2015-2016学年高中数学 3.3第2课时双曲线的简单性质练习 北师大版选修2-1

第三章 一、选择题 3.3 第 2 课时 双曲线的简单性质 1.下列曲线中离心率为 A. - =1 2 4 C. - =1 4 6 [答案] B 6 的是( 2 ) B. - =1 4 2 D. - =1 4 10 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 c [解析] 双曲线的离心率 e= = a 故选 B. a2+b2 = a2 b2 6 b2 1 1+ 2= , 得 2= , 只有 B 选项符合, a 2 a 2 2.双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( 1 A.m> 2 C.m>1 [答案] C [解析] 双曲线离心率 e= 1+m> 2,所以 m>1,选 C. B.m≥1 D.m>2 2 y2 m ) x2 y2 3. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( a b A. - =1 20 5 C. - =1 80 20 [答案] A [解析] 本题考查双曲线标准方程的求法. 由题意知,焦距为 10,∴c=5, 又∵P(2,1)在双曲线的渐近线上, ∴a=2b,联立得 a =20,b =5, 故双曲线方程 - =1,注意焦距为 2c 而不是 c,双曲线的渐近线方程的求法. 20 5 2 2 ) x2 x2 y2 B. - =1 5 20 D. - =1 20 80 x2 y2 y2 x2 y2 x2 y2 4.(2014·山东理)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2= 1,C1 与 C2 的离心率之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 ) 1 x2 y2 a b x2 y2 a b A.x± 2y=0 C.x±2y=0 [答案] A [解析] e1= 2= ∴e1·e2= 2 2 2 B. 2x±y=0 D.2x±y=0 c2 a2-b2 2 c2 a2+b2 1 2 ,e2= 2= 2 , 2 a a a a a4-b4 b 4 3 b 2 =1-( ) = ,∴ = , 4 a a 4 a 2 2 x. 2 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 5.(2015·天津理,6)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3), 且双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( A. - =1 21 28 2 x2 y2 a b ) x2 y2 B. - =1 28 21 x2 y2 C. - =1 3 4 [答案] D x2 y2 D. - =1 4 3 x2 y2 [解析] 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,由点(2, 3)在渐近线 上,所以 = x2 y2 a b b a b a 3 2 ,双曲线的一个焦点在抛物线 y =4 7x 准线方程 x=- 7上,所以 c= 7, 2 由此可解得 a=2,b= 3,所以双曲线方程为 - =1,故选 D. 4 3 6.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P 为双曲线上一点,且|PF1|= 3|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围是( A.e>2 1 C.e> 2 [答案] B [解析] 由题意? ? ?|PF1|-|PF2|=2a ?|PF1|=3|PF2| ? ? ?|PF1|=3a ,∴? ?|PF2|=a ? x2 y2 x2 y 2 a b ) B.1<e≤2 1 D.e< 2 , 2 ∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, ∴e= ≤2,∴1<e≤2. 二、填空题 7.若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=________________. 16 m [答案] 48 [解析] 本题主要考查双曲线的基本性质. c a y2 x2 c c2=a2+b2=16+m,又∵e= , a ∴e=2= 16+m ,∴m=48. 4 8.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为 60°,则双曲线 C 的离心率为________________. [答案] 6 2 [解析] 如图,∵c>b,∴∠B1F1B2=60°, ∴∠B1F1O=30°.在△B1OF1 中, =tan30°, ∴ = ∴ b c b c 3 . 3 c2-a2 1 a2 1 a2 2 = .∴1- 2= ,∴ 2= . 2 c 3 c 3 c 3 2 c 3 6 2 ∴e = 2= ,∴e= . a 2 2 三、解答题 3 9.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)过点 A( 14, 5),且点 A 到双曲线的两条渐近线 4 的距离的积为 .求此双曲线方程. 3 x2 y2 a b x2 y2 [解析] 双曲线 2- 2=1 的两渐近线的方程为 bx±ay=0. a b 点 A 到两渐近线的距离分别为 d1= | 14b+ 5a| | 14b- 5a| ,d2= 2 2 a +b a2+b2 2 2 4 |14b -5a | 4 已知 d1d2= ,故 = ① 3 a2+b2 3 又 A 在双曲线上,则 14b -5a =a b ② ②代入①,得 3a b =4a +4b ③ 联立②、③解得 b =2,a =4. 故所求双曲线方程为 - =1. 4 2 10.如图,F1、F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点, 直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P、 Q 两点, 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2| =|F1F2|,求 C 的离心率. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 a b [解析] 本题考查双曲线的几何性质. F1(-c,0

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