广州大学2013-2014(1)概率论(B)解答


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B 卷

广 州 大 学 2013-2014 学 年 第 一 学 期 考 试 卷 解 答
课 程:概率论(32 学时) 考 试 形 式:闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 分 数 得 分 一 15 二 15 三 8 四 6 五 10 六 12 七 14 八 10 九 10 总 分 100 评卷人

一、选择题(每小题 3 分,总计 15 分) 1.下列给出的数列中,可用来描述某一随机变量分布律的是( A ). i (5 ? i 2 ) (A) pi ? , i ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; (B) pi ? ,i ? 0 ,1, 2 , 3 ; 15 6 1 i ?1 (C) p i ? , i ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ; (D) pi ? ,i ?1, 2 , 3 , 4 , 5 . 4 25 2.对于任意两个事件 A 与 B ,若 P( AB) ? P( A) P( B) ,则( C ). (A) AB ? ? ; (B) P( A | B) ? P( B) ; (C) P( AB) ? P( A) P(B) ; (D) P( AB) ? P( A) P( B) . 3.已知 P( A) ? 0.3 , P( B) ? 0.5 , A 与 B 互斥,则 P( B ? A) ? ( D ). (A)0.15; (B)0.2; (C)0.35; (D)0.5. 4.设 X 与 Y 为两个独立的随机变量,则下列选项中不一定成立的是( D ). (A) E( X ? Y ) ? E( X ) ? E (Y ) ; (B) E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ; (C) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ; (D) D( XY ) ? D( X ) D(Y ) . 5 .设 f ( x) , F ( x) 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数,则必有 ( B ). (A) f ( x) 连续; (B) F ?( x) ? f ( x) ; (C) f ?( x) ? F ( x) ; (D) lim f ( x) ? 1 .
x ???

二、填空题(每小题 3 分,总计 15 分) 1.将 4 个球随机地放入 4 个盒子中(每个盒子中装多少个球不限) ,则每盒中各有 一球的事件的概率等于 3/32 . 2.设随机变量 X ~ N (0,1) , ? ( x ) 为其分布函数,则 ?( x) ? ?(? x) ? ___1___.

第 1 页 共 6 页《概率论》B 卷

3.每次试验中 A 出现的概率为 p ,在三次试验中 A 出现至少一次的概率是 1/5 . 4.设离散型随机变量 X 的分布律为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 其分布函数为 F ( x) ,则 F (2) ? 1 . 5.设随机变量 ( X , Y ) ~ N (?3,1; 2,1;0) , Z ? X ? 2Y ? 7 ,则 EZ ?
p?

124 ,则 125

0

.

三、 (本题满分 8 分) 将标号为 1, 2, 3, 4 的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率: (1)第 1 号球与第 2 号球相邻; (2)第 1 号球排在第 2 号球的右边(不一定相邻). 解:将 4 个球随意地排成一行有 4!=24 种排法,即基本事件总数为 24.------2 分 记(1) , (2)的事件分别为 A, B . (1)先将第 1,2 号球排在任意相邻两个位置,共有 2 ? 3 种排法,其余两个球可在 其余两个位置任意排放,共有 2!种排法,因而 A 有 2 ? 3 ? 2 ? 12 种排法,故 P( A) ? 12 / 24 ? 1/ 2 .------5 分 (2)第 1 号球排在第 2 号球的右边的每一种排法,交换第 1 号球和第 2 号球的位 置便对应于第 1 号球排在第 2 号球的左边的一种排法,反之亦然. 因而第 1 号球排在第 2 号球的右边与第 1 号球排在第 2 号球的左边的排法种数 相同,各占总排法数的 1/ 2 故有 P( B) ? 1/ 2 .------8 分

四、 (本题满分 6 分) 袋中有 a 只白球, b 只红球,从袋中依次取 m 个球,每次取 1 个,取后球放回,求 其中恰有 k 个白球的概率. a 解:该试验可视为 m 重伯努利试验,每次试验中成功的概率为 ,------3 分 a?b 所求概率为

a ? ? b ? k ? P ? Cm ? ? ? ? ? a ?b ? ? a ?b ?

k

m? k

.------6 分

第 2 页 共 6 页《概率论》B 卷

五、 (本题满分 10 分) 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%, 各厂的产品的 次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该 产品是甲厂生产的概率. 解:记事件 A1 :“该产品是次品”, 事件 A2 :“该产品为乙厂生产的”, 事件 A3 :“该产品为丙厂生产的”,事件 B :“该产品是次品”.------2 分 由题设,知 P( A1 ) ? 45% , P( A2 ) ? 35% , P( A3 ) ? 20% , P( B | A1 ) ? 4% , P( B | A2 ) ? 2% , P( B | A3 ) ? 5% ,------5 分 由全概率公式得

P( B) ? ? P( Ai ) P( B | Ai ) ? 3.5% .------8 分
i ?1

3

由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得 P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) 18 ? ? 51.4% .------10 分 ? P( A1 | B) ? 35 P( B) P( B)

