高中数学必修2-3第二章2.4正态分布


2.4 正态分布

1.问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布? (2)正态曲线有什么特点?曲线所表示的意义是什么? (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率? 2.例题导读 请试做教材 P74 练习 1 题.

1.正态曲线 (x-μ)2 1 函数 φμ ,σ (x)= e- ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参数, 2σ 2 2π σ φ
μ ,σ

(x)的图象为__________________正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态分布 一般地,如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?bφ

?a

μ ,σ

(x)dx,

则称随机变量 X 服从正态分布.正态分布完全由参数________μ 和________σ 确定,因此正 态分布常记作____________N(μ, σ 2), 如果随机变量 X 服从正态分布, 则记为________X~ 2 N(μ,σ ). 3.正态曲线的性质 (x-μ)2 1 正态曲线 φμ ,σ (x)= e- ,x∈R 有以下性质: 2σ 2 2π σ (1)曲线位于 x 轴________上方,与 x 轴________不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线________x=μ 对称; 1 (3)曲线在________x=μ 处达到峰值________ ; σ 2π (4)曲线与 x 轴之间的面积为________1; (5)当________σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图 ①; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ ________越小,曲线越“瘦高”,表示总体 的分布越集中;σ________越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图②.

4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ-σ<X≤μ+σ)=________0.682_________6; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=________0.954_________4; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=________0.997_________4.

1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数 φμ ,σ (x)中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( ) (2)正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 μ,σ 的变化而变化的.( (3)正态曲线可以关于 y 轴对称.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.设随机变量 X~N(μ,σ 2),且 P(X≤C)=P(X>C),则 C=( ) A.0 B.σ C.-μ D.μ 答案:D 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ 2),则 P(X<3)=( ) 1 A. 5 1 C. 3 答案:D 4.已知正态分布密度函数为 f(x)= 为________,标准差为________. 答案:0 2π 1 B. 4 1 D. 2

)

1 x2 e- ,x∈(-∞,+∞),则该正态分布的均值 2π 4π

正态分布的再认识 (1)参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ 是衡 量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.μ=0,σ =1 的正态分布 叫做标准正态分布. (2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在(a, b]上的概率等于总体密 度函数在[a,b]上的定积分值. (3)从正态曲线可以看出,对于固定的 μ 而言,随机变量在(μ-σ,μ +σ)上取值的概率 随着 σ 的减小而增大.这说明 σ 越小,X 取值落在区间(μ-σ,μ +σ)的概率越大,即 X 集 中在 μ 周围的概率越大.对于固定的 μ 和 σ,随机变量 X 取值区间越大,所对应的概率就越 大,即 3σ 原则.

正态分布密度曲线 如图是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的均值和方差.

1 [解] 从正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为 , 2 π 1 1 所以 μ=20, = , 2πσ 2 π ∴σ= 2. (x-20)2 1 于是 φμ,σ(x)= · e- , x∈(-∞, +∞), 总体随机变量的期望是 μ=20, 4 2 π 方差是 σ2=( 2)2=2. 利用图象求正态密度函数的解析式,应抓住图象的实质,主要有两点:一是对称轴 x= 1 μ,另一是最值 ,这两点确定以后,相应参数 μ,σ便确定了,代入便可求出相应的 σ 2π 解析式. 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 正态分布密度曲线

1 1. 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 且该函数的最大值为 .求该正 4 2π 态分布的概率密度函数的解析式. 解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,即 μ= 0. 1 1 由于 = ,得 σ=4, 2πσ 2π·4 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 1 x2 φμ,σ(x)= e- ,x∈(-∞,+∞). 4 2π 32

求正态分布下的概率 设 X~N(1,22),试求:

(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5). [解] 因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)因为 P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以 P(3<X≤5) 1 = [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 2 1 = [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 [互动探究] 在本例条件下,试求 P(X≥5). 解:因为 P(X≥5)=P(X≤-3), 1 所以 P(X≥5)= [1-P(-3<X≤5)] 2 1 = [1-P(1-4<X≤1+4)] 2 1 = [1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 2 1 = (1-0.954 4)=0.022 8. 2 (1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性,把待求区间的概率转化到 已知区间的概率.这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用. (2)常用结论有 ①对任意的 a,有 P(X<μ-a)=P(X>μ+a); ②P(X<x0)=1-P(X≥x0); ③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

