中山市高一级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学卷

中山市高一级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 、第 II 卷(非选择题)两部分.共 100 分,考试时间 100 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A. {1}

A ? {1, 2},集合 B ? ? ,则 A ? B ?
B. {2} C. {1,2} D. ?

2.下列函数中哪个与函数 y ? x 是同一个函数

x2 D. y ? x 2 x 3. 若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则a
A. y ? ( x ) 2 B. y ? 3 x 3 C. y ? 的值是 A. ? 3 B. 1 C. 0 或 ?

3 2

D. 1 或 ? 3

? 4.函数 y ? ?

?2 x , x ? 0
?x ? ?2 , x ? 0

的图像大致为

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5、根式

1 a

1 (式中 a ? 0 )的分数指数幂形式为 a
? 3 4 3

A. a

B. a 4

C. a

?

4 3

4

D. a 3

6.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是

7.如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为 “好点” 。在下面的五个点 M ?1, 1? , N ?1, 2? , P ? 2, 1? , Q ? 2, 2? , G ? 2, 0.5? 中, “好点”的 个数为 A.0 个 B .1 个 C. 2 个 D.3 个

8.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? 9.函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为
3

B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m // n, n ? ? ? m ? ?

A. (-∞,1)

B. (2,+∞)

C. (-∞,

3 ) 2

D. (

3 ,+∞) 2

10.对于集合 M、N,定义 M ? N ? ?x x ? M , 且x ? N? , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ) .设

A ? y y ?x 2? x 3x ,? R B, ? y y ?? 2 x ,x? R
A. (? ,0]

?

?

?

? ,则 A ? B 等于
9 4
D.(??, ? ] ? (0, ??)

9 4

B. [ ? ,0 ]
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9 4

C.(??, ? ) ? ?0, ?? ?
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9 4

第Ⅱ卷

(非选择题

共 60 分)

二、填空题: (本大题共4个小题,每小题4分,共 16 分,请将答案填在相应题目的横线 上) 11. 在空间直角坐标系中,已知 A, B 两点的坐标分别是 A?2,3,5? , B?3,1,4? ,则这两点间的 距离 AB ? _____________. 12. 根 据 表 格 中 的 数 据 , 可 以 判 定 方 程 e ? x ? 2 ? 0 的 一 个 根 所 在 的 开 区 间 为 ____
x

_____.

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5
正视图 侧视图

13.如右图,一个空间几何体的正视图、侧视图是周长 为 4 一个内角为 60 ? 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么 这个几何体的表面积为________.

俯视图

14.若直线 l1 : 4 x ? y ? 4 ? 0 ,l 2 : mx ? y ? 0 ,l3 : 2x ? 3my ? 4 ? 0 不能构成三角形 , 则实数 m 的值是: _______________. 三、解答题: (本大题共5小题,满分44分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (本小题 9 分) 求以 N ?1,3? 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程.

P
16. (本小题 9 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中 点. 求证: (1) . PA //平面 BDE ; (2) .平面 PAC ? 平面 BDE .

E D C O A B

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17.(本小题 9 分) 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R . (Ⅰ)若 f ( x ) 是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)求证:无论 a 取任何实数,函数 f ( x ) 都不可能是奇函数.

18. (本小题 9 分) 20 世纪 30 年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测 震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我 们常说的里氏震级 M ,其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中, A 是被测地震的最大振 幅, A0 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离 造成的偏差) 。 (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的震感已比较明显,计算 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振 幅的多少倍? (以下数据供参考: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4770 )

19. (本小题 8 分)
2 2 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .

(1)若 k ? 2 ,求函数 f ( x) 的零点; (2)若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上有两个不同的零点,求 k 的取值范围。

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数学科试卷参考答案
一、选择题: 1 C 2 B 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 C

二、填空题: 11. 6 三、解答题: 15.解:因为点 N ?1,3? 到直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的距离 d ? 所以所求的圆的方程是: ? x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2

12. (1,2)

13.

?

14.

? 1或 ?

1 2 或 或4 6 3

3? 4?3? 7 5

?

16 ,? (5 分) 5

256 .???? (9 分) 25
?? (1 分)

16. 证明: (1) 连接 AC 、 OE , AC ? BD ? O ,

在△ PAC 中,∵ E 为 PC 中点, O 为 AC 中点.∴ PA // EO ,? (2 分) 又∵ EO ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , P ∴ PA //平面 BDE ? (4 分) (2)∵ PO ? 底面 ABCD , BD ? 平面 ABCD E ∴ PO ? BD . ????????( 6 分) 又∵底面 ABCD 是正方形,∴ BD ? AC , AC , PO 是平 面 PAC 内的两条相交直线 D BD ? PAC ∴ 平面 . ??????? (8 分) O 又 BD ? 平面 BDE ,∴平面 PAC ? 平面 BDE .??? (9 分) A B 17. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) 在 R 上恒成立, 即 (? x)2 ? | ? x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1, 化简整理,得 ax ? 0 在 R 上恒成立, ∴a ? 0. (另解 :由 f ( x ) 是偶函数知, f (?1) ? f (1) 即 (?1)2 ? | ?1 ? a | ?1 ? 12 ? |1 ? a | ?1 整理得 | a ? 1|?| a ? 1| ,解得 a ? 0
2 再证明 f ( x) ? x ? | x | ?1是偶函数,所以 a ? 0 )

C

????3 分 ????5 分

(Ⅱ)

证 明 : 用 反 证 法 。 假 设 存 在 实 数 a , 使 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 , 则

f (? x) ? ? f ( x)在 R 上恒成立,∴ f (0) ? ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , 但无论 a 取何实数, f (0) ?| a | ?1 ? 0 ,与 f (0) ? 0 矛盾。
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矛盾说明,假设是错误的,所以无论 a 取任何实数,函数 f ( x ) 不可能是奇函数.??9 分 18. 解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001 ? lg

20 ? lg 20000? lg 2 ? lg104 ? 4.3 0.001

因此,这次地震的震级为里氏 4.3 级. ???? (4 分) (2)由 M ? lg A ? lg A0 可得 M ? lg

A A ,即 ? 10M , A ? A0 ? 10M . A0 A0

当 M ? 8 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为 A1 ? A0 ? 108 ; 当 M ? 5 时 , 地 震 的 最 大 振 幅 为 两次地震的最大振幅之比是: A2 ? A0 ?105 ;所以,

A1 A0 ? 108 ? ? 108?5 ? 1000? (8 分) 5 A2 A0 ? 10
?1? 3 2

答:8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍. ???? (9 分) 19.解: (1)当 x ? 1或x ? ?1 时, 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x ?

1 , 2 ?1? 3 1 所以函数 f ( x) 的零点为 ,? .???? (3 分) 2 2 ?kx ? 1, x ? (0,1] (2) f ( x) ? ? 2 ???? (4 分) ?2 x ? kx ? 1, x ? (1,2)
当 ? 1 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? 0, x ? ? ①两零点在 (0,1], (1,2) 各一个: 当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? kx ? 1, f (1) ? 0 ? k ? ?1 当 x ? (1,2) 时, f ( x) ? 2 x2 ? kx ? 1, ?

? f (1) ? 0 7 ? ? ? k ? ?1, ???? (6 分) 2 ? f (2) ? 0

② 两 零 点 都 在 (1,2) 上 时 , 显 然 不 符 合 x1 x 2 ? ?1 ? 0 . 综 上 , k 的 取 值 范 围 是 :

?

7 ? k ? ?1, ???? (8 分) 2

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