江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

姜堰区 2015~2016 学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 试 题(文)
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1. 设命题 P: ?x ? R, x 2 ? 1 ,则 ? P 为 ▲ . ▲ .

2.函数 y ? x 2 ? x 在区间 [1,2] 上的平均变化率为 3.函数 y ? xe x 的极小值为
2



. ▲ . .

4.若抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到y轴的距离为 5.已知点 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b2




6.设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的

条件(用“充分不必要”、“必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) . 7.已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ?

?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2
▲ .





8.若焦点在 x 轴上过点 (1, ) 的椭圆焦距为 2,则椭圆的标准方程为 9.若椭圆

3 2

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,则 m ? ▲ . 2 m2 10.若函数 y ? ax ? sin x 在R上单调增,则 a 的最小值为 ▲ .
11 .已 知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2) 的 右 焦点为 F . 短 轴的一 个端 点为 M , 直线 4 b2 4 l : 3x ? 4 y ? 0 ,若点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 5


12.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,C上一点P满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 49 24
▲ .

?PF1 F2 的内切圆面积为

13.如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 ? y 2 ? 1 , A1 , A2 分 4

别是椭圆的左、右两个顶点, 圆 A1 的半径为 2,过点 A2 作 圆 A1 的切线,切点为 P ,在 x 轴的上方交椭圆于点 Q .则

PQ ? QA 2





-1-

14.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 , 则下列结论中一定正确的有 ① f? ▲ ,③ f ?

k ?1? ?1? ? ? 0 ,② f ? ? ? ?k? ? k ? k ?1

1 k ? 1 ? ? 1 ? ,④ f ? . ?? ?? ? k ?1 ? k ?1 ? k ?1? k ?1

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知 a ? R ,命题 p :"?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0" ,命题 q :" ?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" . (I)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (II)若命题 " p ? q " 为假命题,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 4 ln x 2

(I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)求 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最值.

17. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? a ln x (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x ) 过点 (1, f (1)) 处的切线方程.

-2-

18. (本题满分 16 分) 设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? ,点 a 2 b2

B 的坐标为 ? 0, b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2MA ,直线 OM 的斜率为 (I)求 E 的离心率 e;

5 . 10

(II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐 标为

7 ,求 E 的方程. 2

y B

O C

A

x

19. (本题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 ,点 M 在椭圆上且位 2 a b 3
2 2

b2 4 3 于第一象限,直线 FM 被圆 x ? y ? 截得的线段的长为 c, FM ? . 4 3
(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设椭圆上动点 P 在 x 轴上方,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点) 的斜率的取值范围. y M

F

O
-3-

x

20. (本题满分 16 分) 设 函 数 f ' ( x) 是 奇 函 数 f ( x)(x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时 ,

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , g ( x) ?

f ( x) ( x ? 0) x

(I)判断函数 g ( x) 的奇偶性; (II)证明函数 g ( x) 在 (0,??) 上为减函数; (III)求不等式 f ( x) ? 0 的解集.

姜堰区 2015~2016 学年度第一学期期中调研测试 高二(文)数学参考答案 一、填空题: 1、 ?x ? R, x ? 1 ;2、4;3、 ?
2

1 x2 ? y 2 ? 1 错误! 4、2; 5、 3 ;6、必要不充分;7、 e 4

未定义书签。 8、

3 x2 y2 3 ? ? 1 ;9、1 或 2;10、1;11、 (0, ];12、4π ;13、 ;14、①③ 4 4 3 2
??????????6 分 ?????8 分 ?????10 分

二、解答题:
2 15.解: (I)由命题 p 为真命题, a ? x min , a ? 1

(II)由命题 " p ? q " 为假命题,所以 p 为假命题或 q 为假命题。

p 为假命题时,由(I)a>1.

-4-

q 为假命题时 ? ? 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0 ,-2<a<1 综上 a ? (?2,1) ? (1,??)

?????12 分 ?????14 分

16.解: (I)定义域为 (0, ??) 得 f ?( x ) ? x ?

????????????2 分

4 ,令 f ?( x) ? 0 ,x=2 x
0<x<2 x>2 + ?????6 分

f ?( x)



所以 f ( x ) 的单调减区间为(0,2)单调增区间为(2,+∞) (II)由(I) ,f(x)在[1,2]减,在[2,e]增, 所以 f ( x) min ? f (2) ? 2 ? 4 ln 2

?????9 分 ?????11 分

1 2 1 又 f(1)= , f (e) ? e ? 4 2 2
因为 f (e) ?

1 2 1 e ?4? 2 2 1 2
?????14 分

所以 f ( x) min ? f (2) ? 2 ? 4 ln 2 , f ( x ) max ?