六、 (本题满分 12 分) 设随机变量 X 的分布函数为

x ? 0, ?0, ?1/ 3, 0 ? x ? 1, ? F ( x) ? ? ?1/ 2, 1 ? x ? 2, ? x ? 2. ?1, (1)求 P(0 ? X ? 2) 、 P(1 ? X ? 4) ; (2)判断 X 是否为离散型随机变量,若是,说明理由并计算其分布律; (3)求 E (2 X ? 1) . 解: (1)P(0<X<2)=1/2-1/3=1/6,------2 分 P(1<X<4) =1-1/2=1/2,------4 分 (2)由 F ( x) 是一个阶梯型函数,知 X 是一个离散型随机变量, F ( x) 的跳跃点分别 为 0,1,2,对应的跳跃高度分别为 1/3,1/6,1/2. 故 X 的概率分布为 X 0 1 2 ------8 分 pi 1/ 3 1/ 6 1/ 2
(3)E(2X+1)=(2+1)*1/6+(2*2+1)*1/2+(2*0+1)*1/3------10 分 =3.------12 分

第 3 页 共 6 页《概率论》B 卷

七、 (本题满分 14 分) 设连续型随机变量 X 的密度函数为

?a ? bx 2 , 0 ? x ? 1, f ( x) ? ? 其它. ? 0,
3 且 E ( X ) ? . 求: 5 X (1) 的分布函数 F ( x) ? P{ X ? x} ; (2) X 的方差 D( X ) .

解: (1)由于 ?

?? ??

f ( x)dx ? 1 ,则
1 0

?
由 E( X ) ?

?? ??

f ( x)dx ? ? (a ? bx 2 )dx ? a ?

b ? 1 ,------2 分 3

?? 3 3 ,则 ? xf ( x)dx ? ,于是 ?? 5 5 ?? 1 a b 3 2 ??? xf ( x)dx ? ?0 x(a ? bx )dx ? 2 ? 4 ? 5 ,------4 分 b ? ? a ? 3 ?1 3 6 这样有方程组 ? ,解之得 a ? , b ? .------6 分 a b 3 5 5 ? ? ? ?2 4 5

X 的分布函数为 F ( x) ? ?
0 ??

x ??

f (t )dt ,

当 x ? 0 时, F ( x) ? ? 0dt ? 0 ,-------7 分
x 3 6 3 2 f (t )dt ? ? 0 ( ? t 2 )dt ? x ? x3 ,------9 分 ?? 5 5 5 5 1 3 x 6 2 当 x ? 1 时, F ( x) ? ? f (t )dt ? ? ( ? t )dt ? 1 ,------10 分 0 5 ?? 5 0 x?0 ? ?3 2 ? 这样就有 X 的分布函数为 F ( x) ? ? x ? x3 0 ? x ? 1 . 5 ?5 1 x ?1 ? ?

当 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? ?

x

(2) D( X ) ? ?

?? ??

1 3 6 9 2 ? .------14 分 x2 f ( x)dx ? ( E ( X ))2 ? ? 0 x 2 ( ? x 2 )dx ? 5 5 25 25

第 4 页 共 6 页《概率论》B 卷

八、 (本题满分 10 分) 设 ( X , Y ) 的联合分布律为
X
Y

1

2

3 0.12 0.18

0 1

0.04 0.06

0.24 A

(1)求 A ; (2)求 X , Y 的边缘分布律; (3)判断 X , Y 是否独立. 解: (1)由 ?? pij ? 1 得
i j

A=1-(0.04-0.06-0.24-0.12-0.18)=0.36.------3 分
(2) X 的边缘分布律为
X p

0 0.4

1 0.6

------5 分

Y 的边缘分布律为
Y p

1 0.1

2 0.6

3 0.3

------7 分

(3)经逐一验证,都有

P{X ? xi , Y ? y j } ? P{X ? xi }P{Y ? y j },
所以 X , Y 独立.------10 分

第 5 页 共 6 页《概率论》B 卷

九、 (本题满分 10 分) 某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费 160 元, 若一年 内发生重大人身事故, 其本人或家属可获 2 万元赔金. 已知该市人员一年内发生重 大人身事故的概率为 0.005 ,现有 5000 人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项 业务所得到的总收益在 20 万到 40 万元之间的概率是多少? 附表

1 ?( x) ? 2?

?

x ??

e

?

t2 2

dt
1.5 0.9332 2 0.9772 2.5 0.9938 3 0.9987

x
? ( x)

0.5 0.6915

1 0.8413

解:记 X 是 5000 个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数, 则 X ~ b(n, p) , 其中 n ? 5000 , p ? 0.005 .------2 分 由中心极限定理知

X ? np 近似服从 N (0, 1) .------4 分 np(1 ? p)

保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为 0.016 ? 5000 ? 2 X 万元.------5 分 所求概率为 P?20 ? 0.016 ? 5000 ? 2 X ? 40? ? P?20 ? X ? 30? ------6 分
? X ? np 30 ? 25 ? ? 20 ? 25 ? ? P? ? ? ? ------7 分 np(1 ? p) 25 ? 0.995 ? ? 25 ? 0.995 ? ? ? ?(1) ? ?(?1) ------8 分 ? 2?(1) ?1 ------9 分 ? 0.6826 .-----10 分

第 6 页 共 6 页《概率论》B 卷


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