【状元360】高考数学一轮复习 4.6 解斜三角形(二)课件 理_图文

1.测量、航运等实际应用中求解三角形. 2.解三角形类型 (1)余弦定理适用题型: ①已知三条边求其他角; ②已知三角形任意两边及它们的夹角,可以求出第三边和其 他两角. (2)正弦定理适用的题型: ①已知两角和任一边,求其他两边及一角; ②已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两角. 判断解的组数:可利用大边对大角、小边对小角,可利用 三角函数值估算范围,可数形结合考虑三角形构成,也可利用 cos A+cos B>0 等. 考点一 测量问题 示范1 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m), 示意图如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角 ∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α,β 的值,tan α=1.24,tan β=1.20, 请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电 视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精 确度.若电视塔实际高度为 125 m,d 为多少时,α-β 最大? 分析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等 式的应用. H H 解析 (1) =tan β?AD= , AD tan β H h 同理:AB= ,BD= , tan α tan β H H h AD-AB=DB,故得 - = , tan β tan α tan β 4×1.24 htan α 解得:H= = =124. tan α-tan β 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. (2)由题设知 d=AB,得 H H h H-h tan α= ,tan β= = = , d AD DB d H H-h - tan α-tan β d d tan(α-β)= = 1+tan α·tan β H H-h 1+ · d d hd h = 2 = , d +H?H-h? H?H-h? d+ d H?H-h? d+ ≥2 H?H-h?, d (当且仅当 d= H?H-h?= 125×121=55 5时,取等号) 故当 d=55 5时,tan(α-β)最大. π π 因为 0<α<β<2,则 0<α-β<2,所以当 d=55 5时,α- β 最大.故所求的 d 是 55 5 m. 【点评】把目标关系转化成函数式求解,求最值,注意角 的要求,多个参数要看清楚常量与变量. 展示1 如右下图所示,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂 直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测量得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测 得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等?然后求 B,D 间的距离.(计 算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449) 【解析】在△ACD 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1 km.又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线.所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2+ 6 即 AB= sin 15° = 20 (km). 3 2+ 6 因此 BD= 20 ≈0.33(km) 故 B,D 间的距离约为 0.33 km. 方法点拨:准确理解题意,分清已知与待求,画出示意图, 确定所求的角?或边?在哪个三角形中, 设法求出该三角形的三个 量?一定要有一个量是边?, 由这三个量选择用正弦定理或余弦定 理. 考点二 三角形的确定 4 5 示范2 (1)已知在△ABC 中,cos A= ,cos B= ,那么 cos 5 13 C=________; 3 5 (2)已知在△ABC 中,sin A=5,sin B=13,那么 cos C= ____________. 分析 利用平方关系,求其余函数名,注意构成△的条件. 4 5 解析 (1)在△ABC 中,cos A= ,cos B= , 5 13 3 12 ∴sin A=5,sin B=13, ∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B 4 5 3 12 16 =-5×13+5×13=65. 3 5 (2)在△ABC 中,sin A=5,sin B=13, 4 12 ∴cos A=± 5,cos B=± 13. 4 12 33 当 cos A=5,cos B=13时,可求得 cos C=-65; 4 12 当 cos A=5,cos B=-13时,∵cos A+cos B<0,不能构成 三角形; 4 12 当 cos A=-5,只能 cos B>0,cos B=13, 63 可求得 cos C=65. 16 答案 (1) 65 33 63 (2)-65或65 【点评】注意构成三角形的要求,也可以用其他方法求解. 展示2 已知在△ABC 中,C=120° ,c= 2a,则( A.a>b C.a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不确定 ) 【答案】A 【解析】因为 C=120° ,c= 2a, 所以 c =a +b -2abcos C,即 2a =a +b 所以 a2-b2=ab. ab 因为 a>0,b>0,所以 a-b= >0.所以 a>b.故选 A. a+b 2 2 2 2 2 2 ? 1? -2ab?-2?. ? ? a b c (2)【解析】①由正弦定理,可得 = = = sin A sin B sin C 2 2 4 3 4 3 4 3 = = .所以a= sin A,b= sin B. sin 60° 3 3 3 3 2 4 3 a+b 3 ?sin A+sin B? 4

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