解得 m=1.故选 A.

第30讲 │ 要点探究
? 题 探究点2 一元二次不等式恒成立问

例 2 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 m∈[-2,2], f(x)<-m+5 恒成立, 求 x 的取值 范围.

第30讲 │ 要点探究

[解答] (1)要求 mx2-mx-1<0 恒成立. 当 m=0 时,f(x)=-1<0,显然成立; 当 m≠0 时,应有 m<0,Δ=m2+4m<0, 解得-4<m<0. 综上,m 的取值范围是-4<m≤0.

第30讲 │ 要点探究

(2)将 f(x)<- m+5 变换成关于 m 的不等式 m(x2-x+1)- 6<0, 则命题等价于 m∈ - 2, 2??时,
? ? 2 g??m ??= m??x - x+ 1??-6<0 恒成立. ? ? ? ? ? ?

∵ x2-x+1>0,∴ g(m)在 [- 2,2]上单调递增, ∴只要 g(2)=2(x2-x+1)- 6<0, 即 x2-x- 2<0, ∴- 1<x<2.

第30讲 │ 要点探究

当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________.

[思路] 可借助于二次函数的图象,数形结合讨论相应二 次函数的图象在相应区间上在 x 轴下方;也可以进行分离变 量,转化为讨论函数的最值问题.

第30讲 │ 要点探究

m≤-5 [解析] 解法一:设 f(x)=x2+mx+4,则由二次 函数的图象及一元二次方程 x2+mx+4=0 的根的分布知,
? (1)≤0, ?f? ? ? ?f(2)≤0, ? ?m+5≤0, 即? ? ?2m+8≤0.

解得 m≤-5.

第30讲 │ 要点探究
解法二:当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立 - x2 - 4 ?m< x ,当 x∈(1,2)时恒成立 ? 4? ?m<-?x+x?,当 x∈(1,2)时恒成立. ? ? ? 4? 令 g(x)=-?x+x?,x∈(1,2), ? ? 则 g(x)min=g(1)=-5,∴m≤-5.

第30讲 │ 要点探究
? 探究点3 含有参数的一元二次不等式的解法

例 3 解关于 x 的不等式:ax2-(2a+1)x+2<0.
[思路] 这个不等式的左端可以通过十字相乘的方法分解因 式,然后根据 a>0,a=0,a<0 的情况和方程 ax2-(2a+1)x+2 =0 两个根的大小进行分类求解.

第30讲 │ 要点探究

[解答 ] 不等式 ax2-(2a+ 1)x+ 2<0, 即 (ax- 1)(x- 2)<0. ? 1? (1)当 a>0 时,不等式可以化为?x- ?(x- 2)<0. a? ? ? 1 1 1? ①若 0<a< ,则 >2,此时不等式的解集为?2, ?; 2 a a? ? 1 ②若 a= , 则不等式为(x- 2)2<0 的解集, 不等式的解集为?; 2 ?1 ? 1 1 ③若 a> ,则 <2,此时不等式的解集为? , 2?. 2 a ?a ?

第30讲 │ 要点探究
(2)当 a=0 时,不等式即-x+2<0.此时不等式的解集为 (2,+∞). ? 1? 1 ? ? (3)当 a<0 时,不等式可以化为 x-a (x-2)>0.由于a<2,故 ? ? ? 1? 不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞). ? ?

第30讲 │ 要点探究
? 1? 时, 不等式的解集为?-∞,a?∪(2, +∞); ? ?

综上所述: 当 a<0

当 a=0 时,不等式的解集为(2,+∞); ? 1? 1 当 0<a< 时,不等式的解集为?2,a?; 2 ? ? 1 当 a= 时,不等式的解集为?; 2 ?1 ? 1 当 a> 时,不等式的解集为?a,2?. 2 ? ?

第30讲 │ 要点探究
[点评] 本题是由不等式的求解法则而引发的分类讨论.本 题的分类首先根据 a>0,a=0,a<0 进行一级分类,这个分类 标准是根据不等式的性质进行的分类;在第一种情况下,又要 根据方程 ax2-(2a+1)x+2=0 根的大小,进行二级分类,这个 分类标准是根据不等式的求解法则制定的. 在分类讨论问题中, 如果涉及二级分类,要先进行一级分类,再进行二级分类,把 问题表述清楚,最后整合结论时,要根据情况按照一定的次序 进行,如本题中是按照实数 a 从小到大的顺序进行表述的.含 有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的 情况下,按照本题的方法求解,但如果不能根据因式分解的方 法求出其根,则需要按照不等式对应方程根判别式的情况进行 分类,看下面的变式.