2.(1)(2015· 高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32), 从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ),则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 解析:选 B.由正态分布的概率公式知 P(-3<ξ<3)=0.682 6,P(-6<ξ<6)=0.954 4, P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3) 0.954 4-0.682 6 故 P(3<ξ<6)= = =0.135 9=13.59%, 2 2 故选 B. (2)设随机变量 X~N(4,σ 2),且 P(4<X<8)=0.3,则 P(X<0)=________.

解析:概率密度曲线关于直线 x=4 对称,在 4 右边的概率为 0.5,在 0 左边的概率等于 在 8 右边的概率,即 0.5-0.3=0.2. 答案:0.2 (3)设随机变量 X~N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1). ①求 c 的值;②求 P(-4<X<8). 解:

①由 X~N(2,9)可知,密度函数曲线关于直线 x=2 对称(如图所示), 又 P(X>c+1)=P(X<c-1), 故有 2-(c-1)=(c+1)-2, ∴c=2. ②P(-4<X<8)=P(2-2×3<X<2+2×3)=0.954 4.

正态分布的实际应用 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102),如果规定低于 60 分的学生为不及格学生. (1)成绩不及格的人数占多少? (2)成绩在 80~90 之间的学生占多少? [解] (1)设学生的得分情况为随机变量 X, 则 X~N(70,102),其中 μ=70,σ=10. 在 60 到 80 之间的学生占的比为 P(70-10<X≤70+10)=0.682 6=68.26%, ∴不及格的学生所占的比为 1 ×(1-0.682 6)=0.158 7=15.87%. 2 (2)成绩在 80 到 90 之间的学生所占的比为 1 1 × [P(70 - 2×10<X≤70 + 2×10) - P(70 - 10<X≤70 + 10)] = × (0.954 4 - 0.682 6) = 2 2 13.59%. 正态曲线的应用及求解策略: 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ, μ+3σ)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会 用到化归思想及数形结合思想.

3.(2015· 杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所 需时间 X(单位:分)近似服从正态分布 X~N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概 率. 解:∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10.

∴P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60) 1 1 = P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+ P(μ-σ<X≤μ+σ) 2 2 1 1 = ×0.954 4+ ×0.682 6=0.818 5. 2 2 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是 0.818 5.

数学思想

正态分布中的化归与转化思想 )

已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, 1), 且 P(2≤X≤4)=0.682 6, 则 P(X>4)=( A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 [解析] 由于 X 服从正态分布 N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为 x=3. 所以 P(X>4)=P(X<2), 1-P(2≤X≤4) 1-0.682 6 故 P(X>4)= = 2 2

=0.158 7. [答案] B [感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一,在解决正态分布的应 用问题时,化归与转化思想起着不可忽视的作用. 本小题考查正态分布的有关知识, 求解时应根据 P(X>4)+P(X<2)+P(2≤X≤4)=1 将问 题转化.

1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)=φμ ,σ (x)= (x-10)2 ,则这个正态总体的均值与标准差分别是( 8 )

1 e- 8π

A.10 与 8 B.10 与 2 C.8 与 10 D.2 与 10 解析:选 B.由正态密度函数的定义可知,总体的均值 μ=10,方差 σ2=4,即 σ=2. 2.(2015· 高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲 线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 2 附:若 X~N(μ,σ ), 则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. 解析: 选 C.由 P(-1<X≤1)=0.682 6, 得 P(0<X≤1)=0.341 3, 则阴影部分的面积为 0.341

0.341 3 3,故估计落入阴影部分的点的个数为 10 000× =3 413,故选 C. 1 ×1 3.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ 2)(σ>0).若 X 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为________. 解析:如图,易得 P(0<X<1)=P(1<X<2), 故 P(0<X<2)=2P(0<X<1)=2×0.4=0.8.

