【状元360】高考数学一轮复习 6.5 基本不等式(二)课件 理_图文

利用基本不等式求最值及解决简单的实际问题. 考点一 利用基本不等式求最值 示范1 已知函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过 1 2 定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0, 则m+n的 最小值为________. 解析 ∵y=loga(x+3)-1 恒过点(-2,-1), ∴A(-2,-1),又∵A 在直线上,∴-2m-n+1=0. 即 2m+n=1.又 mn>0,∴m>0,n>0. 1 2 2m+n 4m+2n 4m n 而m+n= m + n =2+m+2+ n ≥4+2 4=8. 1 1 1 2 当 n=2,m=4时取“=”,∴m+n的最小值为 8. 答案 8 1 1 展示1 已知 x>0,y>0 且 x+2y=1,求 + 的最小值. x y 【解析】∵x+2y=1, 1 1 x+2y x+2y 2y x ∴x +y = x + y =3+ x +y≥3+2 2, 2y x 当且仅当 x =y,即 x2=2y2,即 x= 2y 且 x+2y=1, 2 1 1 即 x= = ,y= 时,取等号. 2+ 2 2+1 2+ 2 1 1 ∴x +y 的最小值为 3+2 2. 1 1 注意:本题若用 1=x+2y≥2 2xy,得 xy≤8,即xy≥8, 1 1 x +y ≥2 1 xy≥2 8=4 2将出错, ? ?x=2y, 因取等号的条件?1 1 不成立. = ? ?x y 方法点拨:解决此类问题的方法一般是利用已知条件等式, 代入待求式子,转化到可以满足 “正、定、等”条件,再利用 基本不等式得到解决. 考点二 基本不等式的实际运用 示范2 如下图所示,教室的墙壁上挂着一块黑板,它的上 下边缘分别在学生的水平视线上方 a 米和 b 米,学生距离墙壁 多远时,看黑板的视角最大? 分析 本题是列出函数关系,再运用不等式求解,求最值. 解析 设学生 P 距黑板 x 米,黑板上下边缘与学生的水平视 线 PH 的夹角分别为∠APH=α,∠BPH=β.其中 α>β, 则学生 a b 看黑板的视角为 α-β,由 tanα=x,tanβ=x,由此可得:tan(α- a b tanα-tanβ x -x a-b β)= = ab= ab. 1+tanαtanβ 1+ x2 x+ x ab ab 因为 x+ x ≥2 x· 当且仅当 x= ab时, tan(α-β) x =2 ab, 最大,由于 α-β 为锐角,∴此时 α-β 最大, 即学生距离墙壁 ab时看黑板的视角最大. 【点评】求角的问题,联系起三角知识,求解三角形,出 现 形式考虑用均值不等式 . 解题中通过恒等变换转化成 可用均值不等式的形式也是一种重要能力. 展示2 设矩形 ABCD(AB>AD)的周长是 24,把它关于 AC 折起来,AB 折过去后交 CD 于点 P,如图所示,设 AB=x,求 △ADP 的最大面积及相应的 x 值. 【解析】∵AB=x,∴AD=12-x. 又 DP=PB′,AP=AB′-PB′=AB-DP=x-DP, 由勾股定理,得(12-x)2+DP2=(x-DP)2, 72 即 DP=12- x .∵AB>AD,∴6<x<12. 因此△ADP 的面积 ? ? 72? 72? 1 1 S=2AD· DP=2(12-x)?12- x ?=108-6?x+ x ?. ? ? ? ? 72 72 ∵x>0,∴x+ x ≥2 x· x =12 2. 72 ∴S≤108-72 2,当且仅当 x= x ,即 x=6 2 时,S 有最 大值 108-72 2. 点评 折叠问题要注意折叠前后位置与量的分析,哪些量不 变,哪些量改变了,挖掘几何关系,需要把三角形的另一边也 用 x 表示,把 DP 用 x 表示是解题的关键. 方法点拨:函数不等式应用问题经常综合在一起,出现不 等字眼是不等式应用问题发现的关键,如大于、不小于、超过 等.注意列出不等关系后,应用基本不等式时的前提条件. 1.使用基本不等式求最值时,注意三个必要条件,即“一 正、二定、三相等”. 2.应用基本不等式要注意不等式两边的形式变化的启发以 及不等号方向、放缩的选择,选用恰当的不等变化. 3.寻求定值与求范围要注意适当变形.利用两个正数的不 等关系求最值、求范围问题是考查的重点. 1.(2011 浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的 最大值是________. 2 3 【答案】 3 【 解 析 】 由 条 件 , 得 (x + y)2 - xy = 1 , 即 (x + y)2 - 1 = ?x+y? 4 2 3 2 3 ? ?2 2 xy≤? ? .∴(x+y) ≤3,即- 3 ≤x+y≤ 3 . 2 ? ? 3 当且仅当 x=y= 3 时,取等号. 2.(2011 北京)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备 x 费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为8天且每件 产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备 费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 【答案】B 【解析】设每件产品的平均费用为 y 元, 800 x 800 x 则 y= x +8≥2 x · 8=20, 800 x 当且仅当 x =8,即 x=80 时,取等号. 3.(2011 湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城 市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千 米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密 度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当

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