高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线

1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

中,以

P(

x0

,

y0

)

为中点的弦所在直线的斜率

k=-

b a

2 2

x0 y0



在双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1 中,以 P(x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率

k= b2 x0 a2 y0

;在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 中,以

P(x0 ,

y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率

k=

p y0



提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !

2.了解下列结论

(1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 x 2 ? y 2 ? 0 ;

a2 b2

a2 b2

(2)以 y ? ? b x 为渐近线(即与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1共渐近线)的双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? ?(? 为参数, ? ≠0)。

a

a2 b2

a2 b2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny2 ? 1;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 2b2 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 b2 ,抛

a

c

物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则①| AB |? x1 ? x2 ? p ;

② x1x2

?

p2 4

, y1 y2

? ?p2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)

3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

? ? (1)在 ?ABC中,给出 AD ? 1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC中 BC 边的中线; 2

2

2

2

(2)在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外

心是三角形三边垂直平分线的交点);

(3)在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的
交点);

(4)在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC的垂心(三角形的垂心是三角形
三条高的交点);

( 5 ) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ?, 使A B? ? A C; ③ 若 存 在 实 数

? , ? , 且? ? ? ? 1,使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B,C 三点共线.

(6)给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB,即 ?AMB是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB是钝角,

给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB是锐角,

(8)给出

?? ??

MA

?

MB

?? ??

MP ,等于已知 MP 是 ?AMB的平分线/

?? MA MB ??

(9)在平行四边形 ABCD中,给出 (AB ? AD) ? (AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形 ABCD中,给出| AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD是矩形;

4.圆锥曲线中线段的最值问题:

例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为

分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,
共线时,距离和最小。

QA

H P

B

F

。 当 A、P、F 三点

(2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线

时,距离和最小。

解:(1)(2, 2 )(2)( 1 ,1 ) 4

1、已知椭圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 4

的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程;

(2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足

OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

解:(Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x2 ? y 2 ? 1,则 a 2 ? 4 ?1 ? 3,再由a 2 ? b2 ? c 2得b2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为 x2 ? y2 ? 1. (II)将 y ? kx ? 2代入 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 )x2 ? 8 2kx ? 4 ? 0.

3

4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2)2 k 2 ?16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ?1) ? 0, 即

k2 ? 1. 4



将y ? kx ? 2代入 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 )x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 3



??1? 3k 2 ? 0,

? ???2 ? (?6

2k )2

? 36(1? 3k 2 )

?

36(1 ?

k2)

?

即k 2 0.

?

1 且k 2 3

? 1.

设A( xA ,

yA ), B(xB ,

yB ),则xA

?

xB

?

6 2k 1? 3k 2

, xA

?

xB

?

?9 1? 3k 2

由OA?OB ? 6得xAxB ? yA yB ? 6,而

xAxB ? yA yB ? xAxB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)

? (k 2 ?1)xAxB ? 2k(xA ? xB ) ? 2

?

(k 2

?

1)

?

1

?9 ? 3k

2

?

? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ?1

2k

?

6 1?

2k 3k 2

?

2

于是

3k 2 3k 2

?7 ?1

?

6,即15k 3k

2 2

?13 ?1

?

0.

解此不等式得

k2

?

13 或k 2 15

?

1. 3



由①、②、③得 1 ? k 2 ? 1 或13 ? k 2 ? 1.

4

3 15

故 k 的取值范围为 (?1, ? 13 ) (? 3 , ? 1 ) (1 , 3 ) ( 13 ,1)

15

3 2 23

15

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹

为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程;(Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知

( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

所以曲线

C

的方程式为

y=

1 4

x

2

-2.

(Ⅱ)设

P(x

0

,y

0

)为曲线

C:y=

1 4

x

2

-2

上一点,因为

y

'

=

1 2

x,所以 l

的斜率为

1 2

x

0

因此直线 l

的方程为

y

?

y0

?

1 2

x0 (x

?

x0 )

,即

x0 x

?

2y

?

2 y0

?

x2

?

0





O

点到 l

的距离 d

?

|

2 y0 ? x02 x02 ? 4

|

.又

y0

?

1 4

x02

? 2 ,所以 d

?

1 2

x02

?

4

x02 ? 4

?

1( 2

x02 ? 4 ?

4 ) ? 2, x02 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

3.设双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于(

)

4.过椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2

? 60

,则椭圆的

离心率为

5.已知双曲线

x2 2

?

y2 b2

? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P(

3, y0 ) 在双曲线

上.则 PF1 · PF2 =( )0

6.已知直线 y ? k ? x ? 2??k ? 0? 与抛物线 C : y2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB |,则
k ?( )

7.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2), 则直线 l 的方程为_____________.

8.椭圆

x2 9

?

y2 2

? 1的焦点为 F1, F2 ,点 P

在椭圆上,若 |

PF1

|?

4 ,则|

PF2

|?

; ?F1PF2 的大小为

.


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