第30讲 │ 要点探究

解关于 x 的不等式:x2-x+a>0.
[思路] 根据方程 x2-x+a=0 的判别式,分为方程 x2-x +a=0 无实根、有一个相等的实根、有两个不相等的实根, 结合二次函数 f(x)=x2-x+a 的图象,写不等式的解集.

第30讲 │ 要点探究
[解答] 方程 x2-x+a=0 的判别式 Δ=1-4a. 1 (1)当 Δ<0,即 a> 时,方程 x2-x+a=0 无实根,此时不 4 等式 x2-x+a>0 的解集为 R; 1 (2)当 Δ=0,即 a= 时,方程 x2-x+a=0 有两个相等的 4 1 实根 x1=x2= ,此时不等式 x2-x+a>0 的解集为 2 ? ? 1? ?1 ?-∞, ?∪? ,+∞?; 2? ?2 ? ?

第30讲 │ 要点探究
1 (3)当 Δ>0,即 a< 时,方程 x2-x+a=0 有两个不相等的 4 1- 1-4a 1+ 1-4a 实根 x1= ,x2= , 2 2 此时不等式 x2-x+a>0 的解集为
? 1- ? ?-∞, ? ? ? 1-4a? ? ?1+ 1-4a ? ∪ ,+ ∞ ? ? ?. 2 2 ? ? ? 1 1 综上所述:当 a> 时,不等式的解集为 R;当 a≤ 时,不 4 4 ? 1- 等式的解集是? ?-∞, ? ? ? 1-4a? ? ?1+ 1-4a ? ∪ ,+∞?. ? ? 2 2 ? ? ?

第30讲 │ 要点探究
? 探究点4 一元二次不等式的实际用

例 4 [2010· 长沙模拟] 为了保护环境,发展低碳经济, 某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了 新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知 该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处 理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表 1 2 示为 y= x -200x+80000, 且每处理一吨二氧化碳得到可 2 利用的化工产品价值为 100 元.

第30讲 │ 要点探究
(1)该单位每月处理量为多少吨时, 才能使 每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利, 求出 最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?
y [思路] (1)平均成本即x,把其都用 x 表示出来,用基本不等 式求解其确定最小值时的 x 值;(2)获利模型即收入减去成本, 本题即 100x-y,获利即 100x-y>0,根据这个不等式的解和 x 的范围说明是否获利,根据这个函数的最大值说明国家至少补 贴值.

第30讲 │ 要点探究

[解答] (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 y 1 80000 1 80000 x=2x+ x -200≥2 2x· x -200=200, 1 80000 当且仅当 x= x ,即 x=400 时, 2 才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.

第30讲 │ 要点探究
(2)设该单位每月获利为 S, ?1 ? 2 则 S=100x-y=100x-?2x -200x+80000?= ? ? 1 2 - x +300x-80000, 2 若 S>0, 则 x2-600x+160000<0, 其判别式 6002-4× 160000<0, 该不等式无解,故该单位每月不能获利. 1 又 S=100x-y=- (x-300)2-35000,因为 400≤x≤600,所 2 以当 x=400 时,S 有最大值-40000. 故需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.

第30讲 │ 要点探究

[ 点评 ] 本题充分反映了不等式在解决实际问题中的作 用.解决实际问题的基本方法之一,是建立其函数模型,根据 一个函数的变化情况对实际问题作出解释和结论,建立的函数 模型有时要根据不等式进行研究.

第30讲 │ 要点探究

[2010· 浙江卷 ] 某商家一月份至五月 份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月 份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额 与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销 售 总 额 至 少 达 7000 万 元 , 则 x 的 最 小 值 是 ________.

第30讲 │ 要点探究

20
? ? ? ? ?

[ 解 析 ]

由 题 意 可 得 : 3860 + 500 +
?

500??1+x%??+500(1+x%)2??×2≥7000,解得 x≥20(负值舍去),所

以 x 的最小值是 20.

第30讲 │ 规律总结 规律总结
1.一元二次方程、一元二次不等式和二次函数是紧密相 连的. 二次函数的图象从“形”上反映了一元二次方程的根和一 元二次不等式解的情况, 一元二次方程的根和一元二次不等式 的解从“数”上反映了二次函数图象的位置. 在解决一元二次不 等式问题时,要注意从函数与方程思想的角度考虑问题.

