高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积自我小测

3.1.3 两个向量的数量积

自我小测

1.已知非零向量 a,b 不平行,并且其模相等,则 a+b 与 a-b 之间的关系是(

)

A.垂直 B.共线

C.不垂直 D.以上都有可能

2.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,则|2a-3b|等于(

)

A. 97 B.97 C. 61 D.61

3.在空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3 ,则 cos〈O→A,B→C〉=( )

1

2

A.2 B. 2

1 C.-2 D.0

4.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足A→B·A→C=0,A→C·A→D=0,→AB·→AD=0,

则△BCD 是( )

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.不确定

5.已知向量 a,b 满足|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则

a 与 b 的夹角的取值范围是(

)

A.???0,π6 ??? B.???π3 ,π???

C.???π3 ,23π??? D.???π6 ,π???

6.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,则 a+b+c 的模等于__________.

7.已知 a,b 是异面直线,a⊥b,e1,e2 分别为取自直线 a,b 上的单位向量,且 a=2e1 +3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数 k 的值为__________.
8.如图所示,AB=AC=BD=1,AB ? 平面 α,AC⊥平面 α,BD⊥AB,BD 与平面 α 成 30°角,则点 C 与 D 之间的距离为__________.

9.已知空间四边形 ABCD,求A→B·C→D+B→C·A→D+C→A·B→D的值.

1

10.如图,正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,底面边长为 2. (1)设侧棱长为 1,求证:AB1⊥BC1; (2)设 AB1 与 BC1 的夹角为π3 ,求侧棱的长.
2

参考答案 1.解析:∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 答案:A 2.解析:|2a-3b|2=(2a-3b)2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12×2×3×21+9×32=61. ∴|2a-3b|= 61. 答案:C 3.解析:∵→BC=→OC-→OB, ∴O→A·B→C=O→A·O→C-O→A·O→B=0, ∴〈→OA,→BC〉=90°, 故 cos〈→OA,→BC〉=0. 答案:D 4.解析:B→C=A→C-A→B,B→D=A→D-A→B, ∴B→C·B→D=A→B2>0, ∴∠DBC 为锐角, 同理可得∠BCD,∠BDC 均为锐角. 答案:B 5.解析:∵关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根, ∴Δ=|a|2-4a·b≥0,即|a|2≥4a·b. 又∵a·b=|a||b|cos 〈a,b〉, ∴|a|2≥4|a||b|cos〈a,b〉. ∵|a|=2|b|≠0, ∴cos〈a,b〉≤4||aa|2||b|=84||bb||22=12, 而〈a,b〉∈[0,π], ∴π3 ≤〈a,b〉≤π. 答案:B 6.解析:因|a+b+c|2=(a+b+c)2
3

=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c) =3, 故|a+b+c|= 3. 答案: 3 7.解析:由 a⊥b,得 a·b=0, ∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0. ∵e1·e2=0,∴2k-12=0,∴k=6. 答案:6 8.解析:∵AC⊥α,BD 与 α 成 30°角, ∴AC 与 BD 所成角为 60°. 又∵→CD=→CA+→AB+→BD,|C→A|=|→AB|=|B→D |=1,〈→CA,→AB〉=〈→AB,→BD〉=90°,〈→CA, →BD〉=120°, ∴C→D2=(→CA+→AB+→BD)2=3-1=2. ∴C,D 两点间距离为 2. 答案: 2 9.解:A→B·C→D+B→C·A→D+C→A·B→D =A→B·(→AD-→AC)+→AD·(A→C-A→B)-A→C·(→AD-→AB) =A→B·A→D-A→B·A→C+A→D·A→C-A→D·A→B-A→C·A→D+A→C·A→B=0. 10.(1)证明:A→B1=A→B+B→B1,B→C1=B→B1+→BC. ∵BB1⊥平面 ABC, ∴B→B1·→AB=0,B→B1·B→C=0. 又△ABC 为正三角形, ∴〈→AB,→BC〉=π-〈→BA,→BC〉=π-π3 =2π3 . ∵A→B1·B→C1=(→AB+B→B1)·(B→B1+→BC) =A→B·B→B1+→AB·→BC+B→B12+B→B1·→BC =|→AB|·|B→C|·cos〈→AB,→BC〉+B→B12
4

=-1+1=0,

∴AB1⊥BC1.

(2)解:结合(1)知A→B1·B→C1=|→AB|·|B→C|·cos〈→AB,→BC〉+B→B12=B→B12-1.

又|A→B1|= A→B 2+B→B12 = 2+B→B12 =|B→C1|,

∴cos〈A→B1,B→C1〉=2B→+B1B2→-B121

1 =2,

∴|B→B1|=2,即侧棱长为 2.

5


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