答案:0.8 4.设 X~N(5,1),求 P(6<X≤7). 解:由已知得 P(4<X≤6)=0.682 6, P(3<X≤7)=0.954 4. 又∵正态曲线关于直线 x=5 对称, ∴P(3<X≤4)+P(6<X≤7)=0.954 4-0.682 6 =0.271 8. 由对称性知 P(3<X≤4)=P(6<X≤7), 0.271 8 所以 P(6<X≤7)= =0.135 9. 2

[A.基础达标] 1 1.设随机变量 ξ~N(2,2),则 D( ξ )=( 2 A.1 1 C. 2 1 1 1 1 ∴D( ξ)= 2D(ξ)= ×2= . 2 2 4 2 2.下列函数是正态密度函数的是( ) (x-μ) 1 A.f(x)= e 2σ ,μ ,σ (σ>0)都是实数 2σ π
2 2

)

B.2 D.4

解析:选 C.∵ξ~N(2,2),∴D(ξ)=2.

2π x2 e- 2 2π (x-1)2 1 C.f(x)= e- 4 2 2π B.f(x)= 1 x2 D.f(x)= e 2π
2

解析:选 B.对于 A:函数的系数部分的二次根式包含 σ,而且指数部分的符号是正的, 故 A 错误;对于 B:符合正态密度函数的解析式,其中 σ=1,μ=0,故 B 正确;对于 C:

从系数部分看 σ=2,可是从指数部分看 σ= 2,故 C 不正确;对于 D:指数部分缺少一个 负号,故 D 不正确. 2 3.(2015· 高考湖北卷)设 X~N(μ1,σ 2 1),Y~N(μ2,σ 2),这两个正态分布密度曲线如图 所示,下列结论中正确的是( )

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) D.对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 1 1 解析: 选 D.由图象知, μ1<μ2, σ1<σ2, P(Y≥μ2)= , P(Y≥μ1)> , 故 P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1), 2 2 故 A 错; 因为 σ1<σ2,所以 P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故 B 错; 对任意正数 t,P(X≥t)<P(Y≥t),故 C 错; 对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的,故选 D. 4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ 2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

)

解析:选 C.如图,正态分布的密度函数图象关于直线 x=2 对称,所以 P(ξ<2)=0.5, 并且 P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4),则 P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3. 1 5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ 2),函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点的概率是 , 2 则 μ=( ) A.1 B.4 C.2 D.不能确定 解析:选 B.根据题意,函数 f(x)=x2+4x+ξ 没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即 ξ>4,根 1 据正态分布密度曲线的对称性,当函数 f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是 时,μ=4. 2 6.如果 ξ~N(μ,σ 2),且 P(ξ>3)=P(ξ<1)成立,则 μ=________. 解析:∵ξ~N(μ,σ2),故概率密度函数关于直线 x=μ 对称,又 P(ξ<1)=P(ξ>3),从 1+3 而 μ= =2,即 μ 的值为 2. 2 答案:2 7.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ 2)(σ >0).若 ξ 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 ξ 在(2,+∞)上取值的概率为________.

1 1 解析:由正态分布的特征易得 P(ξ>2)= ×[1-2P(0<ξ<1)]= ×(1-0.8)=0.1. 2 2 答案:0.1 8.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ,22),且正 态分布密度曲线如图所示,若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况,则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数约为________.