第30讲 │ 规律总结

2. 一元二次不等式在指定范围的恒成立(或者不等式在指定 范围的恒成立 ) ,其本质是这个不等式的解集包含着指定的区 间.解决这类问题的基本方法,一是引进函数关系后,通过函 数图象实现数形结合;二是等价转化,转化为求函数的最值或 是值域.

第30讲 │ 规律总结

3.含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论.在能够 直接求出不等式对应方程根的情况下,根的大小是分类的标准; 在需要使用求根公式才能确定不等式对应方程根的情况下,方 程的判别式是分类的标准.但不论是哪种情况都要首先考虑这 个不等式二次项的系数. 4.不等式的实际应用问题的解题关键是建立起问题中的不 等式,通过解不等式对实际问题作出结论.

第31讲 │ 简单的线性规划问题

第31讲

简单的线性规划问题

第31讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.二元一次不等式表示的平面区域 (x,y) 为坐标的所有点构成的集合, 以不等式的解______ 叫做不 等式表示的区域或不等式的图象. 2.坐标平面内的点与直线 l: Ax+ By+ C= 0 的关系 (1)点在直线 l 上?点的坐标满足 Ax+ By+ C= 0; (2)直线 l 的同一侧的点? 点的坐标使式子 Ax+By+ C 的 相同 的符号; 值具有 ______ (3)点 M、 N 在直线 l 两侧? M、 N 两点的坐标使式子 Ax 相反 ,即一侧都 ________ 大于 0 ,另一侧都 + By+ C 的值的符号 ______ 小于 0 . ________

第31讲 │ 知识梳理

3.二元一次不等式所表示区域的确定方法 在直线 l 的某一侧取一特殊点,检验其坐标是否满足二元 所在的这一侧 区域就是所求的 一次不等式,如果满足,则这点____________ 另一侧 就是所求的区域. 区域;否则 l 的________

第31讲 │ 知识梳理

4. 线性规划问题的基本知识 定义 欲求最大值或最小值的函数,叫做目标函数 目标函数中的变量要满足的不等式组 若目标函数是关于变量的一次函数,则称为 线性目标函数 线性目标函数 如果约束条件是关于变量的一次不等式(或 线性约束条件 等式),则称为线性约束条件 名称 目标函数 约束条件

第31讲 │ 知识梳理

可行解 可行域

满足约束条件的解(x,y)称为可行解 所有可行解 ______组成的集合称为可行域

最大值 或最小值 使目标函数取得 ______ ______ 的点的 最优解 坐标 在线性约束条件下,求线性目标函数的最 线性规划问题 大值或最小值问题

第31讲 │ 要点探究 要点探究
?
例 1 [2010· 石家庄二检] 已知函数 f(x)的定义域为[1, +∞),且 f(2)=f(4)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y= ?x≥0, ? f′(x)的图象如图 31-1 所示,则不等式组?y≥0, ?f?2x+y?≤1 ? 示 的 平 面 区 域 的 面 积 是 ( 所表 )

探究点1

二元一次不等式(组)所表示的平面域

图31-1

第31讲 │ 要点探究
15 D. 4

A.3

B.4

C.5

[ 思路 ] 根据导数的图象可以确定函数 f(x)的单调区间,进而确定 2x+y 的取值范围, ?x≥0, ? 这样不等式组 ?y≥0, 表示一个平面区 ?f?2x+y?≤1 ? 域,确定其形状,求出面积.

第31讲 │ 要点探究
A [解析 ] 由导函数的图象可得 f(x)的单调增区间 为(3,+∞), 单调减区间为(1,3).又 f(2)=f(4)=1,f(2x+y)≤1 可 ?x≥0, ? 得 2≤2x+y≤4,则不等式组?y≥0, 所表示的可 ?2≤2x+y≤4 ? 1 1 行域如图所示,其面积为 ?2?4- ?1?2=3.正确选项 2 2 为 A.

第31讲 │ 要点探究
?x+y-11≥0, ? [2010?北京卷 ]设不等式组?3x-y+3≥0, ?5x-3y+9≤0 ?



示的平面区域为 D,若指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( ) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[3,+∞)

[思路] 画出平面区域, 看什么情况下指数 函数的图象有经过这个平面区域内的点,找到 临界条件即可得到 a 的取值范围.