17.解: (I)由函数 f ( x) ? x 3 ? ln x , f (1) ? 1 ,

f ?( x ) ? 3 x 2 ?

1 , f ?(1) ? 4 x

?????????4 分 ?????6 分

所以在 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4x-y-3=0
3 2

(II)函数 f ( x) ? x , f ?( x) ? 3x ,设过(1,1)的直线与曲线相切于(m,n) 则切线方程为 y ? 1 ? 3m ( x ? 1) 。
2

?????8 分

1 ? m?? ? m ? 1 ?n ? 1 ? 3m (m ? 1) ? ? 2 所以 ? ,得 ? 或? 3 n?m ?n ?1 ? n ? ? 1 ? ? 8 ?
2

?????12 分

所求切线方程为 3x-y-2=0,3x-4y+1=0 2 1 18.解: (I)由 A(a,0),B(0,b), BM ? 2MA ,得 M( a, b) 。 3 3

?????14 分

?????2 分

-5-

因为直线 OM 的斜率为

5 b 5 2 2 ,所以 , a ? 5b , ? 10 2a 10

又 a ? b ? c ,得 e ?
2 2 2

2 5 5
1 5 x ? b ,N (

?????6 分

(II)由 I 直线 AB 方程为 y ? ?

5 1 b,? b) 2 2

?????8 分

设 N 关于 AB 对称点为 P(p,

7 ), 2

? 1 1 5 1 1 7 ? (p ? b) ? ( ? b ? ) ? b ? 0 ?? 2 2 2 2 ? 5 2 ? 7 1 则? ? ( ? b) 2 2 ? (? 1 ) ? ?1 ? ? 5 5 p? b ? 2 ?
得 b=3, 所以 E 的方程为

?????12 分(每个方程 2 分)

?????14 分

x2 y2 ? ?1 45 9
kc 1? k 2

?????16 分

19.解: (I)设 FM: y ? k ( x ? c) ,O 到直线 FM 的距离为

?????2 分

kc b2 b2 ?( )2 ? c , 因为直线 FM 被圆 x ? y ? 截得的线段的长为 c ,所以 2 2 4 4 1? k
2 2

又e ?

c 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ? , a ? b ? c , a ? 3c , b ? 2c ,解得 k= a 3 3

?????4 分

(II)设 M ( x0 , y0 ) x0 ? 0, y0 ? 0 ,



x0 2 y0 2 3 ? 2 ? 1 ,又 y 0 ? ( x0 ? c), 2 3c 2c 3

FM ? ( x0 ? c)2 ? y0 2 ?
解得 c=1,c=3(舍) 所以椭圆的方程为

4 3 , 3

?????6 分 ?????8 分 ?????9 分

x2 y2 ? ?1 3 2

-6-

(III) 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意,
2 2

y0 y0 ? 2 ,平方得 ? 2 ,又 P 在椭圆 x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2

2

上,∴

x0 y 2 2 3 ? 0 ? 1 ,消去 y0 ,整理得 x 0 ? x 0 ? 0 且 x0 ? 1 ,∴ ? ? x 0 ? ?1 或 3 2 3 2
?????12 分

? 1 ? x0 ? 0 ,又 y0 ? 0 ,∴ x0 ? ?1 ,∴ ? 1 ? x0 ? 0
2

设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y y0 2 2 2 2 ,∴ m ? 0 2 ,消去 y0 整理得 m ? 2 ? ,由 3 x0 x0 x0

? 1 ? x0 ? 0 ,∴ m 2 ?

? 4 2 3? ? ,而 x0 ? 0, y0 ? 0 ,∴ m ? 0 ,∴ m ? ? ? ?,? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 2 3? ? ?????16 分 3 ? ?
f (? x) ? f ( x) ? ? g ( x), x ? 0 , ?x ?x
?????4 分

综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ? ?,?

20.解: (I)因为 f ( x)(x ? R) 是奇函数,所以 g (? x) ? 所以 g ( x) 是偶函数 (II)因为当 x ? 0 时 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 所以 g ( x) 在 (0,??) 上为减函数 (III)由(I) f (?1) ? 0 ,g(-1)=g(1)=0, x>0 时 f ( x) ? 0 等价于

xf ?( x) ? f ( x) ? 0, x2
?????8 分 ?????10 分

f ( x) ? 0 即 g ( x) ? g (1) 由(II)所以 0<x<1, ?????12 分 x f ( x) ? 0 即 g ( x) ? g (?1) 由 x<0 时 f ( x) ? 0 等价于 (I) (II)g ( x) 在 (??,0) 上为增函数, x
所以 x<-1. 综上不等式 f ( x) ? 0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1) ?????14 分 ?????16 分

-7-


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