解析:依题意可知,μ=60.5,σ=2,故 P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,从而属于正常情况的人数为 1 000×0.682 6≈683. 答案:683 9.(2015· 苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布 N(2 500,202),该工厂共 有 1 200 名工人,试估计月收入在 2 440 元以下和 2 560 元以上的工人大约有多少人? 解:设该工厂工人的月收入为 ξ,则 ξ~N(2 500,202), 所以 μ=2 500,σ=20, 所以月收入在区间(2 500-3×20,2 500+3×20)内取值的概率是 0.997 4,该区间即(2 440,2 560). 因此月收入在 2 440 元以下和 2 560 元以上的工人大约有 1 200×(1-0.997 4)=1 200×0.002 6≈3(人). 10.(2015· 漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可 走, 第一条路线穿过市区, 路线较短, 但交通拥挤, 所需时间(单位为分)服从正态分布 N(50, 2 10 );第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布 N(60, 42). (1)若只有 70 分钟可用,问应走哪条路线? (2)若只有 65 分钟可用,又应走哪条路线? 解:由已知 X~N(50,102),Y~N(60,42).由正态分布的 2σ 区间性质 P(μ-2σ<ξ≤μ +2σ)=0.954 4.然后解决问题的关键是:根据上述性质得到如下结果: 对 X:μ=50;σ=10,2σ区间为(30,70), 对 Y:μ=60;σ=4,2σ区间为(52,68), 要尽量保证用时在 X?(30,70),Y?(52,68)才能保证有 95%以上的概率准时到达. (1)时间只有 70 分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有 65 分钟可用,两种方案都能保证有 95%以上的概率准时到达,但是走市区 平均用时比路线二少了 10 分钟,应该走第一条路线. [B.能力提升] 2 1.设随机变量 X~N(μ,σ ),则随着 σ 的增大,P(|X-μ|<3σ)将会( ) A.单调增加 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 解析:选 C.对于服从正态分布的随机变量 X,不论 μ,σ怎么变化,P(|X-μ|<3σ)总等 于 0.997 4. 2.设正态总体落在区间(-∞,-1)和区间(3,+∞)的概率相等,落在区间(-2,4)内 的概率为 99.7%,则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为( )

A.(1, C.(

1 ) 2π

B.(1, 2) D.(1,1)

1 ,1) 2π

解析:选 A.正态总体落在区间(-∞,-1)和(3,+∞)的概率相等,说明正态曲线关于 x=1 对称,所以 μ=1. 又在区间(-2,4)内的概率为 99.7%, ∴1-3σ=-2,1+3σ=4,∴σ=1. (x-1)2 1 ∴f(x)= e- ,x∈R, 2 2π ∴最高点的坐标为?1,

? ?

1 ? ?. 2π?

3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),则下列结论正确的是________. ①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0); ②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0); ③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0); ④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0). 解析:因为 P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以①不正确; 因为 P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1 -P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以②正确,③不正确; 因为 P(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1, 所以 P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以④正确. 答案:②④ 4.设随机变量 X~N(1,22),则 Y=3X-1 服从的总体分布可记为________. 解析:因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2. 又 Y=3X-1,所以 E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2, D(Y)=9D(X)=62, 所以 Y~N(2,62). 答案:Y~N(2,62) 5.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ 2),其中 μ 近似 为样本平均数 x,σ 2 近似为样本方差 s2.

①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求 E(X). 附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ,σ 2),则 P(μ-σ <Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4. 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为 x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02 =200, s2 = ( - 30)2 × 0.02 + ( - 20)2 × 0.09 + ( - 10)2 × 0.22 +0 × 0.33 + 102 × 0.24 + 202× 0.08 + 302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)= 0.682 6. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6,依题意知 X~B(100,0.682 6),所以 E(X)=100×0.682 6=68.26. 6.请仔细阅读下面这段文字,然后解决后面的问题. 在实际生活中,常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格,方法是: (1)提出统计假设:某种指标服从正态分布 N(μ,σ 2); (2)确定一次试验中的取值 a; (3)作出统计推断:若 a∈(μ-3σ,μ +3σ),则接受假设,若 a?(μ-3σ,μ +3σ),则拒 绝假设. 问题: 某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ 服从正态分布 N(30,0.82),质检人员从该厂某一天 生产的 1 000 块砖中随机抽查一块,测得它的抗断强度为 27.5 kg/cm2,你认为该厂这天生产 的这批砖是否合格?为什么? 解:由于在一次试验中ξ落在区间(μ-3σ,μ+3σ)上的概率为 0.997,故 ξ 几乎必然 落在上述区间内.把 μ=30,σ=0.8 代入,得区间(μ-3σ,μ+3σ)=(27.6,32.4),而 27.5 ?(27.6,32.4),∴据此认为这批砖不合格.


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