第31讲 │ 要点探究
?x+ y- 11≥0, ? [解析 ] 作出不等式组 ?3x- y+ 3≥0, ?5x- 3y+ 9≤0 ?

A

所表示的平面

区域 D,如图阴影部分所示,要使指数函数 y=ax 的图象上存 在区域 D 上的点, 则有 a>1, 当指数函数 y= ax 的图象过点 B(2,9) 时相应的 a 值最大,此时 a= 3,即 a∈ (1,3].

第31讲 │ 要点探究
? 探究点2 平面区域和解析几何、函数问题的综合

?x≥1, ? 例 2 (1) [2010·福建卷] 设不等式组?x-2y+3≥0, ?y≥ x ? 所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y -9=0 对称, 对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B, |AB| 的最小值等于( ) 28 12 A. B.4 C. D.2 5 5

第31讲 │ 要点探究

?x-y-2≤0, ? (2)设实数 x,y 满足?x+2y-5≥0, ?y-2≤0, ? 是( ) A.2 1 B. 2 10 C. 3 3 D. 10

xy 则 u= 2 2的最小值 x +y

第31讲 │ 要点探究
[思路] (1)从题目可以看出直线 3x-4y-9=0 与区域 Ω1 一定没有公共点,根据几何意义可以想到所求的最小值就是 区域 Ω1 中离直线 3x-4y-9=0 的最近的点到直线距离的 2 y 倍;(2)变换 u,可以把其中的x看作基本量 t,则 u 就是 t 的函 数, 只要确定了 t 的范围就可以根据函数的性质确定所求的最 t 小值,而 y=x就是已知区域内的点和坐标原点连线的斜率, 根据这个几何意义求 t 的取值范围.

第31讲 │ 要点探究
(1)B (2)D [解析] (1)由题意知,所求的|AB|的最小值, 即为区域 Ω1 中的点到直线 3x-4y-9=0 的距离的最小值的 两倍,画出已知不等式组表示的平面区域,如图所示,可看 出点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最小,故|AB|的最小值 |3?1-4?1-9| 为 2? = 4 , 所 以 选 B. 5

第31讲 │ 要点探究
(2)如图,实数 x,y 的区域是△ABC,其中点 A 的坐标 ?1 ? y 是(3,1),点 C 的坐标是(1,2),故 t=x的取值范围是?3,2?,故 u ? ? ? xy 1 1 1 ?1 = 2 2=x y = ,该关于 t 的函数 f(t)=t+ t 在?3,1?上单 1 x +y ? ? + t + y x t 1 调递减,在[1,2]上单调递增,故其最小值为 1+ =2,最大值 1 1 10 为两个端点值中较大的一个,即 3+ = ,故 u 的取值范围是 3 3

?3 1? 3 ? , ?,即最小值是 . 10 ?10 2?

第31讲 │ 要点探究
?x-y+5≥0, ? 画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 并回答下列问题: (1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 表示的平面区域,

[ 思路 ] (1) 不等式组表示的平面区域是各 个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分,但要 注意是否包含边界.(2)整点是指横、纵坐标均 为整数的点.

第31讲 │ 要点探究
[解答] (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及 右下方的点的集合. x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合. ?x-y+5≥0, ? 所以不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区域如图所示.

第31讲 │ 要点探究
? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?- ,3?,y∈[-3,8]. ? 2 ?

第31讲 │ 要点探究
? ?-x≤y≤x+5, (2)由图形及不等式组知? ? ?-2≤x≤3且x∈Z,

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点. ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).

第31讲 │ 要点探究
? 探究点3 不含实际背景的线性规划问题

例 3 (1)[2010· 浙江卷] 若实数 x、y 满足不等式组 ?x+3y-3≥0, ? ?2x-y-3≤0, ?x-y+1≥0, ? A.9 C.1 则 x+y 的最大值为( B.7 7 D. 15 )

第31讲 │ 要点探究
?2x-y+2≥0, ? (2)[2010· 安徽卷] 设 x, y 满足约束条件?8x-y-4≤0, ?x≥0,y≥0, ?
? ?



目标函数 z=abx+y??a>0,b>0??的最大值为 8,则 a+b 的最小值 为( ) A.5 B. 4 C. 8 D. 2

第31讲 │ 要点探究

(1)A (2)B [解析] (1)由可行域知,x+y 取最大值时过 2x -y-3=0 与 x-y+1=0 的交点(4,5),所以 x+y 的最大值为 9.

第31讲 │ 要点探究

(2)a>0, b>0,所以目标函数过直线 2x- y+2=0 与 8x- y - 4= 0 的交点(1,4)时取得最大值, 从而有 8= ab+ 4, 即 ab= 4, 所以 a+ b≥2 ab= 4,即 a+b 的最小值为 4.

第31讲 │ 要点探究
?x+2y-3≤0, ? 已知变量 x,y 满足约束条件?x+3y-3≥0, ?y-1≤0, ? 若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, 则 a 的取值范围为______________.

第31讲 │ 要点探究
?1 ? ? ,+∞? ?2 ?

[解析] 画出可行域如图所示,其中 B(3,0),C(1,1),D(0,1),

若目标函数 z=ax+y 取得最大值,如图所示,直线 y=-ax+z 的斜率-a 1 1 1 必然要小于直线 BC 的斜率- ,即-a<- ,即 a> .本题也可以根据线性 2 2 2 规划问题中目标函数取最值的点必然是区域的顶点(或边界)进行解答, 在三 个顶点处,目标函数值分别为 3a,a+1,1,要想目标函数取最值的点仅仅 1 是点(3,0)就必需 3a>a+1 且 3a>1,解得 a> . 2

第31讲 │ 要点探究
? 探究点4 含有实际背景的线性规划问题

例 4 [2010· 陕西卷] 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万 吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a b(万吨) c(百万元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9 万吨铁,若要求 CO2 的排放量 不超过 2 万吨,则购买铁矿石的最少费用为________百万元.

第31讲 │ 要点探究
15 [解析] 可设需 A 矿石 x 万吨,B 矿石 y 万吨,则根据

?x≥0, ? ?y≥0, 题意得到可行域为:? ?0.5x+0.7y≥1.9, ? ?x+ 0.5y≤2.

又 z=3x+6y 为目标

函数,当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值 为 zmin= 3× 1+ 6× 2=15.

第31讲 │ 要点探究
[2010· 四川卷 ] 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费 工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品, 每千克 A 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品, 每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ( ) A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

第31讲 │ 要点探究
B [解析 ] 设甲车间每天加工原料 x 箱, 乙车间每天加工原料 y 箱, 每天获利为 z,则线性约束条件为 10x+ 6y≤480, ? ? ?x+ y≤70, ? ?x∈ N, y∈ N, 目标函数为 z= 280x+ 200y.画出约束条件对应的可行域,如图,

7x z 7x 目标函数 z= 280x+ 200y 变式为 y=- + ,令 z= 0,将 y=- 向上平移, 5 200 5 当过直线 5x+ 3y= 240 与 x+y= 70 的交点 (15,55)时, z 最大,故选 B.

第31讲 │ 要点探究
例 5 [2010· 广东卷] 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚 餐,已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8 个单 位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C. 另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化 合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单 位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述 的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单 位的午餐和晚餐?

第31讲 │ 要点探究
[解答] 设应当为该儿童预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚 餐,所花的费用为 z,则依题意得 ? ?12x+ 8y≥64, ?6x+ 6y≥42, ? x, y 满足条件?6x+ 10y≥54, ? ?x∈ N, ? ?y∈ N, ? ?3x+ 2y- 16≥0, ?x+ y-7≥0, ? 即?3x+ 5y- 27≥0, ? ?x∈ N, ? ? y∈ N,

目标函数为 z=2.5x+ 4y,作出二元一次不等式组所表示的 5 z 平面区域(图略),把 z= 2.5x+ 4y 变形为 y=- x+ ,得到斜率 8 4 5 z 为- ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一组平行直线. 8 4

第31讲 │ 要点探究
5 z 由图可知,当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 M(即直 8 4 线 x+ y- 7= 0 与直线 3x+ 5y- 27= 0 的交点)时截距最小, 即z 最小.
? ?x+ y- 7= 0, 解方程组? ? ? 3x+ 5y- 27= 0,

得点 M 的坐标为 (4,3),

所以 zmin= 22. 答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预 订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚餐,所花的费用最少,且最 少费用为 22 元.

第31讲 │ 规律总结 规律总结

1. 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个 不等式所表示的半平面区域的公共部分,画出平面区域的关键 是把各个半平面区域确定准确,其基本方法是“直线定界、特 殊点定域”.

第31讲 │ 规律总结

2.给定平面区域求解一些非线性目标的最值或范围时, 要根据解析几何知识确定求解目标的几何意义, 结合解析几何 知识解决问题,适当变换求解目标可以使其几何意义更加明 确、或者转化为函数问题解决.

第31讲 │ 规律总结

3.线性规划问题是在约束条件是线性的、目标函数也是 线性的情况下的一类最优问题,在约束条件是线性的情况下, 线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值, 在解 答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验. 4.含有实际背景的线性规划问题其关键是找到制约求解 目标的两个变量, 用这两个变量建立可行域和目标函数, 在解 题时要注意题目中的各种相互制约关系, 列出全面的制约条件 和正确的目标函数.

a+b 第32讲 │ 基本不等式 ab≤ 2

第32讲

a+b 基本不等式 ab≤ 2

第32讲 │ 知识梳理 知识梳理
a,b∈R ,当且仅 1.公式 a2+b2≥2ab 中 a、b 的条件是________ a+ b 当 ________ a=b 时等号成立.公式 2 ≥ ab 中, a , b 的条件是 _________ a=b 时等号成立. a,b∈R+,当且仅当________

a+b 2ab 2.若 a,b∈R+,则 、 ab、 、 2 a+b

a2 + b2 的大小 2

2 2 a + b a + b 2ab ≤ ab≤ ≤ 2 2 a+b 关系是_____________________________( 由小到大).

第32讲 │ 知识梳理

P2 值为 ________ ;若 a,b∈ R+,且 ab= S(S 为常数),则 a+ b 4

3. 若 a, b∈ R+, 且 a+ b=P(P 为常数 ), 则 ab 存在最____ 大

存在最____ 小 值为______ 2 S . 4.应用基本不等式求函数最值应满足的条件是 一正、二定、三相等 ________________________ .

第32讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 利用基本不等式求最值
x y

1 1 例 1 (1)[2010· 日照模拟] 已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则x+ y 的最小值是( ) A. 2 3 B.4 3 C. 2 + 3 D.4+2 3 (2)[2010· 重庆卷] 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最 小值是( ) A. 3 B.4 9 C. 2 11 D. 2

第32讲 │ 要点探究
(1)D (2)B [解析] (1)已知条件即 x+3y=1, ?1 1? 1 1 3y x 3y x 故 x + y = (x + 3y) ?x+ y ? = 4 + x + y ≥4 + 2 · =4+ x y ? ? 3y x 1 1 2 3,当且仅当 x = y ,即 x= 3y,也即 x= ,y= 1+ 3 3+ 3 1 1 时等号成立,故x+y 的最小值是 4+2 3. (2)方法 1.(基本不等式法) ?x+2y? ?x+2y? ? ?2 ? ?2 ∵2xy≤? ,∴ x + 2 y + 2 xy ≤ x + 2 y + , ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? (x+2y)2 ∴x+2y+ ≥8(x,y>0),得 x+2y≥4. 4

第32讲 │ 要点探究
方法 2.(整体代换法)设 t=x+2y,则 x=t-2y,代入 x+ 2y+2xy=8, 得 t-2y+2y+2(t-2y)y=8,整理为 4y2-2ty+8-t=0. 由于 y 是实数, 故 Δ=(-2t)2-4?4?(8-t)≥0, 解得 t≤ -8(舍去),或者 t≥4.故所求的最小值为 4. 8- x 方法 3.(降元法)由 x+2y+2xy=8,得 y= , 2x+2 8-x 9-?x+1? 9 故 x+2y=x+ =x+ =x+ -1=(x+1) x+1 x+1 x+1 9 + -2≥6-2=4,故所求的最小值为 4. x+1

第32讲 │ 要点探究

(1)[2010· 金华十校模拟] 正数 a,b 满足 ab=1, 则 a+2b 的最小值是( ) A. 2 3 C. 2 B.2 2 D.3
2

1 1 (2)[2010· 四川卷] 设 a>b>0,则 a +ab+ 的最 a(a-b) 小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第32讲 │ 要点探究

(1)B

(2)D

[解析] (1)方法 1:a+2b≥2 2ab=2 2,

2 当且仅当 a=2b,即 a= 2,b= 时等号成立. 2 1 2 方法 2:由 ab=1 得 b=a,故 a+2b=a+a≥ 2 2 a· a=2 2,等号当且仅当 a= 2时成立.

第32讲 │ 要点探究

方法 3:设 t=a+2b,则 a=t-2b,代入 ab=1 得 2b2 -tb+1=0, 由于 b 是实数, 故 Δ=t2-8≥0, 解得 t≤-2 2(舍 去),或 t≥2 2,故所求的最小值是 2 2. 1 1 1 1 2 (2)a +ab+ =a -ab+ab+ab+ = a(a-b) a(a-b) 1 1 ab+ab+a(a-b)+ ≥2+2=4.当且仅当 ab=1, a(a-b) 2 a(a-b)=1,即 a= 2,b= 时等号成立. 2
2

第32讲 │ 要点探究
? 探究点2 利用基本不等式证明不等式

例 2 (1)[2010· 安徽卷] 若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不 等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是________(写出所有正 确命题的编号). ① ab≤1;② a+ b≤ 2;③a2+b2≥2; 1 1 ② a +b ≥3;⑤a+b≥2. (2)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 a2+b2+c2, 1 ab+bc+ca、 的大小关系是________. 3
3 3

第32讲 │ 要点探究

1 2 (1)①③⑤ (2)ab+bc+ca≤ ≤a +b2+c2 3 [ 解析 ] (1)令 a= b= 1,排除②④. 由 2= a+ b≥2 ab? ab≤1,命题①正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题 1 1 a+b 2 ③正确; + = = ≥2,命题⑤正确. a b ab ab

第32讲 │ 要点探究

(2)由于 (a+ b+c)2=a2+b2+ c2+2ab+ 2bc+ 2ca≤a2+ b2+ c2+ (a2+ b2)+(b2+ c2)+ (c2+ a2)= 3(a2+ b2+ c2),所以 a2+ b2 2 1 +c ≥ ; 3 由于 a2+b2≥2ab,b2+ c2≥2bc,c2+ a2≥2ca,三个不等式相 加得 a2+ b2+ c2≥ab+ bc+ ca, 所以(a+ b+ c)2= a2+ b2+c2+ 2ab+ 2bc+2ca≥3(ab+ bc+ 1 ca),故 ab+ bc+ca≤ . 3

第32讲 │ 要点探究

已知 x,y,z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1, ?1 ? ?1 ? ?1 ? 求证:?x-1? ?y -1? ? z -1?>8. ? ? ? ? ? ?

第32讲 │ 要点探究
[解答 ] ∵x、y、 z 是互不相等的正数, 且 x+ y+z=1, 1-x y+z 2 yz 1 ∴ - 1= = > ,① x x x x x+ z 2 xz 1 - 1= > ,② y y y x+ y 2 xy 1 - 1= > .③ z z z 1 1 1 又∵ 0<x<1,∴ >1,同理 >1, >1. x z y 将①②③三式相乘,得 ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? - 1? ? - 1? ? - 1 ?>8. ?x ? ?y ? ?z ?

第32讲 │ 要点探究
? 探究点3 利用基本不等式解决实际应用题

例 3 [2010· 金华十校联考] 有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图 32-1 所示),则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计).

图 32-1

第32讲 │ 要点探究

[思路] 根据可用材料,设出矩形的一个边长,用这个边 长表示另一个边长,建立矩形面积关于这个边长的函数,使用 基本不等式求最值;或者设出矩形的两个边长 a,b,则 a,b 满足一定的条件,在这个条件下求 ab 的最大值.

第32讲 │ 要点探究

2500 m2

[ 解析 ] 方法 1. 设所围场地的长为 x ,则宽为

? 200- x 200- x 1? ?x+ 200- x? 2 ,其中 0<x<200,场地的面积为 x× ≤ ? ? 4 4 4? 2 ?

= 2500 m2,等号当且仅当 x= 100 时成立. 方法 2.设矩形的长、宽分别为 a、b,则 a+ 4b=200,根据 基本不等式得 2 a· 4b≤200,即 ab≤2500(m2),当且仅当 a= 4b, 即 a= 100,b= 25 时取等号.

第32讲 │ 规律总结 规律总结

1.利用基本不等式可以求特定条件下的二元函数的最值, 其基本思想是通过变换的方法在已知条件和求解目标之间建 立起使用基本不等式的条件,即“一正、二定、三相等”,其中 对条件和求解目标的变换是解题的关键.

第32讲 │ 规律总结

2. 利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基 本不等式对所证明的不等式中的某些部分进行放大或者缩 小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性. 3. 利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示 求解目标,可以建立一个变量的函数关系,也可以建立满足 一定条件的二元函数关